Mobile Kommunikation/Mehrwegeempfang beim Mobilfunk

1. Mobile Kommunikation
2. Frequenzselektive Übertragungskanäle
3. Mehrwegeempfang beim Mobilfunk

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Zeitinvariante Beschreibung des Zweiwegekanals (1)

Wir gehen von dem in der Grafik dargestellten Szenario aus. Dabei wird vorausgesetzt:

• Sender und Empfänger sind ruhend. Dann ist sowohl die Kanal–Übertragungsfunktion als auch die Impulsantwort zeitunabhängig. Für alle Zeiten t gilt H(f, t) = H(f) und h(τ, t) = h(τ).
  

• Ein Zweiwegekanal: Das Sendesignal s(t) erreicht den Empfänger auf direktem Pfad mit der Weglänge d₁ und es gibt ein Echo aufgrund des reflektierenden Erdbodens (Distanz d₂).

Somit gilt für das Empfangssignal:

\[r(t) = r_1(t) + r_2(t) = k_1 \cdot s( t - \tau_1) + k_2 \cdot s( t - \tau_2) \hspace{0.05cm},\]

wobei die folgenden Aussagen zu beachten sind:

• Das über den Direktpfad empfangene Signal r₁(t) ist gegenüber dem Sendesignal s(t) um den Faktor k₁ gedämpft und um die Laufzeit τ₁ verzögert.
  

• Der Dämpfungsfaktor k₁ wird mit dem Pfadverlustmodell berechnet. k₁ ist um so kleiner und der Verlust um so größer, je größer die Sendefrequenz f_S, die Distanz d₁ und der Exponent γ sind.
  

• Die Laufzeit τ₁ = d₁/c nimmt proportional mit der Wegelänge d₁ zu. Beispielsweise ergibt sich für die Distanz d₁ = 3 km und der Lichtgeschwindigkeit c = 3 · 10⁸ m/s die Verzögerung τ₁ = 10 μs.
  

• Wegen der größeren Weglänge (d₂ > d₁) weist der zweite Pfad eine größere Dämpfung auf  ⇒  |k₂| < |k₁| und dementsprechend auch eine größere Laufzeit τ₂ > τ₁.
  

• Außerdem ist zu berücksichtigen, dass die Reflexion an Gebäuden oder dem Erdboden zu einer Phasendrehung um π (180°) führt. Damit wird der Faktor k₂ negativ.
  
  

Die Beschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. Das negative Vorzeichen von k₂ wird dabei außer Acht gelassen.

Hinweis: Die hier behandelte Thematik wird in folgendem Interaktionsmodul behandelt:

Auswirkungen von Mehrwegeempfang Please add link and do not upload flash videos.

Zeitinvariante Beschreibung des Zweiwegekanals (2)

Für die Frequenzselektivität haben Pfadverlust (gekennzeichnet durch k₁) und Grundlaufzeit τ₁ keine Bedeutung. Entscheidend sind hier Pfaddverlustunterschiede und Laufzeitdifferenzen. Wir beschreiben nun den Zweiwegekanal mit den neuen Kenngrößen k₀ = |k₂| / |k₁| und τ₀ = τ₂ – τ₁ wie folgt:

\[r(t) = r_1(t) + k_0 \cdot r_1( t - \tau_0) \]

\( \hspace{0.5cm}{\rm mit} \hspace{0.5cm} r_1(t) = k_1 \cdot s( t - \tau_1)\hspace{0.05cm}.\)

Die Grafik veranschaulicht die Gleichung.
Mit der Vereinfachung k₁ = 1, τ₁ = 0  ⇒  r₁(t) = s(t) erhält man:

\[r(t) = s(t) + k_0 \cdot s( t - \tau_0) \hspace{0.05cm}.\]

Aus diesem vereinfachten Modell (ohne den grau hinterlegten Block in der Grafik) lassen sich wichtige Beschreibungsgrößen einfach berechnen:

• Wendet man den Verschiebungssatz an, so kommt man zur Übertragungsfunktion

\[H(f) = {R(f)}/{S(f)} = 1 + k_0 \cdot {\rm exp} [ - {\rm j} \cdot 2 \pi f \cdot \tau_0] \hspace{0.05cm}.\]

• Durch Fourierrücktransformation erhält man dann die Impulsantwort

\[h(\tau) = 1 + k_0 \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm}.\]

: Wir betrachten einen Zweiwegekanal mit der konstanten Verzögerungszeit τ₀ = 2 μs und verschiedene Dämpfungsfaktoren k₀ zwischen 0 und 1.

Die Grafik zeigt den Betrag der Übertragungsfunktion im Bereich zwischen ±1000 kHz. Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Die Übertragungsfunktion H(f) und auch deren Betrag ist periodisch mit 1/τ₀ = 500 kHz. Diese Frequenzperiode ist hier gleichzeitig die sogenannte Kohärenzbandbreite.
  

• Die Schwankungen um den Mittelwert |H(f)| = 1 sind um so stärker, je größer der (relative) Beitrag k₀ des Nebenpfades (also das Echo) ist.

Kohärenzbandbreite in Abhängigkeit von M

Wir modifizieren nun das Zweiwegemodell dahingehend, dass wir mehr als zwei Pfade zulassen, wie es auch für den Mobilfunk zutrifft. Allgemein lautet somit das Mehrwege–Kanalmodell:

\[r(t) = \sum_{m = 1}^{M}\hspace{0.15cm} k_m \cdot s( t - \tau_m) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(\tau) = \sum_{m = 1}^{M}\hspace{0.15cm} k_m \cdot \delta( \tau - \tau_m) \hspace{0.05cm}.\]

Wir vergleichen nun den Zweiwegekanal (M = 2) mit den Parametern

\[\tau_1 = 1\,\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k_1 = 0.8\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \tau_2 = 3\,\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k_2 = 0.6\]

und den folgenden Dreiwegekanal (M = 3):

\[\tau_1 = 1\,\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k_1 = 0.8\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \tau_2 = 3\,\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k_2 \approx 0.43\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \tau_3 = 9\,\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k_3 \approx 0.43 \hspace{0.05cm}.\]

Bei den gewählten Konstanten weisen beide Kanäle den quadratischen Mittelwert E[k_m²] = 1 auf.

Die Grafik zeigt die Betragsfunktionen |H(f)| beider Kanäle und die zugehörigen Impulsantworten h(τ). Man erkennt aus diesen Darstellungen:

• Beim blauen Kanal (M = 2) treten die Diracfunktionen in einem Bereich der Breite Δτ_max = 2 μs auf. Beim roten Kanal (M = 3) ist dieser Wert viermal so groß: Δτ_max = 8 μs.
  

• Als erste Näherung für die noch zu definierende Kohärenzbandbreite B_K verwendet man oft 1/Δτ_max, die allerdings vom richtigen Wert um den Faktor 2 und mehr abweichen kann.
  

• Die durch das Hochkomma bezeichnete einfache Näherung ergibt sich beim blauen Kanal zu B_K' = 500 kHz, beim roten Kanal ist diese mit B_K' = 125 kHz um den Faktor 4 kleiner.
  

• Allgemein gilt: Ist die Signalbandbreite B_S = 1/T_S sehr viel kleiner als B_K, so kann der Kanal für dieses System als nichtfrequenzselektiv betrachtet werden (T_S: Symboldauer).
  

• Anders ausgedrückt: Bei gegebenem B_S spielt die Frequenzselektivität eine um so größere Rolle, je kleiner die Kohärenzbandbreite B_K bzw. je größer die maximale Verzögerung (Δτ_max) ist.
  

• Das bedeutet auch: Die Frequenzselektivität wird oft durch das längste Echo bestimmt. Viele kurze Echos mit der Gesamtenergie E sind weniger störend als ein langes Echo gleicher Energie E.