Mobile Kommunikation/Das GWSSUS–Kanalmodell: Unterschied zwischen den Versionen

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== Simulation gemäß dem GWSSUS–Modell ==
 
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Das abschließend in aller Kürze dargelegte <i>Monte&ndash;Carlo&ndash;Verfahren</i> zur Simulation eines GWSSUS&ndash;Mobilfunkkanals basiert auf Arbeiten von Rice, S.O.: ''Mathematical Analysis of Random Noise.'' BSTJ–23, pp. 282–232 und BSTJ–24, pp. 45–156, 1945 und Höher, P.: ''Empfang trelliscodierter PSK–Signale auf frequenzselektiven Mobilfunkkanälen – Entzerrung, Decodierung und Kanalschätzung.'' Düsseldorf: VDI–Verlag, Fortschrittsberichte, Reihe 10, Nr. 147, 1990.
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Das abschließend in aller Kürze dargelegte <i>Monte&ndash;Carlo&ndash;Verfahren</i> zur Simulation eines GWSSUS&ndash;Mobilfunkkanals basiert auf Arbeiten von Rice [Ric44]<ref>Rice, S.O.: ''Mathematical Analysis of Random Noise.'' BSTJ–23, pp. 282–232 und BSTJ–24, pp. 45–156, 1945.</ref> und Höher [Höh90]<ref>Höher, P.: ''Empfang trelliscodierter PSK–Signale auf frequenzselektiven Mobilfunkkanälen – Entzerrung, Decodierung und Kanalschätzung.'' Düsseldorf: VDI–Verlag, Fortschrittsberichte, Reihe 10, Nr. 147, 1990.</ref>.
  
 
*Die 2D&ndash;Impulsantwort wird durch eine Summe aus <i>M</i> komplexen Exponentialfunktionen dargestellt, wobei <i>M</i> als die Anzahl unterschiedlicher Pfade interpretiert werden kann:
 
*Die 2D&ndash;Impulsantwort wird durch eine Summe aus <i>M</i> komplexen Exponentialfunktionen dargestellt, wobei <i>M</i> als die Anzahl unterschiedlicher Pfade interpretiert werden kann:
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Version vom 25. Januar 2017, 21:32 Uhr

Verallgemeinerte Systemfunktionen zeitvarianter Systeme (1)


Während es bei linearen zeitinvarianten (LZI) Systemen mit der Übertragungsfunktion H(f) und der Impulsantwort h(τ) nur zwei das System vollständig beschreibende Funktionen gibt, sind bei zeitvarianten (LZV) Systemen insgesamt vier verschiedene Systemfunktionen möglich. Eine formale Untersscheidung dieser Funktionen hinsichtlich Zeit– und Frequenzbereichsdarstellung durch Klein– und Großbuchstaben ist damit ausgeschlossen.

Deshalb nehmen wir nun eine Nomenklaturänderung vor, die sich wie folgt formalisieren lässt:

  • Die vier möglichen Systemfunktionen werden einheitlich mit η12 bezeichnet.
  • Der erste Index ist entweder ein V (Verzögerungszeit τ) oder ein F (Frequenz f).
  • Als zweiter Index ist entweder ein Z (Zeit t) oder ein D (Dopplerfrequenz fD) möglich.

Da beim Mobilfunk im Gegensatz zur leitungsgebundenen Übertragung die Systemfunktionen nicht deterministisch beschrieben werden können, sondern statistische Größen sind, müssen später noch entsprechende Korrelationsfunktionen betrachtet werden. Diese bezeichnen wir im Folgenden einheitlich mit φ12, und verwenden gleiche Indizes wie für die Systemfunktionen η12.

Diese formalisierten Bezeichnungen sind in der folgenden Grafik in blauer Schrift eingetragen. Zusätzlich sind die in anderen Kapiteln oder der Literatur verwendeten Bezeichnungen angegeben (graue Schrift). In den weiteren Kapiteln werden diese teilweise ebenfalls benutzt.

Zusammenhang zwischen den Systemfunktionen

Die Bildbeschreibung folgt auf der nächsten Seite.

Verallgemeinerte Systemfunktionen zeitvarianter Systeme (2)


In der Grafik auf der letzten Seite sind die vier Systemfunktionen dargestellt. Oben erkennt man die zeitvariante Impulsantwort ηVZ(τ, t), die in Kapitel 2.2 mit h(τ, t) bezeichnet wurde. Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) ist

\[\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1, t_1) \cdot \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm}. \]

Zur Frequenz–Zeit–Darstellung (rechter Block) kommt man durch eine Fouriertransformation bezüglich der Verzögerung τ. Man erhält so die zeitvariante Übertragungsfunktion H(f, t) = ηFZ(f, t). Die Fouriertransformation hinsichtlich τ ist in der Grafik durch „Fτ[ · ]” angedeutet. Ausgeschrieben lautet das Fourierintegral:

\[\eta_{\rm FZ}(f, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \cdot {\rm exp}(- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau)\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm kurz:} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f, t) \hspace{0.2cm} \stackrel{f, \hspace{0.05cm} \tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \hspace{0.05cm}.\]

Die AKF dieser zeitvarianten Übertragungsfunktion lautet allgemein:

\[\varphi_{\rm FZ}(f_1, t_1, f_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm FZ}(f_1, t_1) \cdot \eta_{\rm FZ}^{\star}(f_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm}.\]

Die Scatter–Funktion ηVD(τ, fD) entsprechend dem linken Block – manchmal auch mit s(τ, fD) bezeichnet – beschreibt den Mobilfunkkanal im Verzögerungs–Doppler–Bereich. Sie ergibt sich aus der zeitvarianten Impulsantwort ηVZ(τ, t) durch Fouriertransformation bezüglich des zweiten Parameters t:

\[ \eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{0.2cm} \stackrel{f_{\rm D}, \hspace{0.05cm}t}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau, t)\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_{\rm VD}(\tau_1, f_{\rm D_1}, \tau_2, f_{\rm D_2}) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VD}(\tau_1, f_{\rm D_1}) \cdot \eta_{\rm VD}^{\star}(\tau_2, f_{\rm D_2}) \right ] \hspace{0.05cm}.\]

Der Funktionsparameter fD bezeichnet hierbei die Dopplerfrequenz.

Abschließend betrachten wir noch die so genannte frequenzvariante Übertragungsfunktion, also die Frequenz–Doppler–Darstellung. Entsprechend der Grafik gelangt man zu dieser auf zwei Wege:

\[\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D}) \hspace{0.2cm} \stackrel{f_{\rm D}, \hspace{0.05cm}t}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f, t)\hspace{0.05cm},\]

\[\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D}) \hspace{0.2cm} \stackrel{f, \hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.\]

Anzumerken ist, dass die angegebenen Fourier–Zusammenhänge zwischen den Systemfunktionen in der Grafik durch die äußeren, dunkelgrünen Pfeile veranschaulicht sind. Die inneren (helleren) Pfeile kennzeichnen jeweils die Verknüpfungen über die inverse Fouriertransformation.

Hinweis: Ein Interaktionsmodul zeigt den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frequenzbereich, formelmäßig beschreibbar durch Fouriertransformation und Fourierrücktransformation:

Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion Please add link and do not upload flash video.

Vereinfachungen aufgrund der GWSSUS–Voraussetzungen


Der allgemeine Zusammenhang zwischen den vier Systemfunktionen ist aufgrund nichtstationärer Effekte sehr kompliziert. Es müssen gegenüber dem allgemeinen Modell einige Einschränkungen getroffen werden, um zu einem geeigneten Modell für den Mobilfunkkanal zu gelangen, aus dem sich relevante Aussagen für praktische Anwendungen ableiten lassen.

Man kommt zum GWSSUS–Modell (Gaussian Wide Sense Stationary Uncorrelated Scattering) durch folgende Festlegungen:

  • Der Zufallsprozess der Kanalimpulsantwort h(τ, t) = ηVZ(τ, t) wird allgemein als komplex (also Beschreibung im äquivalenten Tiefpassbereich), gaußisch (Kennung G) sowie als mittelwertfrei (Rayleigh, nicht Rice, also keine Sichtverbindung) angenommen.
  • Der Zufallsprozess sei schwach stationär, das heißt, seine Kenngrößen ändern sich mit der Zeit nur geringfügig, und die AKF φVZ(τ1, t1, τ2, t2) der zeitvarianten Impulsantwort hängt nicht mehr von den absoluten Zeiten t1 und t2 ab, sondern nur noch von der Zeitdifferenz Δt = t2t1. Darauf weist die Kennung WSS   ⇒   Wide Sense Stationary hin.
  • Die einzelnen Echos aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind unkorreliert, was durch die Kennung US   ⇒   Uncorrelated Scattering ausgedrückt wird.

Zusammenhänge zwischen den Beschreibungsfunktionen des GWSSUS–Modells

Unter Berücksichtigung dieser Eigenschaften lässt sich der Mobilfunkkanal entsprechend der hier angegebenen Grafik beschreiben. Auf die einzelnen Leistungsdichtespektren (blau beschriftet) und die Korrelationsfunktion (mit roter Schrift) wird auf den nächsten Seiten noch im Detail eingegangen.

AKF und LDS der zeitvarianten Impulsantwort (1)


Zunächst betrachten wir die Autokorrelationsfunktion (AKF) der zeitvarianten Impulsantwort  ⇒  h(τ, t) = ηVZ(τ, t) etwas genauer. Dabei zeigt sich:

  • Aufgrund der WSS–Eigenschaft lässt sich mit Δt = t2t1 schreiben:
\[\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = \varphi_{\rm VZ}(\tau_1, \tau_2, \Delta t)\hspace{0.05cm}.\]
  • Da die Echos als unabhängig voneinander vorausgesetzt wurden (US–Eigenschaft), kann man die Impulsantwort bezüglich den Verzögerungen τ1, τ2 als unkorreliert annehmen. Dann gilt:
\[\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, \tau_2, \Delta t) = 0 \hspace{0.35cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.35cm} \tau_1 \ne \tau_2\hspace{0.05cm}. \]
  • Ersetzt man nun τ1 durch τ und τ2 durch τ + Δτ, so lässt sich diese Autokorrelationsfunktion in folgender Weise darstellen:
\[\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}. \]
  • Wegen der Ausblendeigenschaft der Diracfunktion verschwindet die AKF für τ1 ≠ τ2  ⇒  Δt ≠ 0. ΦVZ(τ, Δt) nennt man das Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichtespektrum, das von der Verzögerung τ (= τ1 = τ2) und zusätzlich von der Zeitdifferenz Δt = t1t2 abhängt.

Beachten Sie, dass hier Autokorrelationsfunktion φVZτ, Δt) und Leistungsdichtespektrum ΦVZ(τ, Δt) nicht wie sonst üblich über die Fouriertransformation zusammenhängen, sondern nach obiger Gleichung über eine Diracfunktion verknüpft sind. Nicht alle Symmetrieeigenschaften, die aus dem Wiener–Chintchine–Theorem folgen, sind somit auch hier gegeben. Insbesondere ist es durchaus möglich und sogar sehr wahrscheinlich, dass ein solches Leistungsdichtespektrum eine ungerade Funktion ist.

In der Übersicht ist das Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichtespektrum ΦVZ(τ, Δt) oben in der Mitte zu erkennen. Da ηVZ(τ, t) wie jede beliebige Impulsantwort die Einheit [1/s] aufweist, hat die Autokorrelationsfunktion

\[\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \cdot \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau + \Delta \tau, t + \Delta t) \right ]\]

die Einheit [1/s2]. Da aber auch die Diracfunktion mit Zeitargument, δτ), die Einheit [1/s] aufweist, besitzt das Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichtespektrum ΦVZ(τ, Δt) ebenfalls die Einheit [1/s]:

\[\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}.\]

AKF und LDS der zeitvarianten Impulsantwort (2)


Zum Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum ΦV(τ) kommt man, indem man in der Funktion ΦVZ(τ, Δt) den zweiten Parameter Δt = 0 setzt. Die Grafik zeigt einen beispielhaften Verlauf.

Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum

Das Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum ΦV(τ) ist eine zentrale Größe für die Beschreibung eines Mobilfunkkanals. Es weist folgende Eigenschaften auf:

  • ΦV(τ0) ist ein Maß für die „Leistung” derjenigen Signalanteile, die um τ0 verzögert werden. Es wird hierfür implizit eine Mittelung über alle Dopplerfrequenzen (fD) vorgenommen.
  • Das Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum ΦV(τ) hat wie ΦVZ(τ, Δt) die Einheit [1/s]. Es charakterisiert die Leistungsverteilung über alle möglichen Verzögerungszeiten τ.
  • In obiger Grafik farblich markiert ist die Leistung P0ΦV(τ0) · Δτ solcher Signalanteile, die beim Empfänger über beliebige Pfade mit einer Verzögerung zwischen τ0 ± Δτ/2 eintreffen.
  • Normiert man das Leistungsdichtespektrum ΦV(τ) derart, dass sich die Fläche 1 ergibt, so erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der Verzögerungszeit:
\[{\rm WDF}_{\rm V}(\tau) = \frac{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}{\int_{0 }^{\infty}{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau} \hspace{0.05cm}.\]

Im Buch „Stochastische Signaltheorie” hätten wir diese Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit fτ(τ) bezeichnet. Um den Zusammenhang zwischen ΦV(τ) und der WDF deutlich werden zu lassen und Verwechslungen mit der Frequenz f zu vermeiden, wurde hier diese Nomenklatur gewählt.

Verzögerungsmodelle nach COST 207


In den 1990er Jahren gründete die Europäische Union die Arbeitsgruppe COST 207 mit dem Ziel, standardisierte Kanalmodelle für den zellularen Mobilfunk bereitzustellen. Hierbei steht COST für European Cooperation in Science and Technology.

In diesem internationalen Gremium wurden vier Profile für die Verzögerungszeit τ entwickelt, basierend auf Messungen und gültig für unterschiedliche Anwendungsszenarien. Im Folgenden werden vier verschiedene Verzögerungs–Leistungsdichtespektren angegeben, wobei stets der Normierungsfaktor Φ0 = ΦV(τ = 0) verwendet wird:

  • Profil RA (englisch Rural Area)   ⇒   ländliches Gebiet:
\[{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0} \hspace{0.15cm}{\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 0 < \tau < 0.7\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 0.109\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}.\]
  • Profil TU (englisch Typical Urban)   ⇒   Städte und Vororte:
\[{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0} \hspace{0.15cm}{\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 0 < \tau < 7\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}.\]
  • Profil BU (englisch Bad Urban)   ⇒   ungünstige Bedingungen in Städten:
\[{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0} = \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\\ 0.5 \cdot {\rm e}^{ (5\,{\rm \mu s}-\tau) / \tau_0} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}l} \hspace{-0.05cm} {\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 0 < \tau < 5\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}, \\ \hspace{-0.05cm} {\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 5\,{\rm \mu s} < \tau < 10\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm \mu s} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\]
  • Profil HT (englisch Hilly Terrain)   ⇒   hügeliges Gebiet und Bergland:
\[{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0} = \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\\ 0.04 \cdot {\rm e}^{ (15\,{\rm \mu s}-\tau) / \tau_0} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}l} \hspace{-0.4cm} {\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 0 < \tau < 2\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 0.286\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}, \\ \hspace{-0.4cm} {\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 15\,{\rm \mu s} < \tau < 20\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm \mu s} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\]

Die Grafik zeigt die Verzögerungs–Leistungsdichte dieser Profile in logarithmischer Darstellung. Aus den Exponentialfunktionen bei linearer Darstellung werden nun geradlinige Verläufe.

Verzögerungs–Leistungsdichte nach COST

Bei dieser logarithmischen Darstellung kann man den LDS–Parameter τ0 bei 10 &middot lg(1/e) = –4.34 dB ablesen, wie in der Grafik für das TU-Profil eingezeichnet. Auf diese vier COST–Profile wird in der Aufgabe A2.8 noch genauer eingegangen.

AKF und LDS der frequenzvarianten Übertragungsfunktion


Die in der Grafik auf der ersten Seite dieses Kapitels unten dargestellte Systemfunktion ηFD(f, fD) wird auch frequenzvariante Übertragungsfunktion genannt, wobei sich das Adjektiv „frequenzvariant” auf die Dopplerfrequenz bezieht. Die dazugehörige AKF ist wie folgt definiert:

\[\varphi_{\rm FD}(f_1, f_{\rm D_1}, f_2, f_{\rm D_2}) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm FD}(f_1, f_{\rm D_1}) \cdot \eta_{\rm FZ}^{\star}(f_2, f_{\rm D_2}) \right ]\hspace{0.05cm}. \]

Durch ähnliche Überlegungen wie auf der letzten Seite kann man diese Autokorrelationsfunktion unter GWSSUS–Bedingungen wie folgt darstellen:

\[\varphi_{\rm FD}(\Delta f, \Delta f_{\rm D}) = \delta(\Delta f_{\rm D}) \cdot {\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.\]

Dabei gilt:

  • ΦFDf, fD) ist das sogenannte Frequenz–Doppler–Kreuzleistungsdichtespektrum, das in der Grafik am Seitenende durch gelbe Hinterlegung hervorgehoben ist.
  • Das erste Argument Δf = f2f1 berücksichtigt, dass aufgrund der Stationarität die AKF und das LDS nur von der Frequenzdifferenz abhängen.
  • Der Faktor δfD) mit ΔfD = fD2fD1 drückt die Unkorreliertheit der AKF bezüglich der Dopplerverschiebung aus.
  • Man kommt von ΦFDffD) zum Doppler–Leistungsdichtespektrum ΦD(fD), wenn man Δf = 0 setzt. ΦD(fD) gibt an, mit welcher Leistung einzelne Dopplerfrequenzen auftreten.
  • Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Dopplerfrequenz ergibt sich aus ΦD(fD) durch geeignete Flächennormierung. Diese weist wie ΦD(fD) die Einheit [1/Hz] auf:
\[{\rm WDF}_{\rm D}(f_{\rm D}) = \frac{{\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})}{\int_{-\infty }^{+\infty}{\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})\hspace{0.15cm}{\rm d}f_{\rm D}} \hspace{0.05cm}.\]
  • In vielen Fällen, so zum Beispiel für eine vertikale Monopulsantenne im isotrop gestreuten Feld, ist ΦD(fD) durch das Jakes–Spektrum gegeben.

Das Frequenz–Doppler–Kreuzleistungsdichtespektrum ΦFDf, fD) ist in der folgenden Grafik gelb hinterlegt.

Zur Berechnung des Doppler–Leistungsdichtespektrums

Eingezeichnet sind in dieser Grafik auch die Fourierzusammenhänge zu den benachbarten GWSSUS–Systembeschreibungsfunktionen.
Wir verweisen hier auf das folgende Interaktionsmodul:
Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts Please add link and do not upload flash videos.

AKF und LDS der Verzögerungs–Doppler–Funktion


Die in der Übersicht auf der ersten Seite von Kapitel 2.3 links dargestellte Systemfunktion wurde mit ηVD(τ, fD) bezeichnet. Die AKF dieser Verzögerungs–Doppler–Funktion kann unter Berücksichtigung der GWSSUS–Eigenschaften mit Δτ = τ2τ1 und ΔfD = fD2fD1 wie folgt geschrieben werden:

\[\varphi_{\rm VD}(\tau_1, f_{\rm D_1}, \tau_2, f_{\rm D_2}) = \varphi_{\rm VD}(\Delta \tau, \Delta f_{\rm D}) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\rm \delta}(\Delta f_{\rm D}) \cdot {\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.\]

Zu dieser Gleichung ist anzumerken:

  • Die erste Diracfunktion δ(Δτ) berücksichtigt, dass die Verzögerungen unkorreliert sind („Uncorrelated Scattering”), die zweite Diracfunktion δ(ΔfD) folgt aus der Stationarität („Wide Sense Stationary”).
  • Das Verzögerungs–Doppler–Leistungsdichtespektrum ΦVD(τ, fD) – auch Scatter–LDS genannt – kann aus ΦVZ(τ, Δt) bzw. ΦFDf, fD) wie folgt berechnet werden:
\[{\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm F}_{\Delta t} \left [ {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \right ] = \int_{-\infty}^{+\infty} {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \cdot {\rm exp}(- {\rm j}\cdot 2 \pi \cdot f_{\rm D} \cdot \Delta t)\hspace{0.15cm}{\rm d}\Delta t \hspace{0.05cm},\]
\[{\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm F}_{f_{\rm D}}^{-1} \left [ {\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D}) \right ] = \int_{-\infty}^{+\infty} {\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D}) \cdot {\rm exp}({\rm j}\cdot 2 \pi \cdot \tau \cdot \Delta f)\hspace{0.15cm}{\rm d}\Delta f \hspace{0.05cm}. \]
  • Sowohl die Systemfunktion ηVD(τ, fD) als auch die abgeleiteten Funktionen φVDτ, ΔfD) und ΦVD(τ, fD) sind dimensionslos. Nähere Angaben hierüber finden Sie in Aufgabe A2.6.
  • Weiterhin ist bei Erfüllung der GWSSUS–Voraussetzungen die Scatterfunktion gleich dem Produkt aus Verzögerungs– und Doppler–Leistungsdichtespektrum:
\[{\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.\]

Die Abbildung fasst die bisherigen Ergebnisse dieses Kapitels zusammen, wobei die auf dieser Seite beschriebenen Leistungsdichtespektren farblich hervorgehoben sind.

Eindimensionale Beschreibungsfunktion des GWSSUS–Modells

Festzuhalten ist:

  • Der Einfluss der Verzögerungszeit (Laufzeit) τ und der Dopplerfrequenz fD lässt sich durch die Leistungsdichtespektren ΦV(τ) und ΦD(fD) separieren.
  • Die 2D–Verzögerungs–Doppler–Leistungsdichte ΦVD(τ, fD) ist gleich dem Produkt aus ΦV(τ) und ΦD(fD).

AKF und LDS der zeitvarianten Übertragungsfunktion


Die folgende Grafik zeigt alle Zusammenhänge zwischen den einzelnen Leistungsdichtespektren nochmals in kompakter Form. Auf den letzten Seiten wurden dabei bereits behandelt:

Zusammenstellung aller GWSSUS–Beschreibungsgrößen

Bisher noch nicht betrachtet wurde die gelb markierte Frequenz–Zeit–Korrelationsfunktion

\[\varphi_{\rm FZ}(f_1, t_1, f_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm FZ}(f_1, t_1) \cdot \eta_{\rm FZ}^{\star}(f_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm}.\]

Berücksichtigt man wieder die GWSSUS–Vereinfachungen sowie die Identität ηVZ(f, t) = H(f, t), so lässt sich diese AKF mit Δf = f2f1 und Δt = t2t1 auch wie folgt schreiben:

\[\varphi_{\rm FZ}(f_1, t_1, f_2, t_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t) = {\rm E} \left [ H(f, t) \cdot H^{\star}(f + \Delta f, t + \Delta t) \right ]\hspace{0.05cm}.\]

Hierzu ist anzumerken:

  • Schon an der Namensgebung ist zu erkennen, dass φFZf, Δt) eine Korrelationsfunktion ist und kein Leistungsdichtespektrum wie die Funktionen ΦVZ(τ, Δt), ΦFDf, fD), ΦVD(τ, fD).
  • Die Fourierzusammenhänge mit den benachbarten Funktionen lauten:
\[{\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.2cm} \stackrel{\tau, \hspace{0.05cm}\Delta f}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} \varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \hspace{0.05cm}\Delta t) \hspace{0.2cm} \stackrel{\Delta t,\hspace{0.05cm} f_{\rm D}}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f,\hspace{0.05cm} f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.\]
  • Setzt man in dieser zweidimensionalen Funktion die Parameter Δt = 0 bzw. Δf = 0, so ergeben sich die separaten Korrelationsfunktionen für den Frequenz– bzw. Zeitbereich:
\[\varphi_{\rm F}(\Delta f) = \varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t = 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \varphi_{\rm Z}(\Delta t) = \varphi_{\rm FZ}(\Delta f = 0, \Delta t ) \hspace{0.05cm}.\]
  • Aus der Grafik wird auch deutlich, dass diese Korrelationsfunktionen mit den hergeleiteten Leistungsdichtespektren wieder über die Fouriertransformation korrespondieren:
\[\varphi_{\rm F}(\Delta f) \hspace{0.2cm} {\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}\varphi_{\rm Z}(\Delta t) \hspace{0.2cm} {\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.\]

Kenngrößen des GWSSUS–Modells (1)


Entsprechend den Ergebnissen der letzten Seite wird der Mobilfunkkanal durch

  • das Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum ΦV(τ) und
  • das Doppler–Leistungsdichtespektrum ΦD(fD)

vollständig beschrieben. Durch geeignete Normierung auf die jeweilige Fläche 1 ergeben sich daraus die Dichtefunktionen bezüglich der Verzögerungszeit τ bzw. der Dopplerfrequenz fD.

Aus den Leistungsdichtespektren bzw. den zugehörigen Korrelationsfunktionen können Kenngrößen abgeleitet werden. Die wichtigsten sind hier zusammengestellt:

  • Die Mehrwegeverbreiterung (englisch: Time Delay Spread oder Multipath Spread) TV gibt die Verbreiterung an, die ein Diracimpuls durch den Kanal im statistischen Mittel erfährt. TV ist definiert als die Standardabweichung (σV) der Zufallsgröße τ:
\[T_{\rm V} = \sigma_{\rm V} = \sqrt{{\rm E} \left [ \tau^2 \right ] - m_{\rm V}^2} \hspace{0.05cm}.\]
Der Mittelwert mV = E[τ] ist eine für alle Signalanteile gleiche mittlere Laufzeit (englisch: Average Excess Delay). E[τ2] ist als quadratischer Mittelwert zu berechnen.
  • Die Kohärenzbandbreite BK (englisch: Coherence Bandwidth) ist derjenige Δf–Wert, bei dem der Betrag der Frequenzkorrelationsfunktion erstmals auf die Hälfte abgesunken ist.
\[|\varphi_{\rm F}(\Delta f = B_{\rm K})| \stackrel {!}{=} {1}/{2} \cdot |\varphi_{\rm F}(\Delta f = 0)| \hspace{0.05cm}.\]
BK ist ein Maß für die Frequenzdifferenz, um die sich zwei Sinussignale unterscheiden müssen, damit sie vollständig andere Kanalübertragungseigenschaften vorfinden. Ist die Signalbandbreite BS < BK, so werden alle Spektralanteile durch den Kanal annähernd gleich verändert. Das heißt: Genau dann liegt nichtfrequenzselektives Fading vor.

In der Grafik links dargestellt ist die Verzögerungsleistungsdichte ΦV(τ) mit TV = 1 μs (rote Kurve) bzw. mit TV = 2 μs (blaue Kurve). Die zugehörigen Kohärenzbandbreiten BK = 276 kHz bzw. BK = 138 kHz sind in der φFf)–Darstellung eingezeichnet.

Mehrwegeverbreiterung und Kohärenzbandbreite

Die aus ΦV(τ) berechenbare Mehrwegeverbreiterung TV steht mit der durch φFf) festgelegten Kohärenzbandbreite BK in einem festen Verhältnis zueinander: BK ≈ 0.276/TV. Die oft benutzte Näherung BK' = 1/TV ist bei exponentiellem ΦV(τ) sehr ungenau.

Kenngrößen des GWSSUS–Modells (2)


Betrachten wir nun die Kenngrößen der Zeitvarianz, die von der Zeitkorrelationsfunktion φZt) bzw. vom Doppler–Leistungsdichtespektrum ΦD(fD) abgeleitet werden:

  • Die Korrelationsdauer TD (englisch: Coherence Time) gibt die Zeit an, die im Mittel vergehen muss, bis der Kanal seine Übertragungseigenschaften aufgrund der Zeitvarianz völlig geändert hat. Die Definition ist vergleichbar mit der für die Kohärenzbandbreite:
\[|\varphi_{\rm Z}(\Delta t = T_{\rm D})| \stackrel {!}{=} {1}/{2} \cdot |\varphi_{\rm Z}(\Delta t = 0)| \hspace{0.05cm}.\]
  • Die Dopplerverbreiterung BD (oder „Fading–Bandbreite”, englisch: Doppler Spread) ist die mittlere Frequenzverbreiterung, die die einzelnen spektralen Signalanteile erfahren. Bei der Berechnung geht man ähnlich vor wie bei der Mehrwegeverbreiterung, indem man die Dopplerverbreiterung BD als die Standardabweichung der Zufallsgröße fD berechnet:
\[B_{\rm D} = \sigma_{\rm D} = \sqrt{{\rm E} \left [ f_{\rm D}^2 \right ] - m_{\rm D}^2} \hspace{0.05cm}.\]
Zunächst ist aus ΦD(fD) durch Flächennormierung auf 1 die Doppler–WDF zu ermitteln, und daraus die mittlere Dopplerverschiebung mD = E[fD] und die Standardabweichung σD.

Die Grafik gilt für einen zeitvarianten Kanal ohne Direktkomponente. Links dargestellt ist das Jakes–Spektrum ΦD(fD). Daraus kann die Dopplerverbreiterung ermittelt werden:

\[f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}50\,{\rm Hz}\hspace{-0.1cm}: \hspace{-0.1cm}\hspace{0.45cm} B_{\rm D} \approx 35\,{\rm Hz} \hspace{0.05cm},\] \[f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}100\,{\rm Hz}\hspace{-0.1cm}: \hspace{-0.1cm}\hspace{0.2cm} B_{\rm D} \approx 70\,{\rm Hz} \hspace{0.05cm}.\]

Dopplerverbreiterung und Korrelationsdauer

Die rechte Skizze zeigt die Zeitkorrelationsfunktion φZt) als die Fourierrücktransformierte von ΦD(fD). Bei den hier gegebenen Randbedingungen lautet diese mit der Besselfunktion:

\[\varphi_{\rm Z}(\Delta t = T_{\rm D}) = {\rm J}_0(2 \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot \Delta t ) \hspace{0.05cm}.\]

Die Korrelationsdauer der blauen Kurve ist TD = 4.84 ms. Für fD, max = 100 Hz (rote Kurven) ist die Korrelationsdauer nur halb so groß. Allgemein gilt im vorliegenden Fall: BD · TD ≈ 0.17.

Simulation gemäß dem GWSSUS–Modell


Das abschließend in aller Kürze dargelegte Monte–Carlo–Verfahren zur Simulation eines GWSSUS–Mobilfunkkanals basiert auf Arbeiten von Rice [Ric44][1] und Höher [Höh90][2].

  • Die 2D–Impulsantwort wird durch eine Summe aus M komplexen Exponentialfunktionen dargestellt, wobei M als die Anzahl unterschiedlicher Pfade interpretiert werden kann:
\[h(\tau, t)= \frac{1}{\sqrt {M}} \cdot \sum_{m=1}^{M} \alpha_m \cdot \delta (t - \tau_m) \cdot {\rm exp}({\rm j} \hspace{0.05cm} \phi_{m}) \cdot {\rm exp}({\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi f_{{\rm D},\hspace{0.05cm} m} t) \hspace{0.05cm}. \]
  • Vor Beginn werden die Verzögerungen τm, die Dämpfungsfaktoren αm, die gleichverteilten Phasen ϕm und die Dopplerfrequenzen fD,m nach den GWSSUS–Vorgaben „ausgewürfelt”.
  • Grundlage für das Auswürfeln der Dopplerfrequenzen fD,m ist das Jakes–Spektrum ΦD(fD), das – geeignet normiert – gleichzeitig die WDF der Dopplerfrequenzen angibt.
  • Wegen ΦVD(τ, fD) = ΦV(τ) · ΦD(fD) ist für alle m die Verzögerungszeit τm unabhängig von der Dopplerfrequenz fD,m. Für den terrestrischen Landmobilfunk gilt dies mit guter Näherung.
  • Für das Auswürfeln der Parameter αm und τm   ⇒   ΦV(τ) stehen die COST–Profile RA (Rural Area), TU (Typical Urban), BU (Bad Urban) und HT (Hilly Terrain) zur Verfügung.
  • Je größer bei der Simulation die Anzahl M unterschiedlicher Pfade gewählt wird, um so besser wird eine reale Impulsantwort durch obige Gleichung angenähert.
  • Die höhere Simulationsgenauigkeit geht allerdings auf Kosten der Simulationsdauer. In der Literatur werden für M günstige Werte zwischen 100 und 600 angegeben.
Simulierte zeitvariante Übertragungsfunktion (Betragsquadrat)

Der Bildschirmabzug zeigt ein Simulationsergebnis. Als 2D–Plot ist 20 · lg |H(f, t)| dargestellt, wobei die zeitvariante Übertragungsfunktion H(f, t) in diesem Tutorial auch mit ηFZ(f, t) bezeichnet wurde.

Der Simulation liegen folgende Parameter zugrunde:

  • Die maximale Verzögerungszeit beträgt τmax ≈ 0.4 μs, woraus sich nach der Näherung für die Kohärenzbandbreite BK' ≈ 2.5 MHz ergibt.
  • Die Zeitvarianz entsteht durch eine Bewegung mit υ = 3 km/h. Die Trägerfrequenz ist 2 GHz.
  • Die maximale Dopplerfrequenz ist fD,max ≈ 5.5 Hz, die Dopplerverbreiterung BD = 4 Hz.

Aufgaben


A2.5 Scatter-Funktion

Zusatzaufgaben:2.5 Mehrwege-Szenario

A2.6 Einheiten bei GWSSUS

A2.7 Kohärenzbandbreite

Zusatzaufgaben:2.7 BK für den LZI–Zweiwegekanal

A2.8 COST-Verzögerungsmodelle

A2.9 Korrelationsdauer

Quellenverzeichnis

  1. Rice, S.O.: Mathematical Analysis of Random Noise. BSTJ–23, pp. 282–232 und BSTJ–24, pp. 45–156, 1945.
  2. Höher, P.: Empfang trelliscodierter PSK–Signale auf frequenzselektiven Mobilfunkkanälen – Entzerrung, Decodierung und Kanalschätzung. Düsseldorf: VDI–Verlag, Fortschrittsberichte, Reihe 10, Nr. 147, 1990.