Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Zeitbereich: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 29. April 2016, 17:29 Uhr
Impulsantwort
Im Kapitel 3 von Buch „Signaldarstellung” wurde dargelegt, dass für jedes deterministische Signal $x(t)$ mit Hilfe der Fouriertransformation eine Spektralfunktion $X(f)$ angegeben werden kann. Oft bezeichnet man $X(f)$ auch kurz als das Spektrum.
Alle Informationen über die Spektralfunktion bleiben auch in der Zeitbereichsdarstellung erhalten, wenn auch nicht immer sofort erkennbar. Der gleiche Sachverhalt trifft für lineare zeitinvariante Systeme zu.
Definition: Die wichtigste Beschreibungsgröße eines linearen zeitinvarianten Systems im Zeitbereich ist die Fourierrücktransformierte von $H(f)$, die man als die Impulsantwort bezeichnet: $$h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}H(f) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}2\pi ft}\hspace{0.15cm} {\rm d}f.$$
Hierzu ist Folgendes anzumerken:
- Der Frequenzgang $H(f)$ und die Impulsantwort $h(t)$ sind äquivalente Beschreibungsgrößen, die genau die gleichen Informationen über das LZI–System beinhalten.
- Verwendet man das diracförmige Eingangssignal $x(t) = δ(t)$, so ist $X(f) = 1$ zu setzen und es gilt $Y(f) = H(f)$ bzw. $y(t) = h(t)$. Die Bezeichnung Impulsantwort spiegelt diese Aussage wieder.
- Die obige Definition lässt erkennen, dass jede Impulsantwort die Einheit Hz = $1/s$ besitzen muss.
Beispiel: Die Impulsantwort $h(t)$ des so genannten Spalt–Tiefpasses ist über eine Zeitdauer $T$ hinweg konstant und außerhalb dieses Zeitintervalls gleich 0. Der dazugehörige Amplitudengang als der Betrag des Frequenzgangs ist $|H(f)| = |si(πfT)|$. Der Phasenverlauf ergibt sich damit zu $$b(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}\pi/T \\ -\pi/T \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{\left| \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm} \right| > 0,} \\{\left|\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \right|< 0.} \\\end{array}$$ Wäre $h(t)$ symmetrisch um $t$ = 0 und damit akausal, so würde $b(f)$ = 0 gelten.
Die Fläche über die Impulsantwort ist gleich $H(f = 0)$ = 1. Daraus folgt, dass die Impulsantwort im Bereich von 0 bis $T$ gleich $1/T$ sein muss.
