Quelltext der Seite Lineare zeitinvariante Systeme/Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion

 
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==Betrachtetes Systemmodell==
Wir betrachten ein lineares zeitinvariantes System mit der Impulsantwort $h(t)$, an dessen Eingang das Signal $x(t)$ anliegt. Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich dann als das Faltungsprodukt $x(t) ∗ h(t)$.

[[Datei:P_ID1757__LZI_T_3_2_S1_neu.png | Allgemeines (auch akausales) sowie kausales Systemmodell]]

Bei akausalen Systemen und Signalen muss zur Beschreibung des Spektralverhaltens stets das erste Fourierintegral angewendet werden, und es gilt für das Ausgangsspektrum:
$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) \hspace{0.05cm}.$$
Das Fourierintegral besitzt auch für kausale Systeme und Signale, also unter der Voraussetzung
$$x(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}$$
weiterhin Gültigkeit. In diesem Fall ergeben sich aber durch Anwendung der Laplace–Transformation unter Beachtung gewisser Restriktionen wesentliche Vorteile:
*Die so behandelten Systeme sind stets durch eine Schaltung realisierbar. Der Entwickler kommt nicht in Versuchung, realitätsfremde Lösungen anzubieten. 
*Die Laplace–Transformierte $X_L(p)$ ist stets eine reelle Funktion der Spektralvariablen $p$. Dass sich diese Variable entsprechend $p = j · 2πf$ aus der Multiplikation der physikalischen Kreisfrequenz $ω = 2πf$ mit der imaginären Einheit j ergibt, spielt für den Anwender keine Rolle. 
*Die implizite Bedingung $x(t) =$ 0 für $t$ < 0 erlaubt speziell die Analyse des Einschwingverhaltens nach Einschaltvorgängen in einfacherer Weise als mit dem Fourierintegral.

==Definition der Laplace–Transformation==
Ausgehend vom ersten Fourierintegral
$$X(f) =    \int\limits_{-\infty}^{+\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t$$
ergibt sich bei einer kausalen Zeitfunktion (wenn also gilt: $x(t) =$ 0 für $t$ < 0) mit der formalen Substitution $p = j · 2πf$ direkt die Laplace–Transformation.
{{Definition}}
Die Laplace–Transformierte einer kausalen Zeitfunktion $x(t)$ lautet:
$$X_{\rm L}(p) =   \int\limits_{0}^{\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm} X_{\rm L}(p) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\circ\quad x(t)\hspace{0.05cm}$$ .
{{end}}


Der Zusammenhang zwischen der Laplace–Transformierten $X_L(p)$ und dem physikalischen Spektrum $X(f)$ ist häufig wie folgt gegeben:

$$X(f) =  X_{\rm L}(p) \Bigg |_{ {p=  \text{j}  2\pi f}}.$$

Beinhaltet allerdings das Signal $x(t)$ periodische Anteile und damit die Spektralfunktion $X(f)$ zusätzliche Diracfunktionen, so ist diese Gleichung nicht anwendbar. In diesem Fall muss $p = α + j · 2πf$ angesetzt werden und es ist dann der Grenzübergang $α → 0$ zu bilden.
{{Beispiel}}
Wir gehen von der einseitig exponentiell abfallenden Zeitfunktion – Skizze  – aus:
$$x(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 0.5  \\ {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \end{array}\begin{array}{*{20}c}{  t  < 0\hspace{0.05cm},}  \\ { t  = 0\hspace{0.05cm},}  \\{ t  > 0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$
Damit lautet die Laplace–Transformierte:
$$X_{\rm L}(p) =    \int\limits_{0}^{\infty} { {\rm e}^{-t/T}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t= \frac {1}{p + 1/T} \cdot {{\rm e}^{-(p+1/T) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}}\hspace{0.05cm}\Bigg |_{t \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0}^{\infty}= \frac {1}{p + 1/T} \hspace{0.05cm} .$$
Mit $p = j · 2πf$ erhält man die herkömmliche Spektralfunktion bezüglich $f$:
$$X(f) =    \frac {1}{{\rm j \cdot 2\pi \it f} + 1/T} = \frac {T}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT}} \hspace{0.05cm} .$$
Betrachtet man dagegen den Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung, dessen Impulsantwort $h(t)$ sich gegenüber der obigen Zeitfunktion um den Faktor $1/T$ unterscheidet, so gilt für die Laplace–Transformierte bzw. die Fourier–Transformierte:
$$H_{\rm L}(p)= \frac {1/T}{p + 1/T}= \frac {1}{1 + p \cdot T} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.4cm}H(f) =    \frac {1}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT}} \hspace{0.05cm} .$$
Häufig verwendet man dann anstelle des Parameters $T$ die 3dB–Grenzfrequenz $f_G = 1/(2πT)$.
{{end}}

==Einige wichtige Laplace–Korrespondenzen==
Unten sind einige wichtige Laplace–Korrespondenzen zusammengestellt. Die Laplace–Transformierte der Diracfunktion $δ(t)$ ist $X_L(p) =$ 1 (Diagramm A). Durch Anwendung des Integrationssatzes  erhält man für die Sprungfunktion $X_L(p) = 1/p$ (Diagramm B) und aus dieser durch Multiplikation mit $1/(pT)$ die Laplace–Transformierte der linear ansteigenden Funktion $x(t) = t/T$ für $t$ > 0 (Diagramm C). 

Die Rechteckfunktion kann aus der Subtraktion zweier um $T$ auseinanderliegender Sprungfunktionen $γ(t)$ und $γ(t – T)$ erzeugt werden, so dass sich nach dem Verschiebungssatz  die Laplace–Transformierte $X_L(p) = (1 – e^{–pT})/p$ ergibt (Diagramm D). Durch Integration erhält man daraus die Rampenfunktion bzw. nach Multiplikation mit $1/(pT)$ deren Laplace–Transformierte (Diagramm E).

Die Exponentialfunktion (Diagramm F) wurde bereits auf der letzten Seite betrachtet. Mit dem Faktor $1/T$ beschreibt diese gleichzeitig die Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung. Durch Quadrierung erhält man die $p$–Spektralfunktion eines Tiefpasses zweiter Ordnung. Die zugehörige Zeitfunktion lautet $x(t) = t/T · e^{–t/T}$ (Diagramm G). 

Neben der kausalen si–Funktion (Diagramm H) sind in der Tabelle auch die Laplace–Transformierten der kausalen Cosinus– und Sinusfunktion (Diagramme I und J) angegeben, die sich zu $p/(p^2 + ω_0^2) bzw. ω_0/(p^2 + ω_0^2)$ ergeben. Hierbei bezeichnet $ω_0 = 2πf_0 = 2π/T$ die so genannte Kreisfrequenz.

[[Datei:P_ID1758__LZI_T_3_2_S3.png | Tabelle mit einigen Laplace-Transformierten]]

Alle hier betrachteten Zeitsignale $x(t)$ sind dimensionslos angenommen. Aus diesem Grund besitzt $X_L(p)$ als das Integral über die Zeit stets die Einheit „Sekunde”.

==Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen (1)==
Ein jedes lineare zeitinvariante (LZI–) System, das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen wie Widerständen $(R)$, Kapazitäten $(C)$, Induktivitäten $(L)$ und Verstärkerelementen realisiert werden kann, besitzt eine gebrochen–rationale $p$–Übertragungsfunktion:
$$H_{\rm L}(p)= \frac {A_Z \cdot p^Z + ... + A_2 \cdot p^2 + A_1 \cdot p + A_0} {B_N \cdot p^N + ... + B_2 \cdot p^2 + B_1 \cdot p + B_0}= \frac {Z(p)}{N(p)} \hspace{0.05cm} .$$

Alle Koeffizienten $A_Z, ..., A_0, B_N, ..., B_0$ sind reell. Weiter bezeichnen 
*$Z$ den Grad des Zählerpolynoms $Z(p)$, 
*$N$ den Grad des Nennerpolynoms $N(p)$. 

Eine äquivalente Pol–Nullstellen–Darstellung der obigen Übertragungsfunktion lautet:
$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z p - p_{\rm o i}} {\prod\limits_{i=1}^N p - p_{\rm x i}}= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot ... \cdot (p - p_{{\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot ... \cdot (p - p_{{\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$

Die $Z + N +$ 1 Parameter bedeuten: 
*$K = A_Z/B_N$ ist ein konstanter Faktor. Gilt $Z = N$, so ist dieser dimensionslos. 
*Die Lösungen der Gleichung $Z(p) =$ 0 ergeben die $Z$ Nullstellen $p_{o1}, ..., p_{oZ}$ von $H_L(p)$. 
*Die Nullstellen des Nennerpolynoms $N(p)$ liefern die $N$ Polstellen (oder kurz Pole). 

Die Umformung ist eindeutig. Dies erkennt man daran, dass die obere Übertragungsfunktion ebenfalls nur durch $Z + N +$ 1 freie Parameter bestimmt ist, da einer der Koeffizienten $A_Z, ... , A_0, B_N, ... , B_0$ ohne Änderung des Quotienten auf 1 normiert werden kann.

==Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen (2)==
{{Beispiel}}
Wir betrachten den gezeichneten Vierpol mit einer Induktivität $L$ (komplexer Widerstand $pL$) im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung eines Ohmschen Widerstandes $R$ und einer Kapazität $C$ mit dem komplexen Widerstand $1/(pC)$.

[[Datei:P_ID1759__LZI_T_3_2_S4_neu.png|Betrachteter Vierpol und dazugehöriges Pol–Nullstellen–Diagramm]]

Damit lautet die $p$–Übertragungsfunktion:
$$H_{\rm L}(p)= \frac {Y_{\rm L}(p)} {X_{\rm L}(p)}= \frac {R + {1}/{(pC)}} {pL + R +{1}/{(pC)}}= \frac {1 + p \cdot{RC}} {1 + p \cdot{RC}+ p^2 \cdot{LC}}
 \hspace{0.05cm} .$$
Setzt man $p = j · 2πf$ ein, so erhält man die Fourier–Übertragungsfunktion (bzw. den Frequenzgang). Dividiert man in obiger Gleichung Zähler und Nenner durch $LC$, so ergibt sich:
$$H_{\rm L}(p)= \frac {R} {L}\cdot \frac {p + {1}/{(RC)}} {p^2 + {R}/ {L}\cdot p + {1}/{(LC)}}= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}
 \hspace{0.05cm} .$$

Im rechten Gleichungsteil ist die Übertragungsfunktion $H_L(p)$ in Pol–Nullstellen–Notation angegeben. Durch Koeffizientenvergleich ergeben sich für $R =$ 50 Ω. $L =$ 25 μH und $C =$ 62.5 nF folgende Werte: 
*die Konstante $K = R/L = 2 · 10^6 1/s$, 
*die Nullstelle $p_o = –1/(RC) = –0.32 · 10^6 1/s,$ 
*die beiden Pole $p_{x1}$ und $p_{x2}$ als Lösung der Gleichung 
$$p^2 + \frac {R} {L}\cdot p + \frac{1}{LC} = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -\frac {R} {2L}\pm \sqrt{\frac
{R^2} {4L^2}- \frac{1}{LC}}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -10^6\,\frac {1} {\rm s} \pm \sqrt{10^{12}\,\frac {1} {\rm s^2}-0.64 \cdot 10^{12}\,\frac {1} {\rm s^2}}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1 }= -0.4 \cdot 10^6\,{1}/ {\rm s},\hspace{0.2cm}p_{\rm x 2 }= -1.6 \cdot 10^6\, {1}/ {\rm s} \hspace{0.05cm} .$$
In der obigen Grafik ist rechts das Pol–Nullstellen–Diagramm angegeben. Die Achsen 1/μs bezeichnen den Real– und Imaginärteil der Variablen $p$, jeweils normiert auf den Wert $10^6$ · 1/s (= 1/μs). Man erkennt nach dieser Normierung die Nullstelle bei $p_o =$ –0.32 als Kreis und die beiden Polstellen bei $p_{x1} =$ –0.4 und $p_{x2} =$ –1.6 als Kreuze.
{{end}}

==Eigenschaften der Pole und Nullstellen (1)==

Die Übertragungsfunktion $H_L(p)$ einer jeden realisierbaren Schaltung wird durch $Z$ Nullstellen und $N$ Pole zusammen mit einer Konstanten $K$ vollständig beschrieben, wobei folgende Einschränkungen gelten:  
*Es gilt stets $Z ≤ N$. Mit $Z > N$ würde sich im Grenzfall für $p → ∞$ (also für sehr hohe Frequenzen) auch eine unendlich große $p$–Übertragungsfunktion ergeben. 
*Die Nullstellen $p_{oi}$ und die Pole $p_{xi}$ sind im allgemeinen komplex und weisen wie $p$ die Einheit 1/s auf. Gilt $Z < N$, so besitzt auch die Konstante $K$ eine Einheit. 
*Die Pole und Nullstellen können reell sein, wie im letzten Beispiel gezeigt. Sind sie komplex, so treten immer zwei konjugiert–komplexe Polstellen bzw. zwei konjugiert–komplexe Nullstellen auf, da $H_L(p)$ stets eine reelle gebrochen–rationale Funktion darstellt. 
*Alle Pole liegen in der linken Halbebene oder – als Grenzfall – auf der imaginären Achse. Diese Eigenschaft ergibt sich aus der erforderlichen und vorausgesetzten Kausalität zusammen mit dem Hauptsatz der Funktionstheorie,  der in Kapitel 3.3 angegeben wird. 
*Nullstellen können sowohl in der linken als auch in der rechten $p$–Halbebene auftreten oder auch auf der imaginären Achse. Ein Beispiel für Nullstellen in der rechten Halbebene findet man in der Aufgabe Z3.4,  die sich mit Allpässen beschäftigt. 
*Bei den so genannten Minimum–Phasen–Systemen sind in der rechten $p$–Halbebene nicht nur Pole verboten, sondern auch Nullstellen. Der Realteil aller Singularitäten ist hier nie positiv. 


Darunterfolgend werden diese Eigenschaften an drei Beispielen verdeutlicht.

==Eigenschaften der Pole und Nullstellen (2)==
{{Beispiel}}
Ausgehend vom Vierpol auf der letzten Seite  $(L$ im Längszweig, $R$ und $C$ im Querzweig) können die charakteristischen Größen der Übertragungsfunktion wie folgt angegeben werden:
$$K = 2A, \hspace{0.2cm}p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -A \pm \sqrt{A^2-B^2}, \hspace{0.2cm}p_{\rm o }= - \frac{B^2}{2A} \hspace{0.05cm} \hspace{0.2cm} \Leftarrow  \hspace{0.2cm} A = \frac {R} {2L}, \hspace{0.2cm}B = \frac{1}{\sqrt{LC}} \hspace{0.05cm}.$$
Die in der Grafik genannten Kapazitätswerte $C$ gelten für $R =$ 50 Ω und $L =$ 25 μH. Die Achsen sind auf die Variable $A = R/(2L) = 10^6 · 1/s$ normiert, und es gilt $K = 2A = 2 · 10^6 · 1/s.$

[[Datei:P_ID2837__LZI_T_3_2_S5_neu.png|Lage der Nullstelle und der Pole für Z = 1 und N = 2]]

Die Grafik zeigt drei verschiedene Diagramme. Der konstante Faktor ist jeweils $K = 2 · 10^6 · 1/s:$ 
*Für $B < A$ erhält man zwei reelle Pole und eine Nullstelle rechts von $–A/2$. Beispielsweise ergibt sich für $C =$ 62.5 nF entsprechend dem linken Diagramm:
$$ {B}/ {A}= 0.8 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1}/A = -0.4 , \hspace{0.2cm}p_{\rm x 2}/A= -1.6 , \hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A= -0.32  \hspace{0.05cm} .$$
*Für $B > A$ ergeben sich zwei konjugiert–komplexe Pole und eine Nullstelle links von $–A/2$, zum Beispiel gemäß dem rechten Diagramm für $C =$ 8 nF:
$${B}/ {A}= \sqrt{5} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }/A= -1\pm {\rm j}\cdot 2,\hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A\approx -2.5  \hspace{0.05cm} .$$
*Der Grenzfall $A = B$ führt zu einer reellen doppelten Polstelle und einer Nullstelle bei $– A/2$ (siehe mittleres Diagramm, gültig für $C =$ 40 nF):
$$ {B}/ {A}= 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1}/A=  p_{\rm x 2}/A= -1, \hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A= -0.5   \hspace{0.05cm} .$$


Die Impulsantworten sind entsprechend dem Kapitel 3.3
*aperiodisch abklingend (linkes Diagramm), 
*oszillierend (rechtes Diagramm), oder 
*man spricht vom aperiodischen Grenzfall (mittleres Diagramm). 
{{end}}

==Grafische Ermittlung von Dämpfung und Phase (1)==
Gegeben sei die $p$–Übertragungsfunktion in der Pol–Nullstellen–Notation: 
$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z (p - p_{\rm o i})} {\prod\limits_{i=1}^N (p - p_{\rm x i})}= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot ... \cdot (p - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot ... \cdot (p - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})}
 \hspace{0.05cm} .$$
Zur herkömmlichen Übertragungsfunktion bzw. zum Frequenzgang $H(f)$ kömmt man, indem man das Argument $p$ der Funktion $H_L(p)$ durch j · $2πf$ ersetzt:
$$H(f)=  K \cdot \frac {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 2})\cdot ... \cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 2})\cdot ... \cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$
Wir betrachten nun eine feste Frequenz $f$ und beschreiben die Abstände und Winkel aller Nullstellen durch Vektoren:
$$R_{ {\rm o} i} =  {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} i}= |R_{{\rm o} i}| \cdot {\rm exp}({\hspace{0.03cm}{\rm j}\cdot\phi_{ {\rm o} i} }),
 \hspace{0.3cm}i= 1, ... , Z \hspace{0.05cm} .$$
In gleicher Weise gehen wir für die Polstellen vor:
$$R_{ {\rm x} i} =  {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} i}= |R_{ {\rm x} i}| \cdot {\rm exp}({\hspace{0.03cm}{\rm j}\cdot\phi_{ {\rm x} i} }),  \hspace{0.3cm}i= 1, ... , N \hspace{0.05cm} .$$
Die nachfolgende Grafik zeigt die Beträge und Phasenwinkel für ein System mit $Z =$ 2 Nullstellen in der rechten Halbebene und $N =$ 2 Polstellen in der linken Halbebene. Zu berücksichtigen ist zudem die Konstante $K$.

[[Datei:P_ID1761__LZI_T_3_2_S6_neu.png | Ausgangsdiagramm zur Berechnung von Dämpfung und Phase]]

Mit dieser Vektordarstellung kann für den Frequenzgang geschrieben werden:
$$H(f)=  K \cdot \frac {|R_{ {\rm o} 1}| \cdot |R_{ {\rm o} 2}|\cdot ... \cdot |R_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z}|} {|R_{ {\rm x} 1}| \cdot |R_{ {\rm x} 2}|\cdot ... \cdot |R_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N}|} \cdot  {\rm e^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot [ \phi_{ {\rm o} 1}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} 2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm}{\it Z}}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 1}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 2} \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}
 - \hspace{0.1cm} \phi_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm}{\it N} }]} } \hspace{0.05cm} .$$
Die Bildbeschreibung wird nachfolgend fortgesetzt.

==Grafische Ermittlung von Dämpfung und Phase (2)==
Stellt man $H(f)$ durch die Dämpfung $a(f)$ und die Phase $b(f)$ entsprechend der allgemeinen Beziehung
$$H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}$$
dar, so erhält man durch den Vergleich mit der obigen Gleichung das folgende Ergebnis: 
*Unter der Voraussetzung, dass alle dimensionsbehafteten Größen geeignet normiert sind, gilt für die Dämpfung in Neper (1 Np ist gleich 8.686 dB):
$$a(f) = -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K + \sum \limits_{i=1}^N {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{ {\rm x} i}|- \sum \limits_{i=1}^Z {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{ {\rm o} i}| \hspace{0.05cm} .$$
*Die Phasenfunktion in Radian (rad) ergibt sich entsprechend der Skizze auf der letzten Seite zu
$$b(f) = \phi_K  + \sum \limits_{i=1}^N \phi_{ {\rm x} i}- \sum \limits_{i=1}^Z \phi_{ {\rm o} i}\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm} \phi_K = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ \pi   \end{array} \right. \begin{array}{c}   {\rm{f\ddot{u}r} }  \\ {\rm{f\ddot{u}r} }  \end{array}\begin{array}{*{20}c} {  K > 0\hspace{0.05cm},}  \\ { K <0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$
{{Beispiel}}
Die Grafik verdeutlicht die Berechnung der Dämpfungsfunktion $a(f)$ und der Phasenfunktion $b(f)$ eines Vierpols, der durch den Faktor $K =$ 1.5, eine Nullstelle bei –3 und zwei Pole bei –1 $±$j · 4 festliegt. Die angegebenen Zahlenwerte gelten für die Frequenz $2πf = 3$: 
$$a(f = \frac{3}{2\pi}) = 0.453\,\,{\rm Np}=  3.953\,\,{\rm dB} \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}|H(\frac{3}{2\pi})| = 0.636, b(\frac{3}{2\pi}) = -8.1 \,\,^\circ \hspace{0.05cm} .$$

[[Datei:P_ID1762__LZI_T_3_2_S6b_neu.png | Zur Berechnung der Dämpfungs– und Phasenfunktion]]

Die Grafik ist ein Bildschirmabzug des Interaktionsmoduls

https://intern.lntwww.de/cgi-bin/extern/uni.pl?uno=hyperlink&due=block&b_id=2294&hyperlink_typ=block_verweis&hyperlink_fenstergroesse=blockverweis_gross&session_id=

Die Dämpfung $a(f)$ ist rot dargestellt und die Phase grün. Die Herleitung dieser Zahlenwerte ist im grau hinterlegten Block verdeutlicht. Für $|H(f)|$ ergibt sich ein bandpassähnlicher Verlauf (blaue Kurve) mit
$$|H(f = 0)| \approx 0.25, \hspace{0.2cm} |H(f = \frac{4}{2\pi})| \approx 0637,\hspace{0.2cm} |H(f \rightarrow \infty)|= 0 \hspace{0.05cm} .$$
{{end}}











{{Display}}