Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen

1. Lineare zeitinvariante Systeme
2. Systemtheoretische Grundlagen
3. Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen

• Vorherige Seite
• Nächste Seite

• Vorherige Seite
• Nächste Seite

Allgemeine Bemerkungen

Alle auf den nächsten Seiten beschriebenen Tiefpassfunktionen weisen die folgenden Eigenschaften auf:

• Der Frequenzgang  $H(f)$  ist reell und gerade, so dass nach dem  Zuordnungssatz  auch die zugehörige Impulsantwort  $h(t)$  stets reell und gerade ist.
• Damit ist offensichtlich, dass die hier betrachteten Systeme akausal und somit nicht realisierbar sind.  Die Beschreibung kausaler Systeme erfolgt im Kapitel  Beschreibung kausaler realisierbarer Systeme  dieses Buches.
• Der Vorteil dieser systemtheoretischen Filterfunktionen ist die einfache Beschreibung durch maximal zwei Parameter, so dass der Filtereinfluss durchschaubar dargestellt werden kann.
• Der wichtigste Funktionsparameter ist die  äquivalente Bandbreite  entsprechend der Definition über das flächengleiche Rechteck:

$$\Delta f = \frac{1}{H(f=0)}\cdot \int_{-\infty}^{+\infty}H(f) \hspace{0.15cm} {\rm d}f.$$

• Nach dem so genannten  Reziprozitätsgesetz  liegt somit auch die  äquivalente Zeitdauer der Impulsantwort  fest, die ebenfalls über das flächengleiche Rechteck definiert ist:

$$\Delta t = \frac{1}{h(t=0)}\cdot \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{\Delta f}.$$

• Der Gleichsignalübertragungsfaktor wird – wenn nicht explizit etwas Anderes vermerkt ist – stets zu  $H(f = 0) = 1$  angenommen.
• Aus jeder Tiefpassfunktion lassen sich entsprechende Hochpassfunktionen ableiten, wie auf der Seite  Herleitung systemtheoretischer Hochpassfunktionen  gezeigt wird.

Idealer Tiefpass – Küpfmüller–Tiefpass

$\text{Definition:}$  Ein  $\text{idealer Tiefpass}$  liegt vor, wenn sein Frequenzgang den folgenden rechteckförmigen Verlauf hat:

$$H(f) = H_{\rm KTP}(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ 0.5 \\\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c} \text {für} \\ \text {für} \\ \text {für} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{\vert \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \vert< \Delta f/2,} \\{\vert \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \vert = \Delta f/2,} \\{\vert \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \vert > \Delta f/2.} \\\end{array}$$

Wir verwenden teilweise auch die Bezeichnung „Küpfmüller-Tiefpass” (KTP) in Erinnerung an den Pionier der Systemtheorie, Karl Küpfmüller.

Die Grafik zeigt einen solchen idealen Tiefpass im Frequenz– und Zeitbereich.  Man erkennt aus diesem Kurvenverläufen:

Idealer Tiefpass: Frequenzgang und Impulsantwort

• Aufgrund des abrupten, unendlich steilen Flankenabfalls ist hier die 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  genau halb so groß wie die systemtheoretische Bandbreite  $Δf$.
• Alle Spektralanteile mit  $f \lt f_{\rm G}$  werden unverfälscht durchgelassen (Durchlassbereich).
• Alle Anteile mit $f \gt f_{\rm G}$ werden vollständig unterdrückt (Sperrbereich).
• Bei  $f = f_{\rm G}$  gilt definitionsgemäß  $H(f) = 0.5$.

Beschreibung des idealen Tiefpasses im Zeitbereich:

• Die Impulsantwort  (siehe rechte Grafik)  ergibt sich entsprechend der Fourierrücktransformation zu

$$h(t) = h_{\rm KTP}(t) =\Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t)\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) ={\sin(x)}/{x}.$$

• Die beidseitig bis ins Unendliche ausgedehnte Impulsantwort  $h(t)$  weist äquidistante Nulldurchgänge im Abstand  $Δt = 1/ Δf$  auf.
• Der asymptotische Abfall erfolgt umgekehrt proportional mit der Zeit:

$$|h(t)| = \frac{\Delta f}{\pi \cdot \Delta f \cdot |t|} \cdot \left |{\rm sin}(\pi \cdot \Delta f\cdot t )\right | \le \frac{1}{\pi \cdot |t|}.$$

• Daraus folgt, dass die Impulsantwort erst für Zeiten  $t \gt t_{1‰} = 318 \cdot \Delta t$  mit Sicherheit kleiner als  $1‰$  des Impulsmaximums ist.
• Die Sprungantwort  $\sigma(t)$  ergibt sich aus der Impulsantwort durch Integration und lautet:

$${\sigma}(t) = \int_{ - \infty }^{ t } {h ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot {\rm Si}(\pi \cdot\Delta f \cdot t ).$$

• Hierbei ist die so genannte  "Integral–Sinusfunktion"  verwendet:

$${\rm Si}(x) = \int_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \xi )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi = x - \frac{x^3}{3 \cdot 3!} + \frac{x^5}{5 \cdot 5!} - \frac{x^7}{7 \cdot 7!}+\text{ ...}$$

Diese besitzt folgende Eigenschaften:

$${\rm Si}(0) = 0, \hspace{0.3cm}{\rm Si}(\infty) = \frac{\pi}{2}, \hspace{0.3cm}{\rm Si}(-x) = -{\rm Si}(x).$$

Hinweis:   In manchen Büchern wird statt der Funktion  ${\rm si}(x)$  die ähnliche Funktion  ${\rm sinc}(x)$  verwendet:

$${\rm si}(x) = \frac{\sin(x)}{x}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{\rm sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = {\rm si}(\pi x).$$

Damit lautet die Impulsantwort des idealen Tiefpasses:   $h(t)$ = $Δf · {\rm sinc}(Δf · t).$

Spalt–Tiefpass

$\text{Definition:}$  Man bezeichnet ein LZI–System als  $\text{Spalt–Tiefpass}$, wenn der Frequenzgang die folgende Form hat:

$$H(f) = H_{\rm STP}(f)= {\rm si}(\pi {f}/{ \Delta f})\hspace{0.7cm}{\rm{mit} }\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) ={\sin(x)}/{x}.$$

Aus der linken Grafik ist zu erkennen, dass der Frequenzgang  $H_{\rm STP}(f)$  des Spalt–Tiefpasses formgleich mit der Impulsantwort  $h_{\rm KTP}(t)$  des Küpfmüller–Tiefpasses ist.

Spalt–Tiefpass:  Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort

Nach dem  Vertauschungssatz  muss deshalb auch die Impulsantwort  $h_{\rm STP}(t)$  des Spalt–Tiefpasses die gleiche Form wie der Frequenzgang  $H_{\rm KTP}(f)$  des idealen Tiefpasses aufweisen.

Mit  $Δt = 1/ Δf$  gilt somit:

$$h(t) = h_{\rm STP}(t)= \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}\Delta f \\ \Delta f/2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} \text{für} \\ \text{für} \\ \text{für} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\vert \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \vert < \Delta t/2,} \\ {\vert \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \vert = \Delta t/2,} \\ {\vert \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \vert > \Delta t/2.} \\ \end{array}$$

Anhand der rechten Grafik sind folgende Aussagen ableitbar:

• Auch der Spalt–Tiefpass ist in dieser Form akausal.  Durch eine zusätzliche Laufzeit von  $Δt/2$  wird das System jedoch kausal und damit realisierbar.
• Der Spalt–Tiefpass wirkt als Integrator über die Zeitdauer  $Δt$:

$$y(t) = x (t) * h (t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ t - \Delta t/2 }^{ t + \Delta t/2 } {x ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

• Ist  $x(t)$  eine harmonische Schwingung mit der Frequenz  $f_0 = k \cdot Δf$  $($wobei  $k$  ganzzahlig ist$)$, so wird genau über  $k$  Perioden integriert und es gilt  $y(t) = 0$. 
  Dies zeigen auch die Nullstellen von  $H(f)$.

Gauß–Tiefpass

Eine häufig für systemtheoretische Untersuchungen verwendete Filterfunktion ist der Gaußtiefpass, der ebenfalls durch nur einen Parameter, nämlich die  äquivalente Bandbreite  $Δf$, beschreibbar ist.

$\text{Definition:}$  Für den Frequenzgang und die Impulsantwort des  $\text{Gauß–Tiefpasses}$  gelten:

$$H(f) = H_{\rm GTP}(f)= {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2}\hspace{0.15cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.15cm}h(t) = h_{\rm GTP}(t) = \Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\Delta f \cdot \hspace{0.03cm} t)^2} .$$

Der Name geht auf den Mathematiker, Physiker und Astronomen  Carl-Friedrich Gauß   zurück.  Gauß hat sich zwar nicht selber mit dieser Thematik auseinandergesetzt, aber die mathematische Form von Frequenzgang und Impulsantwort weisen eine Ähnlichkeit mit der so genannten  Gaußformel  auf, die er für die Wahrscheinlichkeitsrechnung gefunden hat.

Gaußtiefpass:  Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort

Anhand dieser Grafik können folgende Aussagen getroffen werden:

• Die ebenfalls über das flächengleiche Rechteck definierte  äquivalente Impulsdauer  $Δt$  ist gleich dem Kehrwert der äquivalenten Bandbreite  $Δf$.
• Eine schmalbandige Filterfunktion  (kleines  $Δf$)  führt zu einer breiten  (großes  $Δt$)  und gleichzeitig niedrigen Impulsantwort  $h(t)$.
• Das so genannte  Reziprozitätsgesetz  von Zeitdauer und Bandbreite lässt sich am Beispiel des Gaußtiefpasses besonders anschaulich zeigen.
• Die Frequenz– und Zeitbereichsdarstellungen sind prinzipiell von gleicher Form.  Man sagt auch, dass die Gaußfunktion invariant gegenüber der Fouriertransformation ist.
• Aufgrund der unendlichen Ausbreitung seiner Impulsantwort ist der Gaußtiefpass ebenso wie der ideale Tiefpass stark akausal und (exakt) nur mit unendlich großer Laufzeit realisierbar.
• Allerdings ist zu berücksichtigen, dass  $h(t)$  bereits bei  $t = 1.5 \cdot Δt$  auf  $1‰$  seines Maximalwertes abgeklungen ist.  Für  $t = 3 \cdot Δt$  ergibt sich sogar  $h(t) ≈ 5 · 10^{–13} · h(0)$.
• Diese Zahlenwerte machen deutlich, dass man den Gaußtiefpass durchaus auch für praxisnahe Simulationen heranziehen kann, solange Laufzeiten keine systembegrenzende Rolle spielen.
• Die Sprungantwort  $σ(t)$  lautet mit der Gaußschen Fehlerfunktion  $ϕ(x)$, die in Formelsammlungen meist tabellarisch angegeben wird:

$$\sigma_{\rm GTP}(t) = \int_{ -\infty }^{ t } {h(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = {\rm \phi}\left( \sqrt{2 \pi }\cdot{t}/{\Delta t} \right) \hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot \int_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$

Trapez–Tiefpass

Die bisher in diesem Kapitel beschriebenen Tiefpassfunktionen hängen nur von einem Parameter ab:  der äquivalenten Bandbreite  $Δf$.  Dabei war die Flankensteilheit für einen gegebenen Filtertyp fest vorgegeben.

Nun wird ein Tiefpass mit parametrisierbarer Flankensteilheit beschrieben.

$\text{Definition:}$  Der Frequenzgang des  $\text{Trapez–Tiefpasses}$  lautet mit den Eckfrequenzen  $f_1$  und  $f_2 \ge f_1$:

$$H(f)= H_{\rm TTP}(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \frac{f_2 - \vert f \vert }{f_2 -f_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} \text{für} \\ \text{für} \\ \text{für} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\hspace{0.94cm}\vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert < f_1,} \\ {f_1 \le \vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert \le f_2,} \\ {\hspace{0.94cm}\vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert > f_2.} \\ \end{array}$$

Anstelle von  $f_1$  und  $f_2$  kann man zur Beschreibung von  $H(f)$  auch folgende Parameter verwenden:

• die  $\text{äquivalente Bandbreite}$, ermittelt über das flächengleiche Rechteck:

$$\Delta f = f_1 + f_2.$$

• den  $\text{Rolloff-Faktor}$  (im Frequenzbereich)  als Maß für die Flankensteilheit:

$$r_{\hspace{-0.05cm}f} = \frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1}.$$

Als Sonderfälle sind in der allgemeinen Darstellung enthalten:

• der ideale rechteckförmige Tiefpass  $(r_{\hspace{-0.05cm}f} = 0)$,
• der Dreiecktiefpass  $(r_{\hspace{-0.05cm}f} = 1)$.

Die folgende Grafik zeigt für den Rolloff–Faktor  $r_f = 0.5 \ \Rightarrow \ f_2 = 3f_1$  links den Frequenzgang  $H(f)$  und rechts die Impulsantwort

$$h(t) = h_{\rm TTP}(t) = \Delta f \cdot {\rm sinc}(\Delta f \cdot t )\cdot {\rm sinc}( r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot \Delta f \cdot t )\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$$

Der  ${\sin(x)}/{x}$–förmige Zeitverlauf des rechteckförmigen Tiefpasses mit gleicher äquivalenter Bandbreite ist zum Vergleich gestrichelt eingezeichnet.

Trapez–Tiefpass: Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort

Die Grafik sowie obige Gleichungen erlauben folgende Aussagen:

• Die Trapezform entsteht zum Beispiel durch die Faltung zweier Rechtecke der Breiten  $Δf$  und  $r_f \cdot Δf$.
• Entsprechend dem Faltungssatz ist somit die Impulsantwort das Produkt zweier  $\rm si$–Funktionen mit den Argumenten  $π · Δf · t$  und  $π · r_{\hspace{-0.05cm}f} · Δf · t$.
• Die erste  $\rm si$–Funktion ist für alle Werte von  $r_{\hspace{-0.05cm}f}$  Bestandteil der Gleichung für  $h(t)$  und führt stets zu äquivalenten Nulldurchgängen im Abstand  $1/Δf$.
• Für  $0 \lt r_{\hspace{-0.05cm}f} \lt 1$  gibt es weitere Nullstellen bei Vielfachen von  $Δt/r_{\hspace{-0.05cm}f}$.
• Der asymptotische Abfall der Impulsantwort $h(t)$ erfolgt um so schneller, je größer  $r_{\hspace{-0.05cm}f}$  ist, das heißt bei gegebenem  $Δf$  mit flacherer Flanke.
• Der schnellstmögliche Abfall ergibt sich beim Dreiecktiefpass   ⇒   $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 1$,  $f_1 = 0$,  $f_2 = Δf$.  Für diesen gilt im Frequenz– und Zeitbereich:

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm} \frac{{\rm \Delta}f -|f|}{{\rm \Delta}f} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\hspace{1cm} \left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| \le {\rm \Delta}f ,} \\ {\hspace{1cm}\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| \ge {\rm \Delta}f } \\ \end{array}, \hspace{1cm} h(t) = \Delta f \cdot {\rm sinc}^2(\Delta f \cdot t )\hspace{0.4cm}{\rm{mit}}\hspace{0.4cm}{\rm sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$$

Cosinus-Rolloff-Tiefpass

Ebenso wie der  Trapez–Tiefpass  wird dieser Tiefpass durch zwei Parameter beschrieben, nämlich durch

• die äquivalente Bandbreite  $Δf$  und
• den Rolloff–Faktor  $r_{\hspace{-0.05cm}f}$.

Dessen Wertebereich liegt zwischen  $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 0$  (Rechtecktiefpass)  und  $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 1$  (Cosinus–Quadrat–Tiefpass).

$\text{Definition:}$  Mit den Eckfrequenzen  $f_1 = Δf · (1 – r_{\hspace{-0.05cm}f})$   und  $f_2 = Δf · (1 + r_{\hspace{-0.05cm}f})$  lautet der Frequenzgang des  $\text{Cosinus–Rolloff–Tiefpasses}$:

$$H(f) = H_{\rm CRO}(f) =\left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ \cos \left( \frac{ \vert f \vert - f_1}{f_2 -f_1}\cdot \pi/2\right) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} \text{für} \\ \text{für} \\ \text{für} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\hspace{0.94cm}\vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert < f_1,} \\ {f_1 \le \vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert \le f_2,} \\ {\hspace{0.94cm}\vert \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \vert> f_2.} \\ \end{array}$$

Cosinus–Rolloff–Tiefpass und zugehörige Impulsantwort

Die Grafik zeigt links  $H(f) = H_{\rm CRO}(f)$  sowie rechts die Impulsantwort

$$h(t) = h_{\rm CRO}(t) =\Delta f \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} {\rm sinc}( \Delta f \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} t )\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} \frac {\cos(\pi \cdot r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot \Delta f \cdot t )}{1 - (2 \cdot r_f \cdot \Delta f \cdot t)^2}.$$

Für diese Grafiken wurde der Rolloff–Faktor $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 0.5$ verwendet, das heißt, es gilt $f_2 = 3 \cdot f_1$.

Gestrichelt sind zum Vergleich eingezeichnet:

• im Frequenzbereich der Trapez Tiefpass und
• im Zeitbereich die  $\rm sinc$–Funktion.

Es ist zu beachten:  Die  $\rm sinc$–Funktion ist nicht die Fourierrücktransformierte des links blau eingezeichneten Trapeztiefpasses.  Sie beschreibt vielmehr den (nicht dargestellten) idealen, rechteckförmigen Tiefpass im Zeitbereich.

Anhand dieser Grafik und den obigen Gleichungen sind folgende Aussagen möglich:

• Die Impulsantwort  $h(t)$  des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses hat bei allen Vielfachen von  $Δt = 1/Δf$  Nullstellen, die auf die im rechten Bild gestrichelt eingezeichnete sinc–Funktion zurückzuführen sind.
• Der letzte Term in der  $h(t)$–Gleichung führt zu weiteren Nullstellen bei Vielfachen von  $Δt/r_f$.  Ist  $1/r_f$  ganzzahlig wie in obiger Grafik  $(1/r_f = 2)$,  so fallen diese neuen Nullstellen mit den anderen Nullstellen zusammen, sind also nicht erkennbar.
• Je größer der Rolloff-Faktor  $r_f$  ist und je flacher damit der Flankenabfall erfolgt, desto günstiger ist im Allgemeinen das Einschwingverhalten des Cosinus-Rolloff-Tiefpasses.
• Der Cosinus–Rolloff–Tiefpass zeigt meist ein besseres asymptotisches Einschwingverhalten als der Trapez–Tiefpass mit gleichem  $r_f$, obwohl dieser zumindest bei  $Δf/2$  eine flachere Flanke aufweist.
• Dies lässt darauf schließen, dass das Einschwingverhalten nicht nur durch Unstetigkeitsstellen (wie beim Rechteck), sondern auch durch Knickpunkte wie beim Trapez–Tiefpass beeinträchtigt wird.

Cosinus-Quadrat-Tiefpass

$\text{Definition:}$  Als Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Tiefpasses ergibt sich mit  $f_1 = 0$,  $f_2 = Δf$   ⇒   $r_f = 1$  der  $\text{Cosinus–Quadrat–Tiefpass}$.  Für  $\vert f \vert \le \Delta f$  gilt hier:

$$H(f) = \cos^2\Big(\frac{\vert f \vert \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \pi}{2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \Delta f}\Big). $$

Außerhalb dieses inneren Frequenzbereichs ist $H(f)=0$.

Für die Impulsantwort erhält man gemäß der Fourierrücktransformation nach einigen Umformungen:

$$h(t)=\Delta f \cdot {\rm sinc}(\Delta f \cdot t)\cdot \big [{\rm sinc}(\Delta f\cdot t +0.5)+{\rm sinc}(\Delta f\cdot t -0.5)\big ],$$

$$T=1/\Delta f \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} h(t)=1/T \cdot {\rm sinc}(t/T)\cdot \big [{\rm sinc}(t/T +0.5)+{\rm sinc}(t/T -0.5)\big ].$$

• Wegen der ersten  ${\rm sinc}$-Funktion ist  $h(t)=0$  für Vielfache von  $T=1/\Delta f$   ⇒   Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses bleiben erhalten.
• Aufgrund des Klammerausdrucks weist  $h(t)$  nun weitere Nulldurchgänge bei  $t=\pm1.5 T$,  $\pm2.5 T$,  $\pm3.5 T$, ...  auf, nicht jedoch bei  $t=\pm0.5 T$.
• Für  $t=\pm0.5 T$  hat die Impulsanwort den Wert  $\Delta f/2$.

Der asymptotische Abfall von  $h(t)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/t^3$.  Außerdem ist zu erwähnen, dass der Cosinus–Quadrat–Tiefpass als einziger Tiefpass beide  Nyquistkriterien  erfüllt.  Das Auge ist hier sowohl vertikal als auch horizontal maximal geöffnet   ⇒   siehe  Definition und Aussagen des Augendiagramms.

Herleitung systemtheoretischer Hochpassfunktionen

Bisher wurden in diesem Kapitel sechs häufig verwendete systemtheoretische Tiefpassfunktionen betrachtet.  Für jede einzelne Tiefpassfunktion lässt sich auch eine äquivalente Hochpassfunktion angeben.

$\text{Definition:}$  Ist  $H_{\rm TP}(f)$  eine systemtheoretische Tiefpass–Funktion mit  $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$, so ist die  $\text{äquivalente Hochpassfunktion}$:

$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$

Damit lauten die Beschreibungsgrößen im Zeitbereich:

$$h_{\rm HP}(t) = \delta (t) - h_{\rm TP}(t),\hspace{1cm} \sigma_{\rm HP}(t) = \gamma (t) - \sigma_{\rm TP}(t). $$

Hierbei bezeichnen:

• $h_{\rm HP}(t)$  und  $h_{\rm TP}(t)$  die Impulsantworten von Hoch– und Tiefpass,
• $σ_{\rm HP}(t)$  und  $σ_{\rm TP}(t)$  die dazugehörigen Sprungantworten,
• $γ(t)$  die Sprungfunktion als Ergebnis der Integration über die Diracfunktion  $δ(t)$.

Konstruktion von Hochpassfunktionen aus den entsprechenden Tiefpässen

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten den Spalttiefpass, der sich auszeichnet durch

• einen  $\rm si$–förmigen Frequenzgang,
• eine rechteckförmige Impulsantwort und
• eine linear ansteigende Sprungantwort. 

Diese sind in der oberen Grafik dargestellt.  Die untere Skizze zeigt die entsprechenden Hochpassfunktionen.

Man erkennt, dass

• $H_{\rm HP}(f = 0)$  stets gleich  $0$  ist, wenn  $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$,
• demzufolge das Integral über  $h_{\rm HP}(t)$  ebenfalls Null ergeben muss,
• und die Sprungantwort  $σ_{\rm HP}(t)$  gegen den Endwert Null tendiert.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 1.5: Idealer rechteckförmiger Tiefpass

Aufgabe 1.5Z: si-förmige Impulsantwort

Aufgabe 1.6: Rechtförmeckige Impulsantwort

Aufgabe 1.6Z: Interpretation der Übertragungsfunktion

Aufgabe 1.7: Nahezu kausaler Gaußtiefpass

Aufgabe 1.7Z: Systemanalyse

Aufgabe 1.8: Variable Flankensteilheit

Aufgabe 1.8Z: Cosinus-Quadrat-Tiefpass