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* Mitarbeit von Studenten: Huber
 
* Mitarbeit von Studenten: Huber
  
==Übertragungsfunktion - Frequenzgang==
 
Wir setzen ein LZI–System voraus, dessen Eingangs– und Ausgangsspektrum $X(f)$ bzw. $Y(f)$ bekannt sind oder aus den Zeitsignalen $x(t)$ und $y(t)$ durch [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fouriertransformation]] berechnet werden können.
 
  
[[Datei:P_ID777__LZI_T_1_1_S4_neu.png  | Zur Definition des Frequenzgangs|class=fit]]
 
 
{{Definition}}
 
Das Übertragungsverhalten eines Nachrichtensystems wird im Frequenzbereich durch die '''Übertragungsfunktion''' beschrieben:
 
$$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}= \frac{ {\rm Wirkungsfunktion}}{ {\rm Ursachenfunktion}}.$$
 
Weitere Bezeichnungen für $H(f)$ sind ''Systemfunktion'' und ''Frequenzgang''. Im Folgenden werden wir vorwiegend den letzten Begriff verwenden.
 
{{end}}
 
 
 
{{Beispiel}}
 
Am Eingang eines LZI–Systems liegt das Signal $x(t)$ mit dem rein reellen Spektrum $X(f)$ an (blaue Kurve). Das gemessene Ausgangsspektrum $Y(f)$ – in der Grafik rot markiert – ist bei Frequenzen kleiner als 2 kHz größer als $X(f)$ und besitzt im Bereich um 2 kHz eine steilere Flanke. Oberhalb von 2.8 kHz hat das Signal $y(t)$ keine Spektralanteile.
 
 
[[Datei:P_ID778__LZI_T_1_1_S4b_neu.png |Eingangsspektrum, Ausgangsspektrum und Frequenzgang|class=fit]]
 
 
Die grünen Kreise markieren einige Messpunkte des ebenfalls reellen Frequenzgangs $H(f)$ = $Y(f)/X(f)$. Bei niedrigen Frequenzen ist $H(f)$ größer als 1, das heißt, in diesem Bereich wirkt das LZI–System verstärkend. Der Flankenabfall von $H(f)$ verläuft ähnlich wie der von $Y(f)$, ist aber nicht identisch mit diesem.
 
{{end}}
 
 
==Eigenschaften des Frequenzgangs==
 
Der Frequenzgang $H(f)$ ist eine zentrale Größe bei der Beschreibung nachrichtentechnischer Systeme. Nachfolgend werden einige Eigenschaften dieser wichtigen Systemgröße aufgezählt:
 
*Der Frequenzgang beschreibt allein das System. Er ist zum Beispiel aus den linearen Bauelementen eines ''elektrischen Netzwerks'' berechenbar. Bei anderem Eingangssignal $x(t)$ und dementsprechend anderem Ausgangssignal $y(t)$  ergibt sich der genau gleiche Frequenzgang $H(f)$.
 
*$H(f)$ kann auch eine ''Einheit'' besitzen. Betrachtet man zum Beispiel bei einem Zweipol den Spannungsverlauf $u(t)$ als Ursache und den Strom $i(t)$ als Wirkung, so hat der Frequenzgang $H(f)$ = $I(f)/U(f)$ die Einheit A/V. $I(f)$ und $U(f)$ sind die Fouriertransformierten von $i(t)$ bzw. $u(t)$.
 
*Im Folgenden betrachten wir ausschließlich ''Vierpole''. Zudem setzen wir ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit meist voraus, dass $x(t)$ und $y(t)$ jeweils Spannungen seien. In diesem Fall ist $H(f)$ stets dimensionslos.
 
*Da die Spektren $X(f)$ und $Y(f)$ im Allgemeinen komplex sind, ist auch der Frequenzgang $H(f)$ eine komplexe Funktion. Man bezeichnet den Betrag $\\ |H(f)|$ als ''Amplitudengang''. Dieser wird auch oft in logarithmierter Form dargestellt und als ''Dämpfungsverlauf'' bezeichnet:
 
:$$a(f) = - \ln |H(f)| = - 20 \cdot \lg |H(f)|.$$
 
:Je nachdem, ob die erste Form mit dem natürlichen oder die zweite mit dekadischem Logarithmus verwendet wird, ist die Pseudoeinheit „Neper” (Np) bzw. „Dezibel” (dB) hinzuzufügen.
 
*Der Phasengang ist aus $H(f)$ in folgender Weise berechenbar:
 
:$$b(f) = - {\rm arc} \hspace{0.1cm}H(f) \hspace{0.2cm}{\rm in\hspace{0.1cm}Radian \hspace{0.1cm}(rad)}.$$
 
*Damit kann der gesamte Frequenzgang auch wie folgt dargestellt werden:
 
:$$H(f) = |H(f)| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} b(f)} = {\rm e}^{-a(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f)}.$$
 
 
==Tiefpass, Hochpass, Bandpass und Bandsperre==
 
Nach dem Amplitudengang $|H(f)|$ unterscheidet man zwischen
 
*'''Tiefpass''':  Signalanteile werden mit zunehmender Frequenz in der Tendenz stärker gedämpft.
 
*'''Hochpass''':  Hier werden hochfrequente Signalanteile weniger gedämpft als niederfrequente. Ein Gleichsignal (also ein Signalanteil mit der Frequenz $f = 0$) kann über einen Hochpass nicht übertragen werden.
 
*'''Bandpass''':  Es gibt eine bevorzugte Frequenz, die man als Mittenfrequenz $f_{\rm M}$ bezeichnet. Je weiter die Frequenz eines Signalanteils von $f_{\rm M}$ entfernt ist, um so stärker wird dieser gedämpft.
 
*'''Bandsperre''':  Dies ist das Gegenstück zum Bandpass und es gilt $|H(f_{\rm M})| ≈ 0$. Sehr niederfrequente und sehr hochfrequente Signalanteile werden dagegen gut durchgelassen.
 
 
[[Datei:P_ID780__LZI_T_1_1_S6_neu.png  | Tiefpass, Hochpass (links) und Bandpass (rechts)|class=fit]]
 
 
Die Grafik zeigt die Amplitudengänge der Filtertypen TP und HP (links) sowie BP (rechts). Ebenfalls eingezeichnet sind die Grenzfrequenzen $f_{\rm G}$ (bei Tiefpass und Hochpass) bzw. $f_{\rm U}$ und $f_{\rm O}$ (beim Bandpass). Diese bezeichnen hier 3dB–Grenzfrequenzen, zum Beispiel gemäß folgender Definition:
 
{{Definition}}
 
Die '''3dB–Grenzfrequenz''' eines Tiefpasses gibt diejenige Frequenz $f_{\rm G}$ an, für die gilt:
 
$$|H(f = f_{\rm G})| = {1}/{\sqrt{2}} \cdot|H(f = 0)| \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} |H(f = f_{\rm G})|^2 = {1}/{2} \cdot|H(f = 0)|^2.$$
 
{{end}}
 
 
 
Anzumerken ist, dass es für Grenzfrequenzen auch andere Definitionen gibt. Diese finden Sie auf der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Allgemeine_Bemerkungen|Allgemeine Bemerkungen]]
 
im Kapitel „Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen” .
 
 
==Testsignale zur Messung von <i>H(f)</i>==
 
Zur messtechnischen Erfassung des Frequenzgangs $H(f)$ eignet sich jedes beliebige Eingangssignal $x(t)$ mit Spektrum $X(f)$, solange $X(f)$ keine Nullstellen aufweist. Durch Messung des Ausgangsspektrums $Y(f)$ lässt sich so der Frequenzgang in einfacher Weise ermitteln:
 
$$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}.$$
 
Insbesondere sind  folgende Eingangssignale besonders geeignet: 
 
*'''Diracimpuls''' &nbsp; $x(t) = K · δ(t)$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  Spektrum $X(f) = K$:
 
:Somit ist der Frequenzgang nach Betrag und Phase formgleich mit dem Ausgangsspektrum $Y(f)$ und es gilt $H(f) = 1/K · Y(f)$. Approximiert man den Diracimpuls durch ein schmales Rechteck gleicher Fläche $K$, so muss $H(f)$ mit Hilfe einer ${\rm sin}(x)/x$–Funktion korrigiert werden.
 
*'''Diracpuls''' – die unendliche Summe gleichgewichteter Diracimpulse im zeitlichen Abstand $T_{\rm A}$:
 
:Dieser führt gemäß Kapitel  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]  im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo; zu einem Diracpuls im Frequenzbereich mit Abstand $f_{\rm A} =1/T_{\rm A}$. Damit ist eine frequenzdiskrete Messung von $H(f)$ möglich, mit den spektralen Abtastwerten im Abstand $f_{\rm A}$.
 
*'''Harmonische Schwingung''' &nbsp; $x(t) = A_x · \cos (2πf_0t – φ_x)$  &nbsp; ⇒ &nbsp;  diracförmiges Spektrum bei $\pm f_0$:
 
:Das Ausgangssignal $y(t) = A_y · \cos(2πf_0t – φ_y)$ ist eine Schwingung mit gleicher Frequenz $f_0$.  Der Frequenzgang lautet für $f_0 \gt 0$:
 
:$$H(f_0) = \frac{Y(f_0)}{X(f_0)} = \frac{A_y}{A_x}\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (\varphi_x - \varphi_y)}.$$ Um den frequenzkontinuierlichen Frequenzgang $H(f)$ zu ermitteln, sind allerdings  (unendlich) viele Messungen mit unterschiedlichen Frequenzen $f_0$ erforderlich.
 
  
 
==Signaldarstellung==
 
==Signaldarstellung==
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* Weitere Beteiligte des LNT:
 
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* Mitarbeit von Studenten:
 
* Mitarbeit von Studenten:
 
 
 
 
 
===Inhalt===
 
{{Collapsible-Kopf}}
 
{{Collapse1| header=Signaldarstellung
 
| submenu=
 
*[[/Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung/]]
 
*[[/Wahrscheinlichkeitsdichte des Rayleigh–Fadings/]]
 
*[[/Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh–Prozesses/]]
 
*[[/Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente/]]
 
}}
 
{{Collapse2 | header=Lineare zeitunabhängige Systeme
 
| submenu=
 
*[[/Autoren/]]
 
*[[/Mitwirkende/]]
 
*[[/Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh–Prozesses/]]
 
*[[/Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente/]]
 
}}
 

Version vom 29. November 2016, 14:30 Uhr

Das Lerntutorial LNTwww wird vom Lehrstuhls für Nachrichtentechnik (LNT) der Technischen Universität München (TUM) angeboten. Alle Rechte an diesem Tutorial verbleiben bei LNT/TUM und den nachfolgend genannten Autoren.

Weiteres BLABLA


Signaldarstellung

  • Entstanden zwischen ???
  • Autoren: Günter Söder und Klaus Eichin
  • Weitere Beteiligte des LNT:
  • Mitarbeit von Studenten: Huber


Lineare zeitinvariante Systeme

  • Entstanden zwischen ???
  • Autoren: Günter Söder und Klaus Eichin
  • Weitere Beteiligte des LNT:
  • Mitarbeit von Studenten: Huber


Signaldarstellung

  • Autoren: Günter Söder und Klaus Eichin
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Lineare zeitinvariante Systeme

  • Autoren: Günter Söder und Klaus Eichin
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