Viterbi–Empfänger

1. Digitalsignalübertragung
2. Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren
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Blockschaltbild und Voraussetzungen für Kapitel 3.8 (1)

Der Korrelationsempfänger ist im Sinne der Maximum–Likelihood–Entscheidungsregel optimal, das heißt, er führt bei gleichwahrscheinlichen Quellensymbolen zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit. Nachteilig ist:

• Der Realisierungsaufwand steigt exponentiell mit der Länge N der zu detektierenden Symbolfolge.
  
• Da die Folge gemeinsam entschieden wird, kommt es bei großem N zu langen Verzögerungen.
  
  

In den 1970er Jahren hat Andrew J. Viterbi einen ML–Empfänger vorgeschlagen, der die Detektion von Teilen der empfangenen Nachricht erlaubt und bei dem sich der Realisierungsaufwand auch bei unendlich langen Folgen in Grenzen hält.

Zu den einzelnen Komponenten des Blockschaltbildes ist anzumerken:

• Das an den Empfangsgrundimpuls und die Störung angepasste Matched–Filter H_MF(f) dient der Störleistungsbegrenzung. Das MF–Ausgangssignal m(t) bzw. die Folge 〈m_ν〉 der äquidistanten Signalwerte nach der Abtastung besitzt das bestmögliche Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis.
  

• Aufgabe des Dekorrelationsfilters H_DF(f) ist es, aus der Folge 〈m_ν〉 die Detektionsabtastwerte d_ν = d_Sν + d_Nν zu gewinnen, deren Störanteile d_Nν unkorreliert sind. Dieses Filter wird deshalb auch Whitening–Filter genannt.
  

• Der Viterbi–Entscheider, der im Mittelpunkt der folgenden Betrachtungen steht, gewinnt aus der Folge 〈d_ν〉 seiner wertkontinuierlichen Eingangswerte die binäre Ausgangsfolge 〈υ_ν〉 entsprechend der Maximum–Likelihood–Regel mit der kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit Pr(υ_ν ≠ q_ν).
  
  

Die Beschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.

Blockschaltbild und Voraussetzungen für Kapitel 3.8 (2)

Um den Viterbi–Algorithmus möglichst einfach beschreiben und veranschaulichen zu können, werden hier einige vereinfachende Voraussetzungen getroffen:

• Die Amplitudenkoeffizienten seien unipolar  ⇒  a_ν ∈ {0, 1}. Anzumerken ist, dass es bei der Verwendung bipolarer Koeffizienten a_ν ∈ {–1, +1} nur weniger Modifikationen bedarf.
  

• Der Grundimpuls g_d(t) besteht nur aus dem Hauptwert g₀ = g_d(t = T_D) und einem Vorläufer g_–1 = g_d(t = T_D – T).
  

• Damit ergeben sich für die wertkontinuierlichen Detektionsabtastwerte

\[d_{\nu} = a_{\nu}\cdot g_{0} + a_{\nu+1}\cdot g_{-1}+d_{{\rm N}\nu} \hspace{0.05cm},\]

wobei die Rauschkomponente d_Nν als gaußverteilt angenommen wird (Streuung σ_d).

Bei bipolarer Signalisierung ist der Algorithmus nicht aufwändiger. Dagegen steigt der Rechenaufwand, wenn der Detektionsgrundimpuls breiter wird und mehr als nur einen Vorläufer g_–1 aufweist. Die Vernachlässigung von Nachläufern stellt keine grundlegende Einschränkung dar, weil jeder Impuls g_d(t) diese Bedingung durch geeignete Wahl des Detektionszeitpunktes T_D erfüllen kann. Anzumerken ist weiter, dass im Folgenden alle Signalwerte auf 1 normiert werden.

: In der Grafik sind die Detektionsnutzabtastwerte d_sν als (blaue) Kreuze eingetragen, wobei die zugehörigen Amplitudenkoeffizienten a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 0, ... aus dem grün eingezeichneten Quellensignal q(t) abgelesen werden können. Die Grundimpulswerte sind in diesem Beispiel zu g₀ = 0.7 und g_–1 = 0.3 angenommen. Aus der Grafik ist weiter zu erkennen, dass d_Sν nur vier verschiedene Werte, nämlich 0, g₀, g_–1 und

g₀ + g_–1, annehmen kann.

Die am Viterbi–Entscheider anstehenden Abtastwerte (rote Punkte) sind d₀ = 0.2, d₁ = 0.7, d₂ = 0.5, d₃ = 0, ... , wobei die Differenzen d_Nν = d_ν – d_Sν von einer AWGN–Rauschquelle herrühren.

Ein Schwellenwertentscheider (mit der Schwelle bei E = 0.5) würde bei diesen dargestellten zehn Bit mindestens eine Fehlentscheidung treffen (bei ν = 4), und eventuell eine weitere bei ν = 2, falls d₂ geringfügig kleiner ist als der Schwellenwert E = 0.5. Dagegen wird der Viterbi–Empfänger diese Folge der Länge 10 richtig entscheiden, wie auf den nächsten Seiten gezeigt werden wird.

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