Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation

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Rayleigh– und Riceverteilung (1)


Die für eine kohärente Demodulation erforderliche Schätzung des Phasenwinkels aus dem ankommenden Signal ist bei vielen Anwendungen nicht oder nur eingeschränkt möglich. So führt die Bewegung eines Mobilteilnehmers mit hoher Geschwindigkeit zu sehr schnellen zeitlichen Änderungen des Phasenwinkels ϕ, was dessen ausreichend genaue Bestimmung erschwert oder gar verhindert.

Diese Tatsache führt zu den nichtkohärenten Demodulationsverfahren mit dem Vorteil reduzierter Komplexität, allerdings mit erhöhter Verfälschungswahrscheinlichkeit. Bei der Herleitung der Gleichungen stößt man auf zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen, die hier vorneweg angegeben werden:

  • Die Rayleighverteilung erhält man für die WDF der Zufallsgröße y mit Realisierung η, die sich aus den beiden gaußverteilten und statistisch unabhängigen Komponenten u und υ (beide mit der gleichen Streuung σn) wie folgt ergibt:
\[y = \sqrt{u^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) ={\eta}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - {\eta^2}/{ (2\sigma_n^2)}\right ] \hspace{0.05cm}.\]
  • Die Riceverteilung erhält man unter sonst gleichen Randbedingungen für den Fall, dass bei einer der Komponenten (entweder u oder υ) noch eine Konstante C addiert wird:
\[y = \sqrt{(u+C)^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) = {\eta}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - ({\eta^2 + C^2})/(2 \sigma_n^2) \right ] \cdot {\rm I }_0 \left [{\eta \cdot C}/{ \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.05cm}.\]

Für die Riceverteilung benötigt man die modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung, deren Definition und Reihenentwicklung wie folgt lauten:

\[{\rm I }_0 (x) = \frac{1}{ 2\pi} \cdot \int_{0}^{2\pi} {\rm e }^{-x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\cos(\alpha)} \,{\rm d} \alpha \hspace{0.2cm} \approx \hspace{0.2cm} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(x/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)} \hspace{0.05cm}.\]

Die Grafik zeigt Rayleigh– und Rice–Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen. Die Bildbeschreibung folgt auf der nächsten Seite.

Rayleigh- und Rice-WDF

Rayleigh– und Riceverteilung (2)


Die Grafik am Seitenende zeigt nochmals die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen von Rayleigh– und Riceverteilung. Zu dieser Darstellung ist anzumerken:

  • Die Rayleigh–WDF mit größerem σn ist formgleich mit der gezeichneten Kurve (σn = 0.5), jedoch im Verhältnis der Streuungen breiter und niedriger.
  • σn gibt die Streuungen der beiden gaußverteilten Zufallsgrößen u und υ an (beide haben gleiche Streuung) und nicht die Streuung der rayleighverteilten Zufallsgröße y. Für diese gilt vielmehr:
\[\sigma_y = \sigma_n \cdot \sqrt{2 - {\pi}/{2 }} \hspace{0.2cm} \approx \hspace{0.2cm} 0.655 \cdot \sigma_n \hspace{0.05cm}.\]
  • Die Rayleighverteilung ist extrem unsymmetrisch, erkennbar am (relativ) großen Wert für das Zentralmoment 3. Ordnung: μ3/σy3 ≈ 0.27.
  • Die Riceverteilung ist um so symmetrischer, je größer das Verhältnis C/σn von deterministischer und stochastischer Komponente ist. Für C/σn ≥ 4 ist μ3 nahezu 0.
  • Weiterhin ist zu erkennen, dass sich die Riceverteilung (mit den Parametern C und σn) immer mehr einer Gaußverteilung mit Mittelwert C und Streuung σn annähert, je größer der Quotient C/σn ist:
\[p_y (\eta) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma_n} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{(\eta - C)^2}{2 \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} m_y = C\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\sigma_y = \sigma_n \hspace{0.05cm}.\]

Rayleigh– und Rice–WDF

Nichtkohärente Demodulation von On–Off–Keying (1)


Wir betrachten On–Off–Keying im äquivalenten Tiefpassbereich. Bei kohärenter Demodulation (linke Grafik) ist die Signalraumkonstellation des Empfangssignals gleich der des Sendesignals und besteht aus zwei Punkten. Die Entscheidungsgrenze G liegt in der Mitte zwischen diesen Punkten r0 und r1. Die Pfeile markieren Rauschvektoren, die eventuell zu Übertragungsfehlern führen.

Kohärente und nichtkohärente Demodulation von On-Off-Keying

Dagegen gilt bei nichtkohärenter Demodulation:

  • Der Punkt r1 = s1 = 0 bleibt weiter erhalten.
  • Dagegen kann r0 = s0 · exp (jϕ) auf jeden Punkt des Kreises um s0 liegen, da ϕ unbekannt ist.
  • Der Entscheidungsprozess unter Berücksichtigung des AWGN–Rauschens ist nun 2–dimensional zu interpretieren, wie es durch die Pfeile in der rechten Grafik angedeutet ist.
  • Das Entscheidungsgebiet I1 ist nun ein Kreis, dessen Radius G ein optimierbarer Parameter ist. Das Entscheidungsgebiet I0 liegt außerhalb dieses Kreises.

Damit liegt die Strukur des optimalen OOK–Empfängers (im äquivalenten Tiefpassbereich) fest.

Empfänger für nichtkohärente OOK-Demodulation

Nichtkohärente Demodulation von On–Off–Keying (2)


Entsprechend der Grafik auf der letzten Seite gilt:

  • Das Eingangssignal r(t) = s(t) · exp(jϕ) + n(t) ist aufgrund des Phasenwinkels ϕ und wegen des komplexen Rauschterms im allgemeinen komplex. Alle komplexen Signale sind blau beschriftet.
  • Erforderlich ist demzufolge nun die Korrelation zwischen dem komplexen Empfangssignal r(t) und einer komplexen Basisfunktion ξ1(t).
  • Das Ergebnis ist der (komplexe) Detektorwert r, woraus als reelle Entscheidereingangsgröße der Betrag y = | r | gebildet wird.
  • Ist der Entscheidungswert y > G, so wird als Schätzwert m0 ausgegeben, andernfalls m1. Somit ergibt sich für die Fehlerwahrscheinlichkeit bei gleichwahrscheinlichen Symbolen:
\[p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {1}/{ 2} \cdot \int_{0}^{G} p_{y|m} (\eta | m_0) \,{\rm d} \eta + {1}/{ 2} \cdot \int_{G}^{\infty} p_{y|m} (\eta | m_1) \,{\rm d} \eta \hspace{0.05cm}.\]
  • Aufgrund der Rice–WDF py|m(η|m0) und der Rayleigh–WDF py|m(η|m1) kann allerdings diese Wahrscheinlichkeit nur numerisch berechnet werden. Die optimale Entscheidungsgrenze G ist vorher als die Lösung der folgenden Gleichung zu bestimmen:
\[p_{y|m} (G | m_0) = p_{y|m} (G | m_1) \hspace{0.05cm}.\]


Die Grafik zeigt das Ergebnis dieser Gleichung für σn = 0.5 und C = 2, wobei die (rote) Rice–WDF durch eine Gauß–WDF mit Mittelwert C und Streuung σn approximiert ist. Man erkennt daraus:

Dichtefunktionen für „OOK, nichtkohärent”
  • Die optimale Entscheidungsgrenze (hier: <nobr>G ≈ 1.25)</nobr> ergibt sich aus dem Schnittpunkt der beiden Kurven.
  • Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit pS ist die Summe der beiden farblich markierten Flächen. Im Beispiel ergibt sich pS ≈ 5%.



Die Fehlerwahrscheinlichkeit für andere Werte von C und σn sowie die optimale Entscheidergrenze G können Sie mit dem Berechnungstool  Nichtkohärentes On–Off–Keying  bestimmen.