Digitalsignalübertragung/Struktur des optimalen Empfängers: Unterschied zwischen den Versionen

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:Da nun im Argument dieser Funktion die Nachricht (<i><b>s</b><sub>i</sub></i>) erscheint, ist <i><b>r</b></i><sub>2</sub> nicht irrelevant.<br>
 
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== Einige Eigenschaften des AWGN-Kanals (1) ==
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Um weitere Aussagen über die Art der optimalen Messungen des Vektors <i><b>r</b></i>&nbsp; machen zu können, ist es notwendig, die den Kanal charakterisierende (bedingte) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion <i>p</i><sub><i>r</i>(<i>t</i>)|<i>s</i>(<i>t</i>)</sub> weiter zu spezifizieren. Im Folgenden wird die Kommunikation über den [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Qualit%C3%A4tskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell AWGN&ndash;Kanal] betrachtet, dessen wichtigste Eigenschaften hier nochmals kurz zusammengestellt werden:
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*Das Ausgangssignal des AWGN&ndash;Kanals ist <i>r</i>(<i>t</i>) = <i>s</i>(<i>t</i>) + <i>n</i>(<i>t</i>), wobei <i>s</i>(<i>t</i>) das Sendesignal angibt und <i>n</i>(<i>t</i>) durch einen Gaußschen Rauschprozess dargestellt wird.<br>
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*Ein Zufallsprozess {<i>n</i>(<i>t</i>)} ist gaußisch, falls die Elemente der <i>k</i>&ndash;dimensionalen Zufallsvariablen {<i>n</i>(<i>t</i><sub>1</sub>), ... , <i>n</i>(<i>t<sub>k</sub></i>)} gemeinsam gaußverteilt sind (<i>&bdquo;Jointly Gaussian&rdquo;</i>).<br>
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*Der Mittelwert des AWGN&ndash;Rauschens ist E[<i>n</i>(<i>t</i>)] = 0. Außerdem ist <i>n</i>(<i>t</i>) weiß, was bedeutet, dass das Leistungsdichtespektrum (LDS) für alle Frequenzen (von &ndash; &#8734; bis + &#8734;) konstant ist:
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::<math>{\it \Phi_n(f)} = {N_0}/{2}
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\hspace{0.05cm}.</math>
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*Nach dem [http://www.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Theorem_von_Wiener-Chintchine Wiener&ndash;Chintchine&ndash;Theorem] ergibt sich die Autokorrelationsfunktion (AKF) als die [http://www.lntwww.de/Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral Fourierrücktransformierte] von <i>&Phi;<sub>n</sub></i>(<i>f</i>):
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::<math>{\varphi_n(\tau)} = {\rm E}[n(t) \cdot n(t+\tau) ] = {N_0}/{2} \cdot \delta(t)</math>
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::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm E}[n(t) \cdot n(t+\tau) ]  =
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\left\{ \begin{array}{c} \rightarrow \infty \\
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0  \end{array} \right.\quad
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\begin{array}{*{1}c} {\rm f{\rm \ddot{u}r}}  \hspace{0.15cm} \tau = 0 \hspace{0.05cm},
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\\  {\rm f{\rm \ddot{u}r}}  \hspace{0.15cm} \tau \ne 0 \hspace{0.05cm},\\ \end{array}</math>
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*<i>N</i><sub>0</sub> gibt dabei die physikalische (nur für <i>f</i> &#8805; 0 definierte) Rauschleistungsdichte an. Der konstante LDS&ndash;Wert (<i>N</i><sub>0</sub>/2) und das Gewicht der Diracfunktion in der AKF (ebenfalls <i>N</i><sub>0</sub>/2) ergibt sich allein durch die zweiseitige Betrachtungsweise.<br><br>
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Weitere Informationen zum AWGN&ndash;Kanal liefert das Lernvideo [[:File:AWGN_2.swf|Der AWGN&ndash;Kanal &ndash; Teil 2.]]<br>
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Version vom 28. Dezember 2016, 12:28 Uhr

Blockschaltbild und Voraussetzungen


In diesem Kapitel wird die Struktur des optimalen Empfängers eines digitalen Übertragungssystems sehr allgemein hergeleitet, wobei

  • das Modulationsverfahren und weitere Systemdetails nicht weiter spezifiziert werden,
  • von den Basisfunktionen und der Signalraumdarstellung gemäß Kapitel 4.1 ausgegangen wird..
Allgemeines Blockschaltbild eines Kommunikationssystems

Zum obigen Blockschaltbild ist anzumerken:

  • Der Symbolumfang der Quelle beträgt M und der Symbolvorrat ist {mi} mit i = 0, ... , M – 1. Die zugehörigen Symbolwahrscheinlichkeiten Pr(m = mi) seien auch dem Empfänger bekannt.
  • Zur Nachrichtenübertragung stehen M verschiedene Signalformen si(t) zur Verfügung, wobei für die Laufvariable ebenfalls die Indizierung i = 0, ... , M – 1 gelten soll.
  • Es besteht eine feste Beziehung zwischen den Nachrichten {mi} und den Signalen {si(t)}. Wird die Nachricht m = mi übertragen, so ist das Sendesignal s(t) = si(t).
  • Lineare Kanalverzerrungen sind in der obigen Grafik durch die Impulsantwort h(t) berücksichtigt. Außerdem ist ein (irgendwie geartetes) Rauschen n(t) wirksam.
  • Mit diesen beiden die Übertragung störenden Effekten lässt sich das am Empfänger ankommende Signal r(t) in folgender Weise angeben:
\[r(t) = s(t) \star h(t) + n(t) \hspace{0.05cm}.\]
  • Aufgabe des (optimalen) Empfängers ist es, anhand seines Eingangssignals r(t) herauszufinden, welche der M möglichen Nachrichten mi – bzw. welches der Signale si(t) – gesendet wurde.
  • Der vom Empfänger gefundene Schätzwert für m wird in Gleichungen durch ein „Circonflexe” (^) gekennzeichnet. Im Fließtext (HTML–Zeichensatz) ist diese Darstellung leider nicht möglich.
  • Man spricht von einem optimalen Empfänger, wenn die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit den für die Randbedingungen kleinstmöglichsten Wert annimmt:
\[p_{\rm S} = {\rm Pr} ({\cal E}) = {\rm Pr} ( \hat{m} \ne m) \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm}.\]

Hinweis: Im Folgenden wird meist r(t) = s(t) + n(t) vorausgesetzt, was bedeutet, dass h(t) = δ(t) als verzerrungsfrei angenommen wird. Andernfalls könnten wir die Signale si(t) als s'i(t) = si(t) ∗ h(t) neu definieren, also die deterministischen Kanalverzerrungen dem Sendesignal beaufschlagen.

Fundamentaler Ansatz zum optimalen Empfängerentwurf (1)


Gegenüber dem auf der vorherigen Seite gezeigten Blockschaltbild führen wir nun einige wesentliche Verallgemeinerungen durch:

  • Der Übertragungskanal wird durch die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion pr(t)|s(t) beschrieben, welche die Anhängigkeit des Empfangssignals r(t) vom Sendesignal s(t) festlegt.
  • Wurde nun ein ganz bestimmtes Signal r(t) = ρ(t) empfangen, so hat der Empfänger die Aufgabe, anhand dieses Signals ρ(t) sowie der M bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen
\[p_{r(t) | s(t) } (\rho(t) | s_i(t))\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm} i = 0, ... \hspace{0.05cm}, M-1\]
unter Berücksichtigung aller möglichen Sendesignale si(t) und deren Auftrittswahrscheinlichkeiten Pr(m = mi) herauszufinden, welche der möglichen Nachrichten (mi) bzw. welches der möglichen Signale (si(t)) am wahrscheinlichsten gesendet wurde.
  • Die Schätzung des optimalen Empfängers ist also ganz allgemein bestimmt durch die Gleichung
\[\hat{m} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} p_{s(t) | r(t) } ( s_i(t) | \rho(t)) = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} p_{m | r(t) } ( m_i | \rho(t))\hspace{0.05cm},\]
wobei wieder berücksichtigt ist, dass die gesendete Nachricht m = mi und das gesendete Signal s(t) = si(t) eineindeutig ineinander übergeführt werden können.

In anderen Worten: Der optimale Empfänger betrachtet diejenige Nachricht mi als die gesendete, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion pm|r(t) für das anliegende Empfangssignal ρ(t) sowie unter der Annahme m = mi den größtmöglichen Wert annimmt.

Modell zur Herleitung des optimalen Empfängers

Bevor wir die obige Entscheidungsregel näher diskutieren, soll der optimale Empfänger entsprechend der Grafik noch in zwei Funktionsblöcke aufgeteilt werden:

  • Der Detektor nimmt am Empfangssignal r(t) verschiedene Messungen vor und fasst diese im Vektor r zusammen. Bei K Messungen entspricht r einem Punkt im K–dimensionalen Vektorraum.
  • Der Entscheider bildet abhängig von diesem Vektor den Schätzwert. Bei einem gegebenen Vektor r = ρ lautet dabei die Entscheidungsregel:
\[\hat{m} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} P_{m | \boldsymbol{ r} } ( m_i | \boldsymbol{\rho}) \hspace{0.05cm}.\]

Im Gegensatz zur oberen Gleichung tritt nun in der Entscheidungsregel eine bedingte Wahrscheinlichkeit Pm|r anstelle der bedingten Wahrscheinlichkeitskeitsdichtefunktion (WDF) pm|r(t) auf. Beachten Sie bitte die Groß– bzw. Kleinschreibung für die unterschiedlichen Bedeutungen.

Fundamentaler Ansatz zum optimalen Empfängerentwurf (2)


Wir betrachten nun die Funktion y = arg max p(x), wobei p(x) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) einer wertkontinuierlichen oder wertdiskreten Zufallsgröße x beschreibt. Im zweiten Fall besteht die WDF aus einer Summe von Diracfunktionen mit den Wahrscheinlichkeiten als Impulsgewichte.

Zur Verdeutlichung der Funktion „arg max”

Die Grafik zeigt beispielhafte Funktionen. In beiden Fällen liegt das WDF–Maximum (17) bei x = 6:

\[\max_i \hspace{0.1cm} p(x) = 17\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}y = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} p(x) = 6\hspace{0.05cm}.\]

Man nennt die (bedingten) Wahrscheinlichkeiten in der Gleichung

\[\hat{m} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} P_{m | \boldsymbol{ r} } ( m_i | \boldsymbol{\rho})\]

auch a–Posteriori–Wahrscheinlichkeiten. Mit dem Satz von Bayes kann hierfür geschrieben werden:

\[P_{m | \boldsymbol{ r} } ( m_i | \boldsymbol{\rho}) = \frac{{\rm Pr}( m_i) \cdot p_{\boldsymbol{ r}|m } (\boldsymbol{\rho}|m_i )}{p_{\boldsymbol{ r}} (\boldsymbol{\rho})} \hspace{0.05cm}.\]

Da der Term im Nenner für alle mi gleich ist, muss er für die Entscheidung nicht weiter berücksichtigt werden. Damit erhält man die folgenden Regeln:

1: Die Entscheidungsregel des optimalen Empfängers, auch bekannt als MAP–Empfänger (die Abkürzung steht für Maximum–a–posteriori), lautet:

\[\hat{m}_{\rm MAP} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} P_{m | \boldsymbol{ r} } ( m_i | \boldsymbol{\rho}) = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [ {\rm Pr}( m_i) \cdot p_{\boldsymbol{ r}|m } (\boldsymbol{\rho}|m_i )]\hspace{0.05cm}.\]

Der Vorteil dieser Gleichung ist, dass die die Vorwärtsrichtung des Kanals beschreibende bedingte WDF pr|m („Ausgang unter der Bedingung Eingang”) verwendet werden kann. Dagegen verwendet die erste Gleichung die Rückschlusswahrscheinlichkeiten Pm|r („Eingang unter der Bedingung Ausgang”).

2: Ein Maximum–Likelihood–Empfänger (ML–Empfänger) verwendet die Entscheidungsregel

\[\hat{m}_{\rm ML} = \hspace{-0.1cm} {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} p_{\boldsymbol{ r}|m } (\boldsymbol{\rho}|m_i )\hspace{0.05cm}.\]

Bei diesem werden die möglicherweise unterschiedlichen Auftrittswahrscheinlichkeiten Pr(mi) für den Entscheidungsprozess nicht herangezogen, zum Beispiel, weil sie dem Empfänger nicht bekannt sind.


Hinweis: Im Kapitel 3.7 finden Sie eine andere Herleitung. Allgemein gilt: Bei gleichwahrscheinlichen Nachrichten {mi}  ⇒  Pr(mi) = 1/M ist der ML–Empfänger gleichwertig mit dem MAP–Empfänger:

\[\hat{m}_{\rm MAP} = \hat{m}_{\rm ML} =\hspace{-0.1cm} {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} p_{\boldsymbol{ r}|m } (\boldsymbol{\rho}|m_i )\hspace{0.05cm}.\]


Das Theorem der Irrelevanz (1)


Zu beachten ist, dass der auf der letzten Seite beschriebene Empfänger nur dann optimal ist, wenn auch der Detektor bestmöglich implementiert ist, das heißt, wenn durch den Übergang vom kontinuierlichen Signal r(t) zum Vektor r  keine Information verloren geht.

Um die Frage zu klären, welche und wieviele Messungen am Empfangssignal r(t) durchzuführen sind, um Optimalität zu garantieren, ist das Theorem der Irrelevanz hilfreich. Dazu betrachten wir den nachfolgend skizzierten Empfänger, dessen Detektor aus dem Empfangssignal r(t) die zwei Vektoren r1 und r2 ableitet und dem Entscheider zur Verfügung stellt. r1 und r2 stehen mit der Nachricht m ∈ {mi} über die Verbundwahrscheinlichkeitsdichte pr1, r2|m in Zusammenhang.

Zum Theorem der Irrelevanz

Die Entscheidungsregel des MAP–Empfängers lautet mit Anpassung an dieses Beispiel:

\[\hat{m}_{\rm MAP} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [ {\rm Pr}( m_i) \cdot p_{\boldsymbol{ r}_1 , \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ r}_2 |m } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_1, \hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rho}_2|m_i )]=\]

\[\hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [ {\rm Pr}( m_i) \cdot p_{\boldsymbol{ r}_1 |m } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_1 |m_i ) \cdot p_{\boldsymbol{ r}_2 | \boldsymbol{ r}_1 , \hspace{0.05cm} m } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2| \boldsymbol{\rho}_1 , \hspace{0.05cm}m_i )] \hspace{0.05cm}.\]

Hierzu ist anzumerken:

  • Die Vektoren r1 und r2 sind Zufallsgrößen. Ihre Realisierungen werden hier und im Folgenden mit ρ1 und ρ2 bezeichnet. Zur Hervorhebung sind alle Vektoren in der Grafik rot eingetragen.
  • Die Voraussetzungen für die Anwendung des „Theorems der Irrelevanz” sind die gleichen wie die an eine Markovkette erster Ordnung. Die Zufallsvariablen x, y, z formen dann eine solche, falls die Verteilung von z bei gegebenem y unabhängig von x ist:
\[p(x, y, z) = p(x) \cdot p(y|x) \cdot p(z|y) \hspace{0.25cm} {\rm anstelle \hspace{0.15cm}von} \hspace{0.25cm}p(x, y, z) = p(x) \cdot p(y|x) \cdot p(z|x, y) \hspace{0.05cm}.\]
  • Der optimale Empfänger muss im allgemeinen Fall beide Vektoren r1 und r2 auswerten, da in obiger Entscheidungsregel beide Verbundwahrscheinlichkeitsdichten pr1|m und pr2| r1, m auftreten.
  • Dagegen kann der Empfänger ohne Informationseinbuße die zweite Messung vernachlässigen, falls r2 bei gegebenem r1 unabhängig von der Nachricht m ist:
\[p_{\boldsymbol{ r}_2 | \boldsymbol{ r}_1 , \hspace{0.05cm} m } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2| \boldsymbol{\rho}_1 , \hspace{0.05cm}m_i )= p_{\boldsymbol{ r}_2 | \boldsymbol{ r}_1 } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2| \boldsymbol{\rho}_1 ) \hspace{0.05cm}.\]
  • In diesem Fall lässt sich die Entscheidungsregel weiter vereinfachen:
\[\hat{m}_{\rm MAP} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [ {\rm Pr}( m_i) \cdot p_{\boldsymbol{ r}_1 |m } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_1 |m_i ) \cdot p_{\boldsymbol{ r}_2 | \boldsymbol{ r}_1 , \hspace{0.05cm} m } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2| \boldsymbol{\rho}_1 , \hspace{0.05cm}m_i )]= \]
\[ = \hspace{-0.1cm} {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [ {\rm Pr}( m_i) \cdot p_{\boldsymbol{ r}_1 |m } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_1 |m_i ) \cdot p_{\boldsymbol{ r}_2 | \boldsymbol{ r}_1 } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2| \boldsymbol{\rho}_1 )]=\]
\[ = \hspace{-0.1cm} {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [ {\rm Pr}( m_i) \cdot p_{\boldsymbol{ r}_1 |m } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_1 |m_i ) ] \hspace{0.05cm}.\]

Das Theorem der Irrelevanz (2)


Betrachten wir zur Verdeutlichung des soeben vorgestellten Theorems der Irrelevanz zwei verschiedene Systemkonfigurationen mit jeweils zwei Rauschtermen n1 und n2. Anmerkung: Alle vektoriellen Größen sind rot eingezeichnet und s, n1 und n2 seien jeweils unabhängig voneinander.

Zwei Beispiele zum Theorem der Irrelevanz

Die Analyse dieser beiden Anordnungen liefert folgende Ergebnisse:

  • Der Entscheider muss in beiden Fällen die Komponente r1 = s + n1 berücksichtigen, da nur diese die Information über das Nutzsignal s und damit über die gesendete Nachricht m liefert.
  • Bei der oberen Konfiguration enthält r2 keine Information über m, die nicht bereits von r1 geliefert wurde. Vielmehr ist r2 = r1 + n2 nur eine verrauschte Version von r1 und hängt nur vom Rauschen n2 ab, sobald r1 bekannt ist  ⇒  r2 ist irrelevant:
\[p_{\boldsymbol{ r}_2 | \boldsymbol{ r}_1 , \hspace{0.05cm} m } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2| \boldsymbol{\rho}_1 , \hspace{0.05cm}m_i )= p_{\boldsymbol{ r}_2 | \boldsymbol{ r}_1 } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2| \boldsymbol{\rho}_1 )= p_{\boldsymbol{ n}_2 } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2 - \boldsymbol{\rho}_1 )\hspace{0.05cm}.\]
  • Bei der unteren Konfiguration ist dagegen r2 = n1 + n2 für den Empfänger hilfreich, da dadurch dem Empfänger ein Schätzwert für den Rauschterm n1 geliefert wird  ⇒  r2 sollte nicht verworfen werden. Formal lässt sich dieses Resultat wie folgt ausdrücken:
\[p_{\boldsymbol{ r}_2 | \boldsymbol{ r}_1 , \hspace{0.05cm} m } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2| \boldsymbol{\rho}_1 , \hspace{0.05cm}m_i ) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} p_{\boldsymbol{ r}_2 | \boldsymbol{ n}_1 , \hspace{0.05cm} m } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2 | \boldsymbol{\rho}_1 - \boldsymbol{s}_i, \hspace{0.05cm}m_i)= \]
\[ \hspace{0.5cm} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} p_{\boldsymbol{ n}_2 | \boldsymbol{ n}_1 , \hspace{0.05cm} m } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2- \boldsymbol{\rho}_1 + \boldsymbol{s}_i| \boldsymbol{\rho}_1 - \boldsymbol{s}_i, \hspace{0.05cm}m_i)= \]
\[\hspace{0.4cm}=\hspace{-0.1cm} p_{\boldsymbol{ n}_2 } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2- \boldsymbol{\rho}_1 + \boldsymbol{s}_i ) \hspace{0.05cm}.\]
Da nun im Argument dieser Funktion die Nachricht (si) erscheint, ist r2 nicht irrelevant.

Einige Eigenschaften des AWGN-Kanals (1)


Um weitere Aussagen über die Art der optimalen Messungen des Vektors r  machen zu können, ist es notwendig, die den Kanal charakterisierende (bedingte) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion pr(t)|s(t) weiter zu spezifizieren. Im Folgenden wird die Kommunikation über den AWGN–Kanal betrachtet, dessen wichtigste Eigenschaften hier nochmals kurz zusammengestellt werden:

  • Das Ausgangssignal des AWGN–Kanals ist r(t) = s(t) + n(t), wobei s(t) das Sendesignal angibt und n(t) durch einen Gaußschen Rauschprozess dargestellt wird.
  • Ein Zufallsprozess {n(t)} ist gaußisch, falls die Elemente der k–dimensionalen Zufallsvariablen {n(t1), ... , n(tk)} gemeinsam gaußverteilt sind („Jointly Gaussian”).
  • Der Mittelwert des AWGN–Rauschens ist E[n(t)] = 0. Außerdem ist n(t) weiß, was bedeutet, dass das Leistungsdichtespektrum (LDS) für alle Frequenzen (von – ∞ bis + ∞) konstant ist:
\[{\it \Phi_n(f)} = {N_0}/{2} \hspace{0.05cm}.\]
\[{\varphi_n(\tau)} = {\rm E}[n(t) \cdot n(t+\tau) ] = {N_0}/{2} \cdot \delta(t)\]
\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm E}[n(t) \cdot n(t+\tau) ] = \left\{ \begin{array}{c} \rightarrow \infty \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f{\rm \ddot{u}r}} \hspace{0.15cm} \tau = 0 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm f{\rm \ddot{u}r}} \hspace{0.15cm} \tau \ne 0 \hspace{0.05cm},\\ \end{array}\]
  • N0 gibt dabei die physikalische (nur für f ≥ 0 definierte) Rauschleistungsdichte an. Der konstante LDS–Wert (N0/2) und das Gewicht der Diracfunktion in der AKF (ebenfalls N0/2) ergibt sich allein durch die zweiseitige Betrachtungsweise.

Weitere Informationen zum AWGN–Kanal liefert das Lernvideo Der AWGN–Kanal – Teil 2.