Redundanzfreie Codierung

1. Digitalsignalübertragung
2. Codierte und mehrstufige Übertragung
3. Redundanzfreie Codierung

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Blockweise und symbolweise Codierung

Bei der Übertragungscodierung unterscheidet man zwischen zwei Arten, der symbolweisen und der blockweisen Codierung. Bei symbolweiser Codierung, die im Kapitel 2.4 im Detail beschrieben ist, wird mit jedem ankommenden Quellensymbol q_ν ein Codesymbol c_ν erzeugt, das außer vom aktuellen Symbol q_ν auch von vorangegangenen Symbolen abhängen kann.

Typisch für alle Übertragungscodes zur symbolweisen Codierung ist, dass die Bitdauer T_q der als binär und redundanzfrei angenommenen Nachrichtenquelle mit der Symboldauer T_c des meist mehrstufigen und redundanten Codersignals c(t) übereinstimmt.

Dagegen wird bei der blockweisen Codierung jeweils einem Block von m_q binären Quellensymbolen (M_q = 2) der Bitdauer T_q eine ein–eindeutige Sequenz von m_c Codesymbolen aus einem Alphabet mit dem Codesymbolumfang M_c ≥ 2 zugeordnet. Für die Symboldauer eines Codesymbols gilt dann

\[T_c = \frac{m_q}{m_c} \cdot T_q \hspace{0.05cm},\]

und die relative Redundanz eines Blockcodes beträgt allgemein

\[r_c = 1- \frac{R_q}{R_c} = 1- \frac{T_c}{T_q} \cdot \frac{{\rm log_2} (M_q)}{{\rm log_2} (M_c)} = 1- \frac{T_c}{T_q \cdot {\rm log_2} (M_c)}\hspace{0.05cm}.\]

Genauere Angaben zu den Blockcodes finden Sie im Kapitel 2.3.

: Bei den Pseudoternärcodes wird durch die Erhöhung der Stufenzahl von M_q = 2 auf M_c = 3 bei gleicher Symboldauer (T_c = T_q) eine relative Redundanz von 1 – 1/log₂(3) ≈ 37% hinzugefügt. Im Gegensatz dazu arbeiten die so genannten 4B3T–Codes auf Blockebene mit den Codeparametern <nobr>m_q = 4,</nobr> M_q = 2, m_c = 3, M_c = 3 und besitzen eine relative Redundanz von ca. 16%. Das Sendesignal ist hier wegen T_c/T_q = 4/3 niederfrequenter als bei uncodierter Übertragung, was die oft teuere Bandbreite verringert und zudem für viele Nachrichtenkanäle auch aus übertragungstechnischer Sicht von Vorteil ist.

Redundanzfreies Ternär– und Quaternärsignal (1)

Ein Sonderfall eines Blockcodes ist die redundanzfreie Codierung. Ausgehend vom redundanzfreien binären Quellensignal q(t) mit Bitdauer T_q wird ein M_c–stufiges Codersignal c(t) generiert, wobei die Symboldauer T_c = T_q · log₂(M_c) beträgt. Somit ergibt sich für die relative Redundanz:

\[r_c = 1- \frac{T_c}{T_q \cdot {\rm log_2} (M_c)} = 1- \frac{m_q}{m_c \cdot {\rm log_2} (M_c)}= 0 \hspace{0.05cm}.\]

Dabei gilt:

• Ist M_c eine Potenz zur Basis 2, so werden m_q = log₂(M_c) zu einem einzigen Codesymbol (m_c = 1) zusammengefasst.
  
• Ist M_c keine Zweierpotenz, so ist eine hundertprozentig redundanzfreie Blockcodierung nicht möglich. Codiert man beispielweise m_q = 3 Binärsymbole durch m_c = 2 Ternärsymbole und setzt T_c = 1.5 · T_q, so verbleibt eine relative Redundanz von 1 – 1.5/log₂(3) ≈ 5%.
  
• Codiert man einen Block von 128 Binärsymbolen mit 81 Ternärsymbolen, so ergibt sich eine relative Coderedundanz von weniger als 0.3%.
  
  

Zur Vereinfachung der Schreibweise und zur Nomenklaturanpassung an das Kapitel 1 verwenden wir im Folgenden die Bitdauer T_B = T_q des redundanzfreien binären Quellensignals, die Symboldauer T = T_c von Codersignal und Sendesignal sowie die Stufenzahl M = M_c.

Damit ergibt sich für das Sendesignal die identische Form wie bei der Binärübertragung, jedoch mit anderen Amplitudenkoeffizienten:

\[s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T)\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} a_\nu \in \{ a_1, ... , a_\mu , ... , a_{ M}\}\hspace{0.05cm}.\]

Die Amplitudenkoeffizienten a_ν können prinzipiell beliebig – aber eindeutig – den Codersymbolen c_ν zugeordnet werden. Es ist zweckmäßig, die Abstände zwischen benachbarten Amplituden gleich groß zu wählen. Bei bipolarer Signalisierung (–1 ≤ a_μ ≤ +1) gilt somit für die möglichen Amplitudenkoeffizienten mit dem Laufindex μ = 1, ... , M:

\[a_\mu = \frac{2\mu - M - 1}{M-1} \hspace{0.05cm}.\]

Unabhängig von der Stufenzahl M erhält man hieraus für die äußeren Amplitudenkoeffizienten a₁ = –1 und a_M = +1. Bei einem ternären Signal (M = 3) sind die möglichen Amplitudenkoeffizienten –1, 0 und +1, während bei einem Quaternärsignal (M = 4) folgende Koeffizienten auftreten: –1, –1/3, +1/3, +1.

Redundanzfreies Ternär– und Quaternärsignal (2)

: Die Grafik zeigt oben das quaternäre redundanzfreie Sendesignal

s₄(t) mit den möglichen Amplitudenkoeffizienten ±1 und ±1/3, das sich aus dem in der Mitte dargestellten binären Quellensignal q(t) ergibt. Jeweils zwei Binärsymbole werden nach der rot hinterlegten Tabelle zu einem quaternären Amplitudenkoeffizienten zusammengefasst. Die Symboldauer T des Signals s₄(t) ist doppelt so groß wie die Bitdauer T_B (vorher: T_q) des Quellensignals. Ist q(t) redundanzfrei, so ergibt sich auch ein redundanzfreies Quaternärsignal, das heißt, die möglichen Amplitudenkoeffizienten ±1 und ±1/3 sind gleichwahrscheinlich und innerhalb der Folge 〈a_ν〉 gibt es keine statistischen Bindungen.

Die untere Darstellung zeigt das (nahezu) redundanzfreie Ternärsignal s₃(t) und die Zuordnung von jeweils drei Binärsymbolen zu zwei Ternärsymbolen. Die möglichen Amplitudenkoeffizienten sind –1, 0 und +1 und es gilt T/T_B = 3/2. Man erkennt aus der angegebenen Zuordnungstabelle, dass die Amplitudenkoeffizienten +1 und –1 etwas häufiger auftreten als der Amplitudenkoeffizent a_ν = 0. Hieraus ergibt sich die Redundanz von 5% (siehe letzte Seite). Aus dem sehr kurzen Signalausschnitt – nur acht Ternärsymbole entsprechend zwölf Bit – ist diese Eigenschaft allerdings nicht zu erkennen.

AKF und LDS eines Mehrstufensignals

Bei einem redundanzfrei codierten M–stufigen bipolaren Digitalsignal s(t) gilt für die diskrete AKF der Amplitudenkoeffizienten sowie für die entsprechende spektrale Leistungsdichte:

\[\varphi_a(\lambda) = \left\{ \begin{array}{c} \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)} \\ \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c}\lambda = 0, \\ \\ \lambda \ne 0 \\ \end{array} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Phi_a(f)} = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)}= {\rm const.}\]

Unter Berücksichtigung der spektralen Formung durch den Sendegrundimpuls g_s(t) erhält man:

\[\varphi_{s}(\tau) = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)} \cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau) \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm} {\it \Phi}_{s}(f) = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)}\cdot |G_s(f)|^2 \hspace{0.05cm}.\]

Man erkennt aus diesen Gleichungen:

• Bei redundanzfreier mehrstufiger Codierung wird die Form von AKF und LDS allein durch den Sendegrundimpuls g_s(t) bestimmt.
  
• Die Höhe von AKF und LDS ist bei gleicher Form gegenüber dem redundanzfreien Binärsignal um den Faktor φ_a(λ = 0) = E[a_ν²] = (M + 1)/(3M – 3) geringer.
  
• Dieser Faktor beschreibt die geringere Signalleistung des Mehrstufensignals aufgrund der M – 2 inneren Amplitudenkoeffizienten. Bei M = 3 ist dieser Faktor gleich 2/3, bei M = 4 gleich 5/9.
  
• Ein fairer Vergleich zwischen Binärsignal und Mehrstufensignal bei gleichem Informationsfluss (äquivalente Bitrate) sollte aber auch die unterschiedlichen Symboldauern berücksichtigen.
  
• Dabei zeigt sich, dass ein Mehrstufensignal aufgrund des schmaleren LDS weniger Bandbreite benötigt als das Binärsignal, wenn die gleiche Information übertragen wird.
  
  

: Wir gehen von einer binären Quelle mit der Bitrate R_B = 1 Mbit/s aus, so dass die Bitdauer T_B = 1 μs beträgt. Bei Binärübertragung (M = 2) ist die Symboldauer T des Sendesignals gleich T_B und es ergibt sich bei NRZ–Rechteckimpulsen die blau eingezeichnete AKF in der linken Grafik (vorausgesetzt ist s₀² = 10 mW). Beim Quaternärsystem (M = 4) ist die AKF ebenfalls dreieckförmig, aber um den Faktor 5/9 niedriger und wegen T = 2 T_B doppelt so breit.

Das si²–förmige Leistungsdichtespektrum hat im binären Fall bei den hier gewählten Signalparametern den Maximalwert 10^–8 W/Hz und die erste Nullstelle liegt bei f = 1 MHz. Demgegenüber ist das LDS des Quaternärsignals nur halb so breit und auch nur geringfügig höher (Faktor 2 · 5/9 ≈ 1.11).

Fehlerwahrscheinlichkeit eines Mehrstufensystems (1)

Nachfolgend sehen Sie die Augendiagramme eines binären (M = 2), eines ternären <nobr>(M = 3)</nobr> und eines quaternären (M = 4) Übertragungssystems. Hierbei ist für das Gesamtsystem H_S(f) · H_E(f) von Sender und Empfänger eine Cosinus–Rolloff–Charakteristik mit dem Rolloff–Faktor r = 0.5 vorausgesetzt, so dass Impulsinteferenzen keine Rolle spielen. Das Rauschen wird als vernachlässigbar klein angenommen.

Das Augendiagramm wird vorwiegend zur Abschätzung von Impulsinterferenzen genutzt. Eine genaue Beschreibung folgt in Kapitel 3.2 Der folgende Text ist aber auch ohne Detailkenntnisse verständlich.

Man erkennt aus obigen Darstellungen:

• Beim Binärsystem (M = 2) gibt es nur eine einzige Entscheiderschwelle: E₁ = 0. Zu einem Übertragungsfehler kommt es, wenn die Rauschkomponente d_N(T_D) zum Detektionszeitpunkt größer ist als +s₀ (falls d_S(T_D) = –s₀) bzw. wenn d_N(T_D) kleiner ist als –s₀, falls d_S(T_D) = +s₀ gilt.
  
• Beim Ternärsystem (M = 3) erkennt man zwei Augenöffnungen und zwei Entscheiderschwellen E₁ = –s₀/2 und E₂ = +s₀/2. Der Abstand der möglichen Detektionsnutzsignalwerte d_S(T_D) zu der nächstgelegenen Schwelle beträgt jeweils s₀/2. Die äußeren Amplitudenwerte (±s₀) können nur in jeweils eine Richtung verfälscht werden, während d_S(T_D) = 0 von zwei Schwellen begrenzt wird.
  
• Dementsprechend wird ein Amplitudenkoeffizient a_ν = 0 gegenüber a_ν = +1 bzw. a_ν = –1 doppelt so oft verfälscht. Bei gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten sowie AWGN–Rauschen mit dem Effektivwert σ_d ergibt sich gemäß Kapitel 1.2 für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:

\[p_{\rm S} = { 1}/{3} \cdot \left[{\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)+ 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)+ {\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)\right]= \frac{ 4}{3} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.\]

Die Bildbeschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. Beachten Sie aber bereits hier, dass mit dieser Gleichung nicht mehr die Bitfehlerwahrscheinlichkeit p_B, sondern die Symbolfehlerwahrschein- lichkeit p_S angegeben wird. Die entsprechenden Aposteriori–Kenngrößen sind Bit Error Rate (BER) bzw. Symbol Error Rate (SER). Näheres hierzu auf der letzten Seite dieses Kapitels.

Fehlerwahrscheinlichkeit eines Mehrstufensystems (2)

Es folgt die Fortsetzung der Bildbeschreibung der letzten Seite:

Beim Quaternärsystem (M = 4) mit den möglichen Amplitudenwerten ±s₀ und ±s₀/3 gibt es drei Augenöffnungen und entsprechend auch drei Entscheiderschwellen bei E₁ = –2s₀/3, E₂ = 0 und E₃ = +2s₀/3. Unter Berücksichtigung der Auftrittswahrscheinlichkeiten (bei gleichwahrscheinlichen Symbolen jeweils 1/4) und der sechs Verfälschungsmöglichkeiten (siehe Pfeile in der Grafik) erhält man nun:

\[p_{\rm S} = { 6}/{4} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/3}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.\]

Durch Erweiterung auf größere Werte von M ergibt sich allgemein:

\[p_{\rm S} = \frac{ 2 + 2 \cdot (M-2)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/(M-1)}{\sigma_d}\right) = \]

\[ = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d (M)\cdot (M-1)}\right)\hspace{0.05cm}.\]

Die Schreibweise σ_d(M) soll deutlich machen, dass der Effektivwert des Detektionsrauschsignals d_N(t) signifikant von der Stufenzahl M abhängt.

Vergleich zwischen Binär– und Mehrstufensystem (1)

Die Grafik zeigt die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit p_S, die sich mit M–stufiger redundanzfreier Codierung erreichen lässt. Als Abszisse ist das Verhältnis E_B/N₀ logarithmisch aufgetragen.

Für diesen Systemvergleich unter fairen Bedingungen werden vorausgesetzt:

• Die äquivalente Bitrate R_B = 1/T_B sei konstant. Abhängig von der Stufenzahl M beträgt somit die Symboldauer von Codersignal und Sendesignal:

\[T = T_{\rm B} \cdot {\rm log_2} (M) \hspace{0.05cm}.\]

• Die Nyquistbedingung wird durch eine Wurzel–Wurzel–Charakteristik mit Rolloff–Faktor r erfüllt. Es treten weiterhin keine Impulsinterferenzen auf. Für die Detektionsrauschleistung gilt:

\[\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2T} \hspace{0.05cm}.\]

• Der Vergleich der Symbolfehlerwahrscheinlichkeiten p_S erfolgt unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung. Die Energie pro Bit beträgt bei M–stufiger Übertragung:

\[E_{\rm B} = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} \hspace{0.05cm}.\]

Setzt man diese Gleichungen in das allgemeine Ergebnis der letzten Seite ein, so erhält man:

\[p_{\rm S} = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{s_0^2 /(M-1)^2}{\sigma_d^2}}\right) =\]

\[ = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{3 \cdot {\rm log_2} (M)}{M^2 -1}\cdot \frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0}}\right)= K_1 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{K_2\cdot \frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.\]

Für M = 2 ist K₁ = K₂ = 1 zu setzen. Für größere Stufenzahlen erhält man:

M = 3:    K₁ = 1.333, K₂ = 0.594, M = 4:    K₁ = 1.500, K₂ = 0.400,

M = 5:    K₁ = 1.600, K₂ = 0.290, M = 6:    K₁ = 1.666, K₂ = 0.221,

M = 7:    K₁ = 1.714, K₂ = 0.175, M = 8:    K₁ = 1.750, K₂ = 0.143.

Die Beschreibung und Interpretation der obigen Grafik erfolgt auf der nächsten Seite.

Vergleich zwischen Binär– und Mehrstufensystem (2)

Die Bildbeschreibung wird fortgesetzt:
Die Grafik zeigt die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit p_S in Abhängigkeit des Quotienten E_B/N₀ in dB, gültig für redundanzfreie M–stufige Digitalsysteme. Alle Systeme sind für die jeweilige Stufenzahl optimal, wenn vom AWGN–Kanal und Leistungsbegrenzung ausgegangen wird.

Die Kurvenverläufe kann man wie folgt interpretieren:

• Aufgrund der hier gewählten doppelt–logarithmischen Darstellung führt ein K₂–Wert kleiner als 1 zu einer Parallelverschiebung der Fehlerwahrscheinlichkeitskurve nach rechts. Gilt K₁ > 1, so verschiebt sich die Kurve gegenüber dem Binärsystem (K₁ = 1) nach oben.
  

• Hinsichtlich Fehlerwahrscheinlichkeit ist das Binärsystem den Mehrstufensystemen überlegen. Für M = 2 und 10 · lg E_B/N₀ = 12 dB ist p_S bereits kleiner als 10^–8. Beim Quaternärsystem (M = 4) muss für die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit 10 · lg E_B/N₀ etwas mehr als 16 dB betragen.
  

• Diese Aussage gilt jedoch nur bei verzerrungsfreiem Kanal, das heißt H_K(f) = 1. Bei verzerrenden Übertragungskanälen kann dagegen ein höherstufiges System wegen der signifikant kleineren Detektionsstörleistung (nach dem Entzerrer) eine deutliche Verbesserung bringen.
  

• Beim AWGN–Kanal ist der einzige Vorteil einer höherstufigen Übertragung der niedrigere Bandbreitenbedarf aufgrund der kleineren äquivalenten Bitrate, der bei Basisbandübertragung nur eine untergeordnete Rolle spielt im Gegensatz zu den Trägerfrequenzsystemen gemäß Kapitel 1.5.
  

• Mit der Nebenbedingung „Spitzenwertbegrenzung” führt die Kombination aus rechteckförmigem g_s(t) und rechteckförmigem h_E(t) unabhängig von der Stufenzahl zum Optimum.
  

• Der Verlust der Mehrstufensystemen gegenüber dem Binärsystem ist hier noch größer als bei Leistungsbegrenzung. Dies erkennt man an dem mit M abnehmenden Faktor K₂, für den dann gilt:

\[p_{\rm S} = K_1 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{K_2\cdot \frac{2 \cdot s_{\rm 0}^2 \cdot T}{N_0}}\right)\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} K_2 = \frac{{\rm log_2}\,(M)}{(M-1)^2} \hspace{0.05cm}.\]

Die Konstante K₁ ist gegenüber der letzten Seite (Leistungsbegrenzung) unverändert, während K₂ um den Faktor 3 kleiner ist:

M = 3:    K₁ = 1.333, K₂ = 0.198, M = 6:    K₁ = 1.666, K₂ = 0.074,

M = 5:    K₁ = 1.600, K₂ = 0.097, M = 6:    K₁ = 1.666, K₂ = 0.074,

M = 7:    K₁ = 1.714, K₂ = 0.058, M = 8:    K₁ = 1.750, K₂ = 0.048.

Symbol– und Bitfehlerwahrscheinlichkeit (1)

Bei einem mehrstufigen Übertragungssystem muss zwischen der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit und der Bitfehlerwahrscheinlichkeit unterschieden werden:

• Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit bezieht sich auf die M–stufigen und eventuell redundanten Folgen 〈c_ν〉 und 〈w_ν〉:

\[p_{\rm S} = \overline{{\rm Pr} (w_\nu \ne c_\nu)} = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum \limits^{N} _{\nu = 1} {\rm Pr} (w_\nu \ne c_\nu) \hspace{0.05cm}.\]

• Im Gegensatz dazu beschreibt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit die Verfälschungen bezüglich der Binärfolgen 〈q_ν〉 und 〈υ_ν〉, also hinsichtlich Quellen– und Sinkensignal:

\[p_{\rm B} = \overline{{\rm Pr} (v_\nu \ne q_\nu)} = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum \limits^{N} _{\nu = 1} {\rm Pr} (v_\nu \ne q_\nu) \hspace{0.05cm}.\]

Beide Wahrscheinlichkeiten sind hier als Zeitmittelwerte angegeben.

Die folgende Grafik veranschaulicht diese beiden Definitionen und ist auch für die nachfolgenden Abschnitte gültig. Während im Kapitel 2.2 der Block „Coder” eine redundanzfreie Codierung bewirkt, wird im Kapitel 2.3 eine blockweise Übertragungscodierung betrachtet, während im Kapitel 2.4 die symbolweisen Pseudoternärcodes behandelt werden. In beiden Fällen unterscheiden sich p_B und p_S. Nur beim redundanzfreien Binärsystem entsprechend Kapitel 1 sind p_B und p_S identisch.

Im allgemeinen kann bei redundanzbehafteten Mehrstufensystem die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit p_S etwas einfacher berechnet werden als die Bitfehlerwahrscheinlichkeit p_B. Ein Vergleich von Systemen mit unterschiedlicher Stufenzahl oder verschiedenartiger Codierung sollte aber aus Fairnisgründen immer auf der Bitfehlerwahrscheinlichkeit p_B basieren. Dabei muss auch die Zuordnung zwischen den Quellen– und Codesymbolen berücksichtigt werden, wie auf der nächsten Seite gezeigt wird.

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