Digitalsignalübertragung/Optimierung der Basisbandübertragungssysteme

1. Digitalsignalübertragung
2. Digitalsignalübertragung bei idealisierten Bedingungen
3. Optimierung der Basisbandübertragungssysteme

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Voraussetzungen und Optimierungskriterium

Für dieses Kapitel „Optimierung der Basisbandübertragungssysteme” gilt das folgende Blockschaltbild:

Blockschaltbild eines Basisbandübertragungssystems

Wenn nicht explizit anders angegeben, wird im Folgenden von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:

• Die Übertragung erfolgt binär, bipolar und redundanzfrei. Der Abstand zwischen den Symbolen ist $T$ und die (äquivalente) Bitrate $R = 1/T$. Mehrstufige und/oder redundante Systeme werden erst im Hauptkapitel 2: Codierte und mehrstufige Übertragung dieses Buches behandelt.
• Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist rechteckförmig und weist die Amplitude $s_0$ sowie die Impulsdauer $T_{\rm S} \le T$ auf. Stimmt die Sendeimpulsdauer $T_{\rm S}$ mit der Symboldauer $T$ überein, so spricht man von NRZ–Rechteckimpulsen. Im Fall $T_{\rm S} < T$ liegt ein RZ–Format vor.
  
• Als Übertragungskanal wird das AWGN–Modell mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte $N_0$ verwendet, so dass für das Empfangssignal $r(t) = s(t) + n(t)$ gilt. Die für systemtheoretische Untersuchungen besser geeignete zweiseitige Rauschleistungsdichte beträgt somit $N_0/2$.
• Die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ des Empfangsfilters ist ebenfalls rechteckförmig, allerdings der mit Breite $T{\rm E}$ und der Höhe $1/T{\rm E}$. Daraus folgt für den Gleichsignalübertragungsfaktor $H_{\rm E}(f = 0) = 1$. Nur im Sonderfall $T_{\rm E} = T_{\rm S} $ kann man $H_{\rm E}(f)$ als Matched–Filter bezeichnen.
• Um Impulsinterferenzen auszuschließen, muss bei der Optimierung stets die Randbedingung $T_{\rm S} + T_{\rm E} \le 2T$ eingehalten werden. Impulsinterferenzen werden erst im Hauptkapitel 3: Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren dieses Buches betrachtet.
• Zur Gewinnung der Sinkensymbolfolge wird ein einfacher Schwellenwertentscheider mit optimaler Entscheiderschwelle $E = 0$ und optimalen Detektionszeitpunkten (bei $\nu \cdot T$) verwendet.

Unter Systemoptimierung verstehen wir hier, die Parameter $T_{\rm S}$ und $T_{\rm E}$ von Sendegrundimpuls $g_s(t)$ und Empfangsfilter–Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ so zu bestimmen, dass die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$den kleinstmöglichen Wert annimmt.

Leistungs– und Spitzenwertbegrenzung

Die Optimierung der Systemgrößen wird entscheidend dadurch beeinflusst, ob als Nebenbedingung der Optimierung Leistungsbegrenzung oder Spitzenwertbegrenzung des Sendesignals gefordert wird.

$\text{Definition:}$  Unter Leistungsbegrenzung versteht man, dass die (mittlere) Sendeleistung $P_{\rm S}$ einen vorgegebenen Maximalwert $P_\text{S, max}$ nicht überschreiten darf:

$$P_{\rm S}= {\rm E}[s(t)^2] = \overline{s(t)^2} \le P_{\rm S,\hspace{0.05cm} max}\hspace{0.05cm}.$$

Um die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit zu erzielen, wird man natürlich die mittlere Sendeleistung $P_{\rm S}$ im erlaubten Bereich möglichst groß wählen. Deshalb wird im Folgenden stets $P_{\rm S} = P_\text{S, max}$ gesetzt.

Die Frage, ob als Nebenbedingung der Optimierung tatsächlich von Leistungsbegrenzung ausgegangen werden kann, hängt von den technischen Randbedingungen ab. Diese Annahme ist insbesondere bei Funkübertragungssystemen gerechtfertigt, unter Anderem deshalb, weil die als „Elektrosmog” bekannte Beeinträchtigung von Mensch und Tier in starkem Maße von der (mittleren) Strahlungsleistung abhängt.

Anzumerken ist, dass ein Funkübertragungssystem natürlich nicht im Basisband arbeitet. Die hier am Beispiel der Basisbandübertragung definierten Beschreibungsgrößen werden aber im Hauptkapitel 4: Verallgemeinerte Beschreibung digitaler Modulationsverfahren dieses Buches dahingehend modifiziert, dass sie auch für digitale Trägerfrequenzsysteme anwendbar sind.

$\text{Definition:}$  Von Spitzenwertbegrenzung spricht man immer dann, wenn der Aussteuerbereich der Sendeeinrichtung begrenzt ist. Bei bipolarer Signalisierung lautet die entsprechende Bedingung: \[\vert s(t) \vert \le s_0\hspace{0.4cm}{\rm{f\ddot{u}r} }\hspace{0.15cm}{\rm alle}\hspace{0.15cm}t.\] Oft verwendet man anstelle von Spitzenwertbegrenzung auch den Begriff Amplitudenbegrenzung, der aber den Sachverhalt nicht ganz richtig wiedergibt.

Natürlich wird auch bei Spitzenwertbegrenzung die Leistung begrenzt, aber nicht die mittlere, sondern die Spitzenleistung. Die Nebenbedingung „Spitzenwertbegrenzung” ist zum Beispiel dann sinnvoll und sogar notwendig, wenn

• der Aussteuerbereich des Senders wegen Nichtlinearitäten von Bauelementen und Endverstärkern beschränkt ist, oder
  
• die Nebensprechstörung zu keiner Zeit einen gewissen Wert nicht überschreiten darf. Hierauf ist insbesondere bei der Kommunikation über Zweidrahtleitungen zu achten.

$\text{Beispiel 1:}$  Sendegrundimpuls $g_s(t)$ und Empfangsfilter–Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ seien rechteckförmig. Die Amplitude $g_0$ des Ausgangsimpulses stimmt stets mit der Eingangsimpulsamplitude $s_0$ überein.

Impulse/Impulsantworten bei System A

System A $(T_{\rm S} = T, \ T_{\rm E} = T)$:

• NRZ–Sendegrundimpuls,
• Matched–Filter, da $T_{\rm E} = T_{\rm S}$,
• Detektionsgrundimpuls: Dreieck,
• Energie pro Bit:   $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$,
• Rauschleistung:   $\sigma_d^2 = N_0/(2T)$,
• Bestmögliche Konstellation
• Bitfehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm B}\hspace{-0.01cm} =\hspace{-0.01cm}{\rm Q} \left( g_0/\sigma_d\right)\hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} {\rm Q} \left( \sqrt{ {2 \cdot s_0^2 \cdot T}/{N_0} }\right) = {\rm Q} \left( \sqrt{ {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_0} }\right)\hspace{0.05cm}.$$

Impulse/Impulsantworten bei System B

System B $(T_{\rm S} = T, \ T_{\rm E} = T/2)$:

• NRZ–Sendegrundimpuls,
• Kein Matched–Filter, da $T_{\rm E} \ne T_{\rm S}$,
• Detektionsgrundimpuls: Dreieck,
• Energie pro Bit:   $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$,
• Rauschleistung:   $\sigma_d^2 = N_0/T$,
• Stets 3 dB schlechter als System A
• Bitfehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm B}\hspace{-0.01cm} =\hspace{-0.01cm}{\rm Q} \left( g_0/\sigma_d\right)\hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} {\rm Q} \left( \sqrt{ {s_0^2 \cdot T}/{N_0} }\right) = {\rm Q} \left( \sqrt{ E_{\rm B} /{N_0} }\right)\hspace{0.05cm}.$$

Impulse/Impulsantworten bei System C

System C $(T_{\rm S} = T/2, \ T_{\rm E} = T/2)$:

• RZ–Sendegrundimpuls,
• Matched–Filter, da $T_{\rm E} = T_{\rm S}$,
• Detektionsgrundimpuls: kleineres Dreieck,
• Energie pro Bit:   $E_{\rm B} = 1/2 \cdot s_0^2 \cdot T$,
• Rauschleistung:   $\sigma_d^2 = N_0/T$,
• Bei Leistungsbegrenzung wie System A,
• Bei Spitzenwertbegrenzung 3 dB schlechter,
• Bitfehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm B} ={\rm Q} \left( { {g_0}/{\sigma_d} }\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{ { s_0^2 \cdot T}/{N_0} }\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{2 \cdot {E_{\rm B} }/{N_0} }\right)\hspace{0.05cm}.$$

$\text{Beispiel 2:}$  Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie im $\text{Beispiel 1}$. Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$

• in Abhängigkeit vom Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ (linkes Diagramm) und
• als Funktion von $s_0^2 \cdot T /N_0$ (rechtes Diagramm).

Es handelt sich um die Auswertung der im $\text{Beispiel 1}$ hergeleiteten Ergebnisse.

Systemvergleich bei Leistungs- und Spitzenwertbegrenzung

Diese beiden Diagramme in doppelt–logarithmischer Darstellung sind wie folgt zu interpretieren:

• Die linke Grafik vergleicht die Systeme bei gleicher mittlerer Leistung $(P_{\rm S})$ bzw. bei konstanter Energie pro Bit $(E_{\rm B})$. Da der Abszissenwert zusätzlich auf $N_0$ bezogen ist, gibt $p_{\rm B}(E_{\rm B}/N_0)$ den Sachverhalt auch für unterschiedliche Rauschleistungsdichten$N_0$ richtig wieder.
  
• Bei Leistungsbegrenzung sind die Konfigurationen A und C gleichwertig und stellen jeweils das Optimum dar. Wie auf den nächsten Seiten hergeleitet wird, liegt ein bei Leistungsbegrenzung optimales System immer dann vor, wenn $g_s(t)$ und $h_{\rm E}(t)$ formgleich sind (Matched–Filter). Die kleinere Leistung von System C wird durch die hier gewählte Abszisse ausgeglichen.
  
• Dagegen wird bei System B die Matched–Filter–Bedingung nicht eingehalten $(T_{\rm E} \ne T_{\rm S})$ und die Fehlerwahrscheinlichkeitskurve liegt nun um 3 dB rechts von der durch die Systeme A und C vorgegebenen Grenzkurve.
  
• Die rechte Grafik beschreibt das Optimierungsergebnis bei Spitzenwertbegrenzung, was an der Abszissenbeschriftung zu erkennen ist. Der Kurvenzug A (NRZ–Impuls, Matched–Filter) gibt auch hier die Grenzkurve an, die von keinem anderen System unterschritten werden kann.
  
• Die Kurve B in der rechten Grafik hat den genau gleichen Verlauf wie in der linken Darstellung, da wiederum NRZ–Sendeimpulse verwendet werden. Der Abstand von 3 dB zur Grenzkurve ist wieder auf die Nichteinhaltung der Matched–Filter–Bedingung zurückzuführen.
  
• Im Gegensatz zur linken Grafik liegt nun auch das Matched–Filter–System C um 3 dB rechts vom Optimum. Der Grund für diese Degradation ist, dass bei gleichem Spitzenwert (gleicher Spitzenleistung) das System C nur die halbe mittlere Leistung wie das System A bereitstellt.
  

Systemoptimierung bei Leistungsbegrenzung

Die Minimierung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_d}\right)$ kann aufgrund des monotonen Funktionsverlaufs der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion $ {\rm Q}(x)$ auf die Maximierung des Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnisses $\rho_d$ vor dem Schwellenwertentscheider (Detektions–SNR) zurückgeführt werden:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_d}\right)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum}\hspace{1cm}\Rightarrow \hspace{1cm}\rho_d ={g_0^2}/{\sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Maximum}\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei gibt $g_0 = g_d(t=0)$ die Amplitude des betrachteten Nyquistimpulses an und $\sigma_d^2$ bezeichnet die Detektionsstörleistung für das gegebene Empfangsfilter. Gleichzeitig muss sichergestellt werden, dass

• der Detektionsgrundimpuls $g_d(t) = g_s(t) \star h_{\rm E}(t)$ das erste Nyquistkriterium erfüllt, und
  
• die Energie des Sendegrundimpulses $g_s(t)$ einen vorgegebenen Wert $E_{\rm B}$ nicht überschreitet.

In den vorangegangenen Abschnitten wurde bereits mehrfach erwähnt, dass beim AWGN–Kanal mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte für das optimale System unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung gilt:

$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}}\right)\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} \rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}={2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}\hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis benutzen wir für die folgende Definition:

$\text{Definition:}$  Der Systemwirkungsgrad bei Leistungsbegrenzung einer vorliegenden Konfiguration ist der Quotient aus dem tatsächlichen und dem größtmöglichen Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis am Entscheider (Detektions–SNR):

$$\eta_{\rm L} = \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} L} } }= \frac{g_0^2 /\sigma_d^2}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$

Nachfolgend wird bewiesen, dass

• die so definierte Größe tatsächlich die Bedingung $0 \le \eta_{\rm L} \le 1$ erfüllt und somit als „Wirkungsgrad” interpretiert werden kann,
• der Wert $\eta_{\rm L} = 1$ erreicht wird, wenn die Empfangsfilter–Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ formgleich mit dem Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist.

$\text{Beweis:}$  Der Beweis erfolgt im Frequenzbereich. Aus Darstellungsgründen normieren wir den Sendegrundimpuls:

$$h_{\rm S}(t) = \frac{g_s(t)}{g_0 \cdot T} \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm} H_{\rm S}(f) = \frac{G_s(f)}{g_0 \cdot T} \hspace{0.05cm}.$$

Damit hat $h_{\rm S}(t)$ die Einheit „1/s” und $H_{\rm S}(f)$ ist dimensionslos. Für die einzelnen Systemgrößen folgt daraus:

(1)   Aufgrund des ersten Nyquistkriteriums muss gelten::

$$ G_d(f) = G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = G_{\rm Nyq}(f) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f)= H_{\rm Nyq}(f)= \frac{G_{\rm Nyq}(f)}{g_0 \cdot T}\hspace{0.05cm}.$$

(2)   Die Amplitude des Detektionsgrundimpulses ist gleich

$$g_d(t=0) = g_0 \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f = g_0\hspace{0.05cm}.$$

(3)   Die Energie des Sendegrundimpulses ist wie folgt gegeben:

$$E_{\rm B} = g_0^2 \cdot T^2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm S}(f)\vert ^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$

(4)   Die Detektionsstörleistung lautet:

$$ \sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm E}(f) \vert^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac {\vert H_{\rm Nyq}(f) \vert^2}{\vert H_{\rm S}(f) \vert^2} \,{\rm d} f\hspace{0.05cm}. $$

(5)   Setzt man diese Teilergebnisse in die Gleichung für den Systemwirkungsgrad ein, so erhält man:

$$\eta_{\rm L} = \left [ {T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm S}(f) \vert^2 \,{\rm d} f \hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm}T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac { \vert H_{\rm Nyq}(f) \vert ^2}{ \vert H_{\rm S}(f) \vert^2} \,{\rm d} f } \right ]^{-1}\hspace{0.05cm}.$$

(6)   Wir wenden nun auf den Ausdruck in der Klammer die Schwartzsche Ungleichung [BS01] an:

$$\frac{1}{\eta_{\rm L} } = T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm 1}(f) \vert^2 \,{\rm d} f \hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm} T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm 2}(f) \vert^2 \,{\rm d} f \hspace{0.3cm}\ge\hspace{0.3cm} \left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm 1}(f) \cdot H_{\rm 2}(f) \vert \,{\rm d} f \right ]^2$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{1}{\eta_{\rm L} } = T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm S}(f) \vert^2 \,{\rm d} f \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac { \vert H_{\rm Nyq}(f) \vert ^2}{ \vert H_{\rm S}(f) \vert ^2} \,{\rm d} f \hspace{0.2cm}\ge\hspace{0.2cm} \left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.5cm}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f \right ]^2 = 1. $$

(7)   Damit ist gezeigt, dass der Systemwirkungsgrad bei Leistungsbegrenzung tatsächlich die Bedingung $\eta_{\rm L} \le 1$ erfüllt.

(8)   Die Auswertung zeigt, dass für $H_{\rm S, \hspace{0.05cm}opt}(f) = \gamma \cdot \sqrt{H_{\rm Nyq}(f)}$ in obiger Ungleichung das Gleichheitszeichen gilt:

$$\gamma^2 \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.3cm} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f \hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm} \frac {1}{\gamma^2} \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.3cm}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f = \left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.3cm}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f \right ]^2 = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta_{\rm L} = 1 \hspace{0.05cm}.$$

(9)   Dieses Ergebnis ist unabhängig vom Parameter $\gamma$, den wir deshalb vereinfachend zu $\gamma = 1$ setzen:   $H_{\rm S, \hspace{0.05cm}opt}(f) = \sqrt{H_{\rm Nyq}(f)}$.

Wurzel–Nyquist–Systeme

Das wesentliche Ergebnis der Berechnungen auf den letzten Seiten war, dass beim optimalen Binärsystem unter der Nebenbedingung Leistungsbegrenzung

• der Detektionsgrundimpuls $g_d(t) = g_s(t) \star h_{\rm E}(t)$ die erste Nyquistbedingung erfüllen muss, und
• die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ des Empfangsfilters formgleich mit dem Sendegrundimpuls $g_s(t)$ zu wählen ist; gleiches gilt für die zugehörigen Spektralfunktionen $H_{\rm E}(f)$ und $G_s(f)$

Sind sowohl $g_s(t)$ als auch $h_{\rm E}(t)$ rechteckförmig mit $T_{\rm S} = T_{\rm E} \le T$, so werden beide Bedingungen erfüllt. Nachteil dieser Konfiguration ist allerdings der große Bandbreitenbedarf aufgrund der nur langsam abfallenden, si–förmigen Spektralfunktionen $G_s(f)$ und $H_{\rm E}(f)$. In der unteren Grafik ist die Spektralfunktion des rechteckförmigen NRZ–Sendegrundimpulses als gestrichelte violette Kurve eingezeichnet.

Geht man von einem Nyquistspektrum mit Cosinus–Rolloff–Flanke   ⇒   $H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f)$ aus,

$$<G_d(f) = G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = g_0 \cdot T \cdot {H_{\rm CRO}(f)} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}G_s(f) = g_0 \cdot T \cdot \sqrt{H_{\rm CRO}(f)},\hspace{0.5cm}H_{\rm E}(f)= \sqrt{H_{\rm CRO}(f)}\hspace{0.05cm},$$

so ergeben sich für jeden Rolloff–Faktor $r$ günstigere Spektraleigenschaften und ein geringerer Bandbreitenbedarf.

Die folgende Grafik zeigt die normierten Sendespektren $G_s(f)/(g_0 \cdot T)$ in logarithmierter Darstellung für die drei Rolloff–Faktoren

Verschiedene Sendespektren bei Basisbandübertragung

• $r = 0$ (grüne Kurve),
• $r = 0.5$ (blaue Kurve), und
• $r = 1$ (rote Kurve).

Anzumerken ist, dass der Bandbreitenbedarf bei der Basisbandübertragung nur eine untergeordnete Rolle spielt. Die Grafik gilt jedoch auch für die Trägerfrequenzsysteme entsprechend Kapitel 4 bei Darstellung im äquivalenten Tiefpassbereich. Bei diesen Systemen spielt die Bandbreite eine wichtige Rolle. Jedes zusätzliches Hertz an Bandbreite kann sehr teuer sein.

Systemoptimierung bei Spitzenwertbegrenzung

Ist das (bipolare) Sendesignal auf ±s₀ begrenzt, so gilt für die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit:\[p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A}}}\right)\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} \rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A}}={2 \cdot s_0^2 \cdot T}/{N_0}\hspace{0.05cm}.\]
Der Buchstabe A steht hierbei für Amplitudenbegrenzung (oder Spitzenwertbegrenzung). Es gibt nur ein einziges System, das diese minimale Fehlerwahrscheinlichkeit erreicht, nämlich eine Konfiguration mit NRZ–Rechteck–Sendegrundimpuls und daran angepasstem Empfangsfilter.

: Der Systemwirkungsgrad bei Amplitudenbegrenzung (Spitzenwertbegrenzung) lautet:\[\eta_{\rm A} = \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} A}}}= \frac{g_0^2 /\sigma_d^2}{2 \cdot s_0^2 \cdot T/N_0}\hspace{0.05cm}.\]

Hierbei sind folgende Systemgrößen verwendet:

• g₀ = g_d(t = 0) gibt die Amplitude des betrachteten Nyquistimpulses an.
  
• s₀ stellt den maximalen Betrag des bipolaren Sendesignals dar.
  
• N₀ ist die (einseitige) Rauschleistungsdichte.
  
• σ_d² bezeichnet die Detektionsstörleistung.

Dieser Wirkungsgrad unterscheidet sich vom Systemwirkungsgrad η_L bei Leistungsbegrenzung dadurch, dass nun im Nenner s₀² · T anstelle von E_B steht. Es besteht folgender Zusammenhang:\[\eta_{\rm A} = \frac{E_{\rm B}}{s_0^2 \cdot T} \cdot \eta_{\rm L}= {\eta_{\rm L}}/{C_{\rm S}^2}\hspace{0.05cm}.\]
Hierbei bezeichnet der Crestfaktor das Verhältnis von Maximalwert s₀ und Effektivwert s_eff von s(t):\[C_{\rm S} = \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}= {s_0}/{s_{\rm eff}}.\]
s_eff ist gleich der Wurzel aus der Signalleistung (E_B/T).

: Wir betrachten wie im vorherigen Beispiel drei unterschiedliche Konfigurationen mit jeweils rechteckförmigen Zeitfunktionen g_s(t) und h_E(t) und geben hierfür die Systemwirkungsgrade an:\[\underline {{\rm System \hspace{0.15cm}A\hspace{-0.1cm}:}}\hspace{0.5cm}\rho_d = {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0} = { 2 \cdot s_0^2 \cdot T}/{N_0}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\eta_{\rm L} = 1,\hspace{0.3cm}\eta_{\rm A} = 1\hspace{0.05cm}.\]

\[\underline {{\rm System \hspace{0.15cm}B\hspace{-0.1cm}:}}\hspace{0.5cm}\rho_d = {E_{\rm B}}/{N_0} ={ s_0^2 \cdot T}/{N_0}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\eta_{\rm L} = 0.5,\hspace{0.3cm}\eta_{\rm A} = 0.5\hspace{0.05cm}.\] \[\underline {{\rm System \hspace{0.15cm}C\hspace{-0.1cm}:}}\hspace{0.5cm} \rho_d = {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0} = { s_0^2 \cdot T}/{N_0}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\eta_{\rm L} = 1,\hspace{0.3cm}\eta_{\rm A} = 0.5\hspace{0.05cm}.\] Man erkennt, dass beim System B beide Systemwirkungsgrade aufgrund der fehlenden Anpassung (T_E ≠ T_S) nur jeweils 0.5 sind. Beim System C hat zwar der Systemwirkungsgrad η_L wegen T_E = T_s den Maximalwert. Dagegen ist η_A nur 0.5, da der RZ–Impuls nicht die maximale Energie besitzt, die aufgrund der Spitzenwertbegrenzung erlaubt wäre. Der Crestfaktor hat hier den Wert

„Wurzel aus 2”.

Systemoptimierung bei Spitzenwertbegrenzung (2)

Nun betrachten wir eine Wurzel–Nyquist–Konfiguration mit Cosinus–Rolloff–Gesamtfrequenzgang:\[G_s(f) = g_0 \cdot T \cdot \sqrt{H_{\rm CRO}(f)},\hspace{0.5cm}H_{\rm E}(f)= \sqrt{H_{\rm CRO}(f)}\] \[\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_d(f) = g_0 \cdot T \cdot {H_{\rm CRO}(f)} = G_{\rm Nyq}(f)\hspace{0.05cm}.\] Die Grafik zeigt die Augendiagramme am Sender (oben) und am Empfänger (unten), jeweils für die Rolloff–Faktoren r = 0.25, r = 0.50 und r = 1. Es sei daran erinnert, dass eine solche Konfiguration unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung unabhängig vom Rolloff–Faktor r optimal ist.



Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Der Sendeimpuls g_s(t) erfüllt nicht die Nyquistbedingung: Das Auge am Sender (obere Bildreihe) ist nicht vollständig geöffnet; der Maximalwert des Sendesignals ist größer als sein Effektivwert.
  

• Der Crestfaktor C_S = s₀/s_eff wird mit kleinerem r größer und damit der Wirkungsgrad η_A kleiner. Für r = 0.5 ergibt sich C_S ≈ 1.45 und damit η_A ≈ 0.47. Das Detektions–SNR ist dann um den Betrag 10 · lg η_A ≈ 3.2 dB geringer als bei der Rechteck–Rechteck–Konfiguration.
  

• Im (theoretischen) Grenzfall r = 0 gilt sogar C_S → ∞ und η_A → 0. Der Sendegrundimpuls g_s(t) fällt hier noch langsamer als mit 1/t ab, und es gilt:

\[\max_t\{ s(t) \} = \max_t \hspace{0.15cm}\big [ \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T)\ \big ]\rightarrow \infty\hspace{0.05cm}.\]

• Begrenzt man das Sendesignal s(t) durch einen gegen 0 gehenden Gewichtungsfaktor auf einen endlichen Maximalwert s₀, so führt dies zu einem geschlossenem Auge vor dem Entscheider.
  

Optimierung des Rolloff–Faktors bei Spitzenwertbegrenzung

Es wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:

• Der Sendegrundimpuls g_s(t) sei NRZ–rechteckförmig; bei Spitzenwertbegrenzung ist dies optimal.
  
• Der Gesamtfrequenzgang H_S(f) · H_E(f) = H_Nyq(f) erfülle die Nyquistbedingung und werde durch einen Cosinus–Rolloff–Tiefpass H_CRO(f) beschrieben.
  
• Da die Impulsamplitude g₀ unabhängig vom Rolloff–Faktor r ist, lässt sich die SNR–Maximierung hier auf die Minimierung der Rauschleistung vor dem Entscheider zurückführen:\[\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum,} \hspace{0.5cm}{\rm wobei}\hspace{0.5cm} H_{\rm E}(f) =\frac {H_{\rm CRO}(f)}{{\rm si}(\pi f T)}\hspace{0.05cm}.\]
  

Die Grafik zeigt die Leistungsübertragungsfunktion |H_E(f)|² für drei verschiedene Rolloff–Faktoren. Die Flächen unter diesen Kurven sind jeweils ein Maß für die Rauschleistung vor dem Entscheider.



Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Der Rolloff–Faktor r = 0 (Rechteck) führt trotz des sehr schmalbandigen Empfangsfilters nur zum Wirkungsgrad η_A = 0.65, da H_E(f) wegen der si-Funktion im Nenner mit wachsendem f ansteigt.
  
• r = 1 bewirkt zwar ein doppelt so breites Nyquistspektrum, führt aber zu keiner Anhebung. Da die Fläche unter der roten Kurve kleiner ist als die grüne, ergibt sich ein besserer Wert: η_A = 0.88.
  
• Der größte Systemwirkungsgrad ergibt sich für r_opt ≈ 0.8 (flaches Maximum) mit η_A = 0.89. Hierfür erreicht man den bestmöglichen Kompromiss zwischen Bandbreite und Überhöhung.
  
• Durch Vergleich mit dem optimalen Frequenzgang H_E(f) = si(πfT) bei Spitzenwertbegrenzung, der zum Ergebnis σ_d² = N₀/(2T)   ⇒   η_A = 1 führt, erhält man für den Systemwirkungsgrad:

\[eta_{\rm A} = \left [T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.15cm} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f \right ]^{-1} \hspace{0.05cm}.\]

• Das bedeutet: Das beste Cosinus-Rolloff-Nyquistspektrum mit r_opt = 0.8 (blaue Kurve) ist gegenüber dem Matched-Filter (violett-gestrichelte Kurve) um ca. 0.5 dB schlechter, da die Fläche unter der blauen Kurve um ca. 12% größer ist als die Fläche unter der violetten Kurve.
  

Aufgaben

A1.6 Wurzel–Nyquist–System

Z1.6 Zwei Optimalsysteme

A1.7 Systemwirkungsgrade