Digitalsignalübertragung/Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation

1. Digitalsignalübertragung
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Gemeinsames Blockschaltbild für ASK und BPSK

Im Kapitel 4.2 des Buches „Modulationsverfahren” wurden die digitalen Trägerfrequenzsysteme ASK (Amplitude Shift Keying) und BPSK (Binary Phase Shift Keying) bereits ausführlich beschrieben. In diesem Kapitel wird nun die Fehlerwahrscheinlichkeit dieser Systeme berechnet, wobei von dem folgenden gemeinsamen Blockschaltbild ausgegangen wird:



Wie im Kapitel 4.2 des Buches „Modulationsverfahren” gelten auch hier folgende Voraussetzungen:

• Die Demodulation geschieht stets kohärent. Das heißt: Beim Empfänger wird ein Trägersignal mit gleicher Frequenz wie beim Sender zugesetzt, aber mit doppelter Amplitude. Der Phasenversatz sei zunächst Δϕ_T = 0.
  
• Bei BPSK wird von den bipolaren Amplitudenkoeffizienten a_ν ∈ {–1, +1} ausgegangen und die Entscheiderschwelle liegt bei E = 0. Dagegen gilt bei ASK a_ν ∈ {0, 1}. Die Entscheiderschwelle E ist für diesen unipolaren Fall bestmöglich zu wählen.
  
• Wir betrachten stets den AWGN–Kanal, das heißt, dass für den Kanalfrequenzgang H_K(f) = 1 gilt und n(t) weißes Gaußsches Rauschen mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte N₀ darstellt.
  
• Die Entzerrung linearer Kanalverzerrungen – also der Fall H_K(f) ≠ const. – ist in gleicher Weise möglich wie bei der Basisbandübertragung. Hierzu sei auf das Kapitel 3.3 verwiesen.
  

Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen BPSK–Systems (1)

Wir gehen zunächst von einem bipolaren rechteckförmigen Quellensignal q(t) mit der Amplitude ±s₀ aus. Dessen normiertes Spektrum lautet: H_S(f) = si(πfT). Ebenso wie bei der Basisbandübertragung ergibt sich die kleinstmögliche Bitfehlerwahrscheinlichkeit für das Empfangsfilter H_E(f) = H_S^∗(f) = si(πfT).
Die Signalverläufe des BPSK–Systems mit Matched–Filter–Empfänger zeigen:

• Das Detektionsnutzsignal d_S(t) – also ohne Rauschanteil – ist zu allen Detektionszeitpunkten νT stets ±s₀, wobei das Vorzeichen durch die Amplitudenkoeffizienten a_ν festgelegt sind.
  
• Wie beim vergleichbaren Basisbandsystem beträgt die Fehlerwahrscheinlichkeit <nobr>p_B = Q(s₀/σ_d),</nobr> wobei Q(x) das komplementäre Gaußsche Fehlerintergral Please add link bezeichnet.
  
• Unterschiedlich zum Basisbandsystem ist jedoch die Rauschleistung. Der Rauschanteil b_N(t) ergibt sich durch die Multiplikation des Bandpassrauschens n(t) mit dem Träger 2 · cos(2π f_T t) und besitzt die Rauschleistungsdichte

\[{{\it \Phi}_{b{\rm N}}(f)}={{\it \Phi}_{n}(f)}\star \left[ 1^2 \cdot \delta ( f - f_{\rm T})+ 1^2 \cdot \delta ( f + f_{\rm T})\right].\]

• Die nachfolgende Grafik verdeutlicht diese Gleichung am Beispiel von bandbegrenztem weißen Rauschen mit der Bandbreite B_n. Während Φ_n(f = f_T) gleich N₀/2 gilt, ist Φ_bN(f = 0) = N₀. Die Anteile um ±2f_T werden durch das nachfolgende Empfangsfilter H_E(f) eliminiert und spielen für die weiteren Betrachtungen keine Rolle.
  

• Bei echt weißem Rauschen gilt mit dem Grenzübergang B_n → ∞ \[{{\it \Phi}_{n}(f)}={N_0}/{2}, \hspace{0.3cm}{{\it \Phi}_{b{\rm N}}(f)}={N_0}.\]
  

Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen BPSK–Systems (2)

Die gerade durchgeführten Betrachtungen zeigen, dass man zur Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit des BPSK–Systems auf die beiden Multiplikationen mit z(t) und 2 · z(t) verzichten kann, wenn man die Rauschleistung verdoppelt.



Damit ergibt sich für die Rauschleistung vor dem Entscheider bei AWGN–Rauschen:\[{\sigma_d}^2 = N_0 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} {\rm si}^2(\pi \hspace{0.01cm} f \hspace{0.05cm} T_{\rm B}) \,{\rm d} f = {N_0}/{T_{\rm B}},\]
also der doppelte Wert als bei der Basisbandübertragung. Hinweis: Um später einen Vergleich mit der QAM zu ermöglichen, wurde hier die Symboldauer T durch die Bitdauer T_B ersetzt. Bei BPSK (und auch bei ASK) sind T und T_B gleich.

Damit lautet die BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit mit den zwei üblichen Gaußschen Fehlerfunktionen: Please add link:\[p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{N_0 }}\hspace{0.1cm} \right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{2 \cdot N_0 }}\hspace{0.1cm} \right ).\] Berücksichtigt man weiter, dass die bei BPSK aufgewandte Energie pro Bit \(E_{\rm B} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}\)
beträgt, so kann diese Gleichung wie folgt umgeformt werden:\[p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) ={1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).\]
Es ergibt sich somit genau die gleiche Formel wie bei der Basisbandübertragung, bei der jedoch für die „Energie pro Bit” E_B = s₀² · T_B zu verwenden war und nicht wie hier E_B = 1/2 · s₀² · T_B.

Anmerkung: Diese letzte Gleichung gilt nicht nur bei Rechteck–Quellensignal  ⇒  H_S(f) = si(πft), sondern für jedes beliebige H_S(f), solange

• das Empfangsfilter H_E(f) = H_S^∗(f) exakt an den Sender angepasst ist,
  
• das Produkt H_S(f) · H_E(f) das erste Nyquistkriterium erfüllt.
  

Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen ASK–Systems

Wir betrachten nun ein ASK–System bei gleichen Voraussetzungen wie das BPSK–System. Hier sind alle Detektionsnutzsignalwerte d_S(νT) entweder 0 oder s₀, ist dementsprechend der Abstand von der Schwelle E = s₀/2 jeweils s₀/2, ist der Rauscheffektivwert σ_d genau so groß wie bei BPSK, ist die Energie pro Bit nur halb so groß wie bei BPSK:\[E_{\rm B} = {1}/{4}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}.\]
Damit lauten die entsprechenden Gleichungen für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:\[p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/2}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{4 \cdot N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),\] \[p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{2 \cdot N_0 }} \right ).\]
Die Grafik zeigt die Fehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK abhängig vom Quotienten E_B/N₀.



Man erkennt aus dieser doppelt–logarithmischer Darstellung:

• Die ASK–Kurve liegt um 3 dB rechts von der BPSK–Kurve. Für die Fehlerwahrscheinlichkeit 10^–8 benötigt man bei BPSK etwa 10 · lg (E_B/N₀) = 12 dB, bei ASK dagegen ca. 15 dB.
• Der Systemvergleich bei dem festen Abszissenwert 10 · lg (E_B/N₀) = 8 dB liefert die beiden Bitfehlerwahrscheinlichkeiten 2 · 10^–4 (für BPSK) bzw. 6 · 10^–3 (für ASK).

Fehlerwahrscheinlichkeit bei 4–QAM und 4–PSK (1)

Im Kapitel 4.3 des Buches „Modulationsverfahren” wurde die Quadraturamplitudenmodulation (QAM) ausführlich beschrieben. Dem Blockschaltbild ist zu entnehmen:

• Die 4–QAM kann durch zwei zueinander orthogonale BPSK–Systeme mit Cosinus– bzw. Minus–Sinus–Träger dargestellt werden.
  
• Das binäre Quellensignal q(t) mit der Bitdauer T_B ⇒ Bitrate R_B wird in zwei Teilsignale q_I(t) und q_Q(t) mit jeweils halber Rate aufgespaltet (Seriell–Parallel–Wandlung). Die Symboldauer von q_I(t) bzw. q_Q(t) beträgt jeweils T = 2 · T_B, die Symbolrate jeweils R_B/2.
  
• Die Amplituden der beiden orthogonalen Trägersignale sind um den Faktor „Wurzel aus 2” kleiner gewählt als bei der BPSK, so dass die Hüllkurve des Sendesignals s(t) wiederum s₀ beträgt.
  
  

Die Fehlerwahrscheinlichkeit der QAM ist die gleiche wie die der zwei orthogonalen BPSK–Systemen. Wegen der kleineren Signalamplitude und der niedrigeren Symbolrate gilt: \[p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/\sqrt{2}}{\sigma_d } \right ) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}{\sigma_d}^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot T_{\rm B}}\] \[\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 }{2} \cdot \frac{2 \cdot T_{\rm B} }{N_0}}\hspace{0.1cm}\right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).\]
Das heißt: Obwohl mit der 4–QAM gegenüber der BPSK die doppelte Informationsmenge übertragen werden kann, ergibt sich in Abhängigkeit von E_B/N₀ die genau gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit. Berücksichtigt ist hierbei, dass auch bei der 4–QAM für die mittlere Energie pro Bit gilt:\[E_{\rm B} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}.\]
Da sich die quaternäre Phasenmodulation (4–PSK) von der 4–QAM nur um eine Phasenverdrehung von 45° unterscheidet, ergibt sich auch für diese bei Berücksichtigung geeigneter Entscheidungsgebiete die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit.

Fehlerwahrscheinlichkeit bei 4–QAM und 4–PSK (2)

Die obere Grafik zeigt die Phasendiagramme der BPSK mit Cosinus– bzw. Minus–Sinusträger, jeweils für 10 · lg E_B/N₀ = 6 dB. Hinweis: In der linken (bzw. rechten) Grafik erkennt man Bitfehler durch gelbe Kreuze rechts (bzw. oberhalb) der Entscheiderschwelle. Zur besseren Kenntlichmachung sind Bitfehler durch Kreise hervorgehoben, zum Beispiel gelbe Punkte rechts bzw. oberhalb der Schwelle.



Der Abstand der Nutzabtastwerte ohne Rauschen (markiert durch die weißen Punkte) von der jeweiligen Entscheiderschwelle (grün markiert) beträgt jeweils s₀. Die Varianz der Detektionsabtastwerte – erkennbar an den Punktwolken – ist gleich \[{\sigma_d}^2 = \frac{N_0 }{ T_{\rm B}}= \frac{s_0^2/2 }{ E_{\rm B}/N_0},\hspace{0.3cm}{\rm wegen}\hspace{0.2cm}E_{\rm B} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}.\]
Mit 10 · lg E_B/N₀ = 6 dB ⇒ E_B/N₀ = 10^0.6 ≈ 4 ergibt sich daraus:\[{{\sigma_d}^2 }/{ {s_0}^2}= [{ 2 \cdot 10^{0.6}}]^{-1} \approx 0.125\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {{\sigma_d} }/{ {s_0}}\approx 0.35\]
\(\Rightarrow \hspace{0.5cm}p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( s_0/{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot 10^{0.6}} \hspace{0.08cm}\right ) = {\rm Q}(2.8) \approx 2 \cdot 10^{-3}.\)

Das untere Bild gilt für die 4–QAM, die man als zwei orthogonale BPSK–Systeme mit Cosinus– und Minus–Sinusträger auffassen kann.

• Der Abstand der nunmehr vier Nutzabtastwerte ohne Rauschen (markiert durch weiße Punkte) vom Ursprung ist wieder s₀.
  

  Phasendiagramm bei 4–QAM
  
  
  
• Der Abstand zu den Entscheiderschwellen ist nun allerdings um den Faktor „Wurzel aus 2” geringer als bei BPSK, aber auch der Rauscheffektivwert σ_d ist um den gleichen Faktor kleiner.
  
• Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für 4–QAM und BPSK ist somit exakt gleich: p_B = 2 · 10^–3.
  

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