Lineare Nyquistentzerrung

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Struktur des optimalen Nyquistentzerrers


In diesem Abschnitt gehen wir von folgendem Blockschaltbild eines Binärsystems aus.

Blockschaltbild des optimalen Nyquistentzerrers

Hierzu ist anzumerken:

  • Die Diracquelle liefert die zu übertragende Nachricht (Amplitudenkoeffizienten aν) in binärer bipolarer Form. Sie wird als redundanzfrei vorausgesetzt.
  • Die Sendeimpulsform gs(t) wird durch den Senderfrequenzgang HS(f) berücksichtigt. Bei allen Beispielen ist HS(f) = si(π f T) zugrunde gelegt.
  • Bei manchen Herleitungen werden Sender und Kanal – hierfür wird meist ein Koaxialkabel angenommen – durch den gemeinsamen Frequenzgang HSK(f) = HS(f) · HK(f) zusammengefasst.
  • Das Empfangsfilter HE(f) setzt sich multiplikativ aus dem Matched–Filter HMF(f) = HSK(f) und dem Transversalfilter HTF(f) zusammen, zumindest kann es gedanklich so aufgespalten werden.
  • Der Gesamtfrequenzgang zwischen der Diracquelle und dem Schwellenwertentscheider soll die erste Nyquistbedingung erfüllen. Es muss also gelten:
\[H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f) = H_{\rm Nyq}(f) \hspace{0.05cm}.\]
  • Mit dieser Bedingung ergibt sich die maximale Augenöffnung (keine Impulsinterferenzen). Deshalb gelten für das Detektions–SNR und den Systemwirkungsgrad bei binärer Signalisierung:
\[\rho_d = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{\sigma_d^2} = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{N_0}\cdot \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta = \frac{\rho_d }{\rho_{d,\hspace{0.05cm} {\rm max}}} = \frac{\rho_d }{2 \cdot s_0^2 \cdot T/N_0} = \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2} \hspace{0.05cm}.\]
  • Die Optimierungsaufgabe beschränkt sich also darauf, das Empfangsfilter HE(f) so zu bestimmen, dass die normierte Rauschleistung vor dem Entscheider den kleinstmöglichen Wert annimmt:
\[\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_0/ T} =T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f \stackrel {!}{=} {\rm Minimum}\hspace{0.05cm}.\]
  • Wir bezeichnen die Konfiguration als Optimale Nyquistentzerrung (ONE). Obwohl diese auch – und besonders effektiv – bei Mehrstufensystemen anwendbar ist, setzen wir zunächst M = 2.

Wirkungsweise des Transversalfilters (1)


Verdeutlichen wir uns zunächst die Aufgabe des symmetrischen Transversalfilters

\[H_{\rm TF}(f) \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.4cm} h_{\rm TF}(t) = \sum_{\lambda = -N}^{+N} k_\lambda \cdot \delta(t - \lambda \cdot T) \hspace{0.05cm}.\]

N gibt die Ordnung des Filters an. Für die Filterkoeffizienten gilt k–λ = kλ. Dieses Filter ist somit durch die Koeffizienten k0, ... , kN vollständig bestimmt. Die Grafik zeigt ein Filter zweiter Ordnung (N = 2).

Transversalfilter als Teil des optimalen Nyquistentzerrers

Für den Eingangsimpuls gm(t) setzen wir ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit voraus, dass dieser

  • symmetrisch um t = 0 ist (Ausgang des Matched–Filters),
  • zu den Zeiten νT und –νT den Wert gm(ν) besitzt.

Damit sind die Eingangsimpulswerte:

\[...\hspace{0.2cm} , g_m(3),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}\hspace {0.15cm}g_m(0),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(3),\hspace{0.1cm} ... \hspace{0.05cm}.\]

Für den Detektionsgrundimpuls gd(t) am Filterausgang ergeben sich demzufolge zu den Zeitpunkten νT mit den Abkürzungen g0 = gd(t = 0), g1 = gd(t = ±T), g2 = gd(t = ±2T) folgende Werte:

\[ t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 = k_0 \cdot g_m(0) + k_1 \cdot 2 \cdot g_m(1) \hspace{1.23cm}+k_2 \cdot 2 \cdot g_m(2),\hspace{0.05cm} \] \[ t = \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot g_m(1) + k_1 \cdot [g_m(0)+g_m(2)]+ k_2 \cdot [g_m(1)+g_m(3)], \] \[ t = \pm 2T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 = k_0 \cdot g_m(2) + k_1 \cdot [g_m(1)+g_m(3)]+ k_2 \cdot [g_m(2)+g_m(4)] \hspace{0.05cm}. \]

Aus diesem System mit drei linear unabhängigen Gleichungen kann man nun die Filterkoeffizienten k0, k1 und k2 so bestimmen, dass der Detektionsgrundimpuls gd(t) durch die normierten Stützstellen

\[...\hspace{0.15cm} , g_3,\hspace{0.25cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_0 = 1,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.25cm}g_3 ,\hspace{0.15cm} ...\]

vollständig gegeben ist. Auf der nächsten Seite wird die Optimierung der Filterkoeffizienten an einem einfachen Beispiel verdeutlicht.

Wirkungsweise des Transversalfilters (2)


: Wir gehen von dem symmetrischen Eingangssignal entsprechend dem oberen Diagramm aus. Mit der Abkürzung gm(ν) = gmν · T) gibt es folgende Abtastwerte im Abstand der Symboldauer T:

\[g_m(t) = {\rm exp }\left ( - \sqrt{2 \cdot |t|/T}\right )\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_m(0) = 1 ,\hspace{0.15cm}g_m(1)= 0.243,\hspace{0.15cm}g_m(2)= 0.135,\hspace{0.15cm}g_m(3)= 0.086, \hspace{0.15cm}g_m(4)= 0.059 \hspace{0.05cm}.\]

Für den Ausgangsimpuls soll gd(0) = 1 und gdT) = 0 gelten. Hierzu eignet sich ein Laufzeitfilter erster Ordnung mit den Koeffizienten k0 und k1, die folgende Bedingungen erfüllen müssen:

\[t = \pm T\hspace{-0.1cm} : \hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot [1.000 +0.135] = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{k_1} = -0.214 \cdot {k_0}\hspace{0.05cm},\] \[ t = 0 \hspace{-0.1cm} : \hspace{0.2cm}g_0 = k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2 \cdot 0.243= 1\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}0.896 \cdot {k_0} = 1 \hspace{0.05cm}.\]

Eingangs- und Ausgangsimpuls des optimalen Nyquistentzerrers

Daraus erhält man die optimalen Filterkoeffizienten k0 = 1.116 und k1 = 0.239. Das mittlere Diagramm zeigt, dass damit der erste Vorläufer und der erste Nachläufer kompensiert werden können und zugleich gd(0) = 1 gilt (gelbe Hinterlegung). Die weiteren Detektionsgrundimpulswerte (blaue Kreise) sind aber von 0 verschieden und bewirken Impulsinterferenzen.

Das untere Diagramm zeigt, dass mit einem Filter zweiter Ordnung (N = 2) Nulldurchgänge bei ±T und bei ±2T erzwungen werden, wenn die Koeffizienten k0 = 1.127, k1 = 0.219 und k2 = 0.075 geeignet gewählt sind. Das Gleichungssystem zur Bestimmung der optimalen Koeffizienten lautet dabei:

\[t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 = k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2 \cdot 0.243 + k_2 \cdot 2 \cdot 0.135 = 1\hspace{0.05cm},\\ t= \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot [1.000+0.135]+ k_2 \cdot [0.243+0.086] = 0\hspace{0.05cm}, \\ t = \pm 2 T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 = k_0 \cdot 0.135 + k_1 \cdot [0.243+0.086]+ k_2 \cdot [1.000 + 0.059]= 0 \hspace{0.05cm}.\]


Die Ergebnisse können wie folgt verallgemeinert werden:

  • Mit einem Laufzeitfilter N–ter Ordnung können der Hauptwert gd(0) zu 1 (normiert) sowie die ersten N Nachläufer und die ersten N Vorläufer zu Null gemacht werden.
  • Weitere Vor– und Nachläufer (|ν| > N) lassen sich so nicht kompensieren. Es ist auch möglich, dass diese außerhalb des Kompensationsbereichs vergrößert werden oder sogar neu entstehen.
  • Im Grenzübergang N → ∞ (in der Praxis heißt das: ein Filter mit sehr vielen Koeffizienten) ist eine vollständige Nyquistentzerrung und damit eine impulsinterferenzfreie Übertragung möglich.

Beschreibung im Frequenzbereich (1)


Die Tatsache, dass sich der optimale Nyquistentzerrer multiplikativ aus

  • dem Matched–Filter HMF(f) = HS(f) · HK(f) – also angepasst an den Empfangsgrundimpuls –
  • und einem Transversalfilter HTF(f) mit unendlich vielen Filterkoeffizienten

zusammensetzt, folgt aus dem ersten Nyquistkriterium. Durch Anwendung der Variationsrechnung erhält man den Frequenzgang des Transversalfilters (siehe Söder, G.; Tröndle, K.: Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme. Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.):

\[H_{\rm TF}(f) = \frac{1}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - \frac{\kappa}{T}) |^2} \hspace{0.3cm}{\rm{mit}}\hspace{0.3cm}H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f)\cdot H_{\rm K}(f) \hspace{0.05cm}.\]

Die Grafik zeigt diesen Verlauf in logarithmierter Form für rechteckförmige NRZ–Sendeimpulse und ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung

  • a = 0 dB  ⇒  grüne Null–Linie,
  • a = 40 dB  ⇒  blauer Funktionsverlauf,
  • a = 80 dB  ⇒  roter Funktionsverlauf.

Logarithmierter Frequenzgang des Transversalfilters

Man erkennt aus obiger Gleichung und dieser Skizze:

  • HTF(f) ist reell, woraus sich die symmetrische Struktur des Transversalfilters ergibt: k–λ = kλ.
  • HTF(f) ist eine mit der Frequenz 1/T periodische Funktion.
  • Die Koeffizienten ergeben sich somit aus der Fourierreihe (angewandt auf die Spektralfunktion):
\[k_\lambda =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)}\frac{\cos(2 \pi f \lambda T)} {\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - {\kappa}/{T}) |^2} \hspace{0.2cm} {\rm d} f \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm}H_{\rm TF}(f) = \sum\limits_{\lambda = -\infty}^{+\infty} k_\lambda \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f \lambda T}\hspace{0.05cm}.\]

Die Bildbeschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.

Beschreibung im Frequenzbereich (2)


Die linke Grafik zeigt den Verlauf 20 · lg HTF(f) im Bereich | f | ≤ 1/T. Rechts ist der Frequenzgang 20 · lg |HE(f)| des gesamten Empfangsfilters einschließlich Matched–Filter dargestellt. Es gilt:

\[H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f) = \frac{H_{\rm SK}^{^\star}(f)}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - {\kappa}/{T}) |^2}.\]

Frequenzgang des optimalen Nyquistentzerrers

Zu diesen Darstellungen ist anzumerken:

  • Der Transversalfilter–Frequenzgang HTF(f) ist symmetrisch zur Nyquistfrequenz fNyq = 1/(2T). Diese Symmetrie ist beim Empfangsfilter–Gesamtfrequenzgang HE(f) nicht mehr gegeben.
  • Die Maxima der Frequenzgänge HTF(f) und |HE(f)| hängen signifikant von der charakteristischen Kabeldämpfung ab. Es gilt:
\[a_{\star} = 40\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}[H_{\rm TF}(f)]\hspace{0.1cm} \approx 80\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm Max}[|H_{\rm E}(f)|] \approx 40\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},\]
\[a_{\star} = 80\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}[H_{\rm TF}(f)] \approx 160\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm Max}[|H_{\rm E}(f)|] \approx 80\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.\]

Für a = 0 dB (idealer Kanal) kann auf das Transversalfilter verzichtet werden und es gilt, wie bereits im Kapitel 1.2 hergeleitet:

\[H_{\rm E}(f) =H_{\rm S}(f) = {\rm si} (\pi f T)\hspace{0.05cm}.\]

Approximation des optimalen Nyquistentzerrers


Betrachten wir nun den Gesamtfrequenzgang zwischen der Diracquelle und dem Entscheider. Dieser setzt sich multiplikativ aus den Frequenzgängen von Sender, Kanal und Empfänger zusammen. Entsprechend der Herleitung muss der Gesamtfrequenzgang die Nyquistbedingung erfüllen:

\[H_{\rm Nyq}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f) = \frac{|H_{\rm SK}(f)|^2}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - {\kappa}/{T}) |^2}\hspace{0.05cm}.\]

Die Grafik zeigt folgende Eigenschaften des optimalen Nyquistfilters:

  • Ist die Kabeldämpfung hinreichend groß (a > 10 dB), so kann der Gesamtfrequenzgang mit sehr guter Näherung durch einen Cosinus–Rolloff–Tiefpass beschrieben werden.
  • Je größer a ist, desto kleiner ist der Rolloff–Faktor und um so steiler verläuft der Flankenabfall. Für die charakteristische Kabeldämpfung a = 40 dB ergibt sich r ≈ 0.4, für 80 dB ist r ≈ 0.18.
  • Oberhalb der Frequenz fNyq · (1 + r) besitzt HNyq(f) keine Anteile. Bei idealem Kanal – also für a = 0 dB – reicht HNyq(f) = si2fT) allerdings theoretisch bis ins Unendliche (grüne Kurve).
Optimaler Nyquistfrequenzgang

Mit dem folgenden Interaktionsmodul können Sie sich den Cosinus–Rolloff–Tiefpass im Frequenz– und Zeitbereich verdeutlichen:
Tiefpässe im Frequenz- und Zeitbereich

Berechnung der normierten Störleistung


Betrachten wir nun noch die (normierte) Störleistung am Entscheider. Für diese gilt:

\[\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_0/ (2T)} =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f .\]

Das linke Bild zeigt |HE(f)|2 im linearen Maßstab für die charakteristische Kabeldämpfung a = 80 dB.

Zur Berechnung der normierten Störleistung beim ONE

Beachten Sie, dass |HE(f = 0)| = 1 ist. Da die Frequenz auf 1/T normiert wurde, entspricht die normierte Störleistung genau der (rot hinterlegten) Fläche unter dieser Kurve. Die numerische Auswertung ergibt:

\[\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = 1.68 \cdot 10^7 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 \approx 72.25\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.\]

Es kann gezeigt werden, dass die normierte Störleistung auch mit dem Transversalfilter–Frequenzgang HTF(f) berechnet werden kann, wie in der rechten Grafik dargestellt:

\[\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f \hspace{0.3cm}(= k_0)\hspace{0.05cm}.\]

Die roten Flächen sind in beiden Bildern exakt gleich. Man erkennt auch, dass der mittlere Koeffizient k0 gleich der normierten Störleistung ist. In der zweiten Spalte der nachfolgenden Tabelle ist 10 · lg (k0) in Abhängigkeit der charakteristischen Kabeldämpfung angegeben. Aufgrund der gewählten Normierung gilt diese Tabelle auch für redundanzfreie Mehrstufensysteme; M bezeichnet hierbei die Stufenzahl.

Koeffizienten des optimalen Nyquistentzerrers

Die Koeffizienten k1, k2, k3, ... des Transversalfilters weisen für a ≠ 0 alternierende Vorzeichen auf. Für a = 40 dB sind vier Koeffizienten betragsmäßig größer als k0/10, für a = 80 dB sogar sieben.