Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung

Definition der Bitfehlerwahrscheinlichkeit

Die Grafik zeigt ein sehr einfaches, aber allgemeingültiges Modell eines binären Übertragungssystems.

Dieses lässt sich wie folgt charakterisieren:

Die Quelle und die Sinke werden durch die beiden Binärfolgen 〈q_ν〉 und 〈υ_ν〉 beschrieben.
Das gesamte Übertragungsystem – bestehend aus Sender, Übertragungskanal inklusive Störungen und Empfänger – wird als „Black Box” mit binärem Ein– und Ausgang betrachtet.
Dieser „Digitale Kanal” wird allein durch die Fehlerfolge 〈e_ν〉 charakterisiert. Bei fehlerfreier Übertragung des ν–ten Bits (υ_ν = q_ν) gilt e_ν = 0, andernfalls (υ_ν ≠ q_ν) wird e_ν = 1 gesetzt.

: Die (mittlere) Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist bei einem Binärsystem wie folgt gegeben:

\(\it p_{\rm B} = \rm E[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu})]= \overline {\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu})} = \lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm \rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu})\hspace{0.05cm}.\)

Diese statistische Größe ist das wichtigste Beurteilungskriterium eines jeden Digitalsystems.

Die Berechnung als Erwartungswert E[…..] gemäß dem ersten Teil der obigen Gleichung entspricht einer Scharmittelung über die Verfälschungswahrscheinlichkeit Pr(υ_ν ≠ q_ν) des ν–ten Symbols, während die überstreichende Linie im rechten Teil eine Zeitmittelung kennzeichnet. Beide Berechnungsarten führen – unter der gerechtfertigten Annahme ergodischer Prozesse – zum gleichen Ergebnis, wie im Kapitel 4 des Buches „Stochastische Signaltheorie” gezeigt wurde.

Auch aus der Fehlerfolge 〈e_ν〉 lässt sich die Bitfehlerwahrscheinlichkeit als Erwartungswert bestimmen, wobei zu berücksichtigen ist, dass e_ν nur die Werte 0 und 1 annehmen kann:\[\it p_{\rm B} = \rm E[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)]= {\rm E}[{\it e_{\nu}}]\hspace{0.05cm}.\] Die obige Definition der Bitfehlerwahrscheinlichkeit gilt unabhängig davon, ob es statistische Bindungen innerhalb der Fehlerfolge 〈e_ν〉 gibt oder nicht. Je nachdem ist der Aufwand zur Berechnung von p_B unterschiedlich groß und bei einer Systemsimulation müssen unterschiedliche digitale Kanalmodelle herangezogen werden. Im Kapitel 5 wird gezeigt, dass das sog. BSC–Modell (Binary Symmetrical Channel) statistisch unabhängige Fehler liefert, während für die Beschreibung von Bündelfehlerkanälen auf die Modelle von Gilbert–Elliott: .: Capacity of Burst–Noise Channel, In: Bell Syst. Techn. J. Vol. 39, 1960, pp. 1253–1266 and McCullough : The Binary Regenerative Channel, In: Bell Syst. Techn. J. (47), 1968 zurückgegriffen werden muss.