Blockweise Codierung mit 4B3T-Codes
Allgemeine Beschreibung von Blockcodes
Bei Blockcodierung wird jeweils eine Sequenz von mq binären Quellensymbolen (Mq = 2) durch einen Block von mc Codesymbolen mit dem Symbolumfang Mc dargestellt. Um eine jede Quellensymbolfolge in eine andere Codesymbolfolge umsetzen zu können, muss folgende Bedingung erfüllt sein:
\[M_c^{\hspace{0.1cm}m_c} \ge M_q^{\hspace{0.1cm}m_q}\hspace{0.05cm}.\]
Bei den redundanzfreien Codes entsprechend Kapitel 2.2 gilt in dieser Gleichung das Gleichheitszeichen, wenn Mq eine Zweierpotenz ist. Mit dem Größerzeichen ergibt sich ein redundantes Digitalsignal, wobei die relative Coderedundanz wie folgt berechnet werden kann:
\[r_c = 1- \frac{m_q \cdot {\rm log_2} (M_q)}{m_c \cdot {\rm log_2} (M_c)} > 0 \hspace{0.05cm}.\]
Der bekannteste Blockcode zur Übertragungscodierung ist der 4B3T–Code mit den Codeparametern
\[m_q = 4,\hspace{0.2cm}M_q = 2,\hspace{0.2cm}m_c = 3,\hspace{0.2cm}M_c = 3\hspace{0.05cm},\]
der bereits in den 1970–er Jahren entwickelt wurde und beispielsweise bei ISDN (Integrated Services Digital Networks) eingesetzt wird. Ein 4B3T–Code besitzt folgende Eigenschaften:
- Wegen mq · TB = mc · T ist die Symboldauer T des Codersignals um den Faktor 4/3 größer als die Bitdauer TB des binären Quellensignals. Daraus ergibt sich die günstige Eigenschaft, dass der Bandbreitenbedarf um ein Viertel geringer ist als bei redundanzfreier Binärübertragung.
- Die relative Redundanz kann mit obiger Gleichung berechnet werden und ergibt sich zu ca. 16%. Diese Redundanz wird beim 4B3T–Code dazu verwendet, um Gleichsignalfreiheit zu erzielen. Das 4B3T–codierte Signal kann somit ohne merkbare Beeinträchtigung auch über einen Kanal mit der Eigenschaft HK(f = 0) = 0 übertragen werden.
Die Umcodierung der 16 möglichen Binärblöcke in die entsprechenden Ternärblöcke könnte prinzipiell nach einer festen Codetabelle vorgenommen werden. Um die spektralen Eigenschaften dieser Codes weiter zu verbessern, werden bei den gebräuchlichen 4B3T–Codes, nämlich
- dem 4B3T–Code nach Jessop und Waters,
- dem MS43–Code (von: Monitored Sum 4B3T–Code),
- dem FoMoT–Code (von: Four Mode Ternary),
zwei oder mehrere Codetabellen verwendet, deren Auswahl von der laufenden digitalen Summe der Amplitudenkoeffizienten gesteuert wird. Das Prinzip wird auf der nächsten Seite erklärt.
Laufende digitale Summe
Nach der Übertragung von l codierten Blöcken gilt für die laufende digitalen Summe mit den ternären Amplitudenkoeffizienten aν ∈ {–1, 0, +1}:
\[{\it \Sigma}_l = \sum_{\nu = 1}^{3 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}\hspace{0.02cm} a_\nu \hspace{0.05cm}.\]
Die Auswahl der Tabelle zur Codierung des (l + 1)–ten Blocks erfolgt abhängig vom aktuellen Wert Σl.
In obiger Tabelle sind die Codierregeln für die drei oben genannten 4B3T–Codes angegeben. Zur Vereinfachung der Schreibweise steht „+” für den Amplitudenkoeffizienten „+1” und „–” für den Koeffizienten „–1”. Die Beschreibung folgt auf der nächsten Seite.
Die zwei Codetabellen des Jessop–Waters–Codes sind so gewählt, dass die laufende digitale Summe stets zwischen 0 und 5 liegt. Bei den beiden anderen Codes erreicht man durch drei bzw. vier alternative Tabellen die Beschränkung der laufenden digitalen Summe auf den Wertebereich 0 ≤ Σl ≤ 3.
AKF und LDS der 4B3T–Codes (1)
Die Vorgehensweise bei der Berechnung von AKF und LDS wird hier nur stichpunktartig skizziert:
- Der Übergang der laufenden digitalen Summe von Σl nach Σl+1 wird durch eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit sechs (Jessop–Waters) bzw. vier Zuständen (MS43, FoMoT) beschrieben – siehe Söder, G.; Tröndle, K.: Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme. Berlin – Heidelberg: Springer, 1985. Für den FoMoT–Code gilt folgendes Markovdiagramm:
- Die Werte an den Pfeilen kennzeichnen die Übergangswahrscheinlichkeiten Pr(Σl+1 | Σl), die sich aus den jeweiligen Codetabellen ergeben. Die Farben korrespondieren zu den Hinterlegungen der Tabelle auf der letzten Seite. Aufgrund der Symmetrie des FoMoT–Markovdiagramms sind die Wahrscheinlichkeiten Pr(Σl = 0) = ... = Pr(Σl = 3) alle gleich, nämlich 1/4.
- Die Autokorrelationsfunktion (AKF) φa(λ) = E[aν · aν+λ] der Amplitudenkoeffizienten kann aus diesem Diagramm ermittelt werden. Einfacher als diese analytische Berechnung, die eines sehr großen Rechenaufwands bedarf, ist die simulative Bestimmung der AKF–Werte mittels Computer.
- Durch Fouriertransformation der AKF kommt man zum Leistungsdichtespektrum (LDS) Φa(f) der Amplitudenkoeffizienten entsprechend der nachfolgendem Grafik aus Söder, G.; Tröndle, K.: Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme. Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.
- Die Bildbeschreibung folgt auf der nächsten Seite.
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