Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung: Unterschied zwischen den Versionen

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== Idealer Kanalentzerrer==
 
== Idealer Kanalentzerrer==
 
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Bei einem Übertragungssystem, dessen Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ starke Verzerrungen hervorruft, gehen wir von folgendem Blockschaltbild (obere Grafik) und äquivalentem Ersatzschaltbild (untere Grafik) aus.<br>
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Bei einem Übertragungssystem,&nbsp; dessen Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; starke Verzerrungen hervorruft,&nbsp; gehen wir von folgendem Blockschaltbild (obere Grafik)&nbsp; und folgendem äquivalenten Ersatzschaltbild&nbsp; (untere Grafik)&nbsp; aus:<br>
  
[[Datei:P ID1405 Dig T 3 3 S1 version1.png|center|frame|Block- und Ersatzschaltbild zur Berücksichtigung eines Kanalfrequenzgangs|class=fit]]<br>
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[[Datei:P ID1405 Dig T 3 3 S1 version1.png|right|frame|Block- und Ersatzschaltbild zur Berücksichtigung eines Kanalfrequenzgangs|class=fit]]
  
 
Zu diesen Darstellungen ist Folgendes anzumerken:
 
Zu diesen Darstellungen ist Folgendes anzumerken:
*Das Empfangsfilter $H_{\rm E}(f)$ wird &ndash; zumindest gedanklich &ndash; aus einem '''idealen Kanalentzerrer''' $1/H_{\rm K}(f)$ und einem Tiefpass $H_{\rm G}(f)$ zusammengesetzt. Hierfür verwenden wir in diesem Kapitel beispielhaft einen Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G}$.<br>
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*Das Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; wird &ndash; zumindest gedanklich &ndash; aus einem &nbsp;'''idealen Kanalentzerrer'''&nbsp; $1/H_{\rm K}(f)$&nbsp; und einem Tiefpass&nbsp; $H_{\rm G}(f)$&nbsp; zusammengesetzt.&nbsp; Für Letzteren verwenden wir in diesem Kapitel beispielhaft einen Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G}$.<br>
  
*Verschiebt man nun den idealen Entzerrer &ndash; wiederum rein gedanklich &ndash; auf die linke Seite der Rauschadditionsstelle, so ändert sich bezüglich dem S/N&ndash;Verhältnis an der Sinke und bezüglich der Fehlerwahrscheinlichkeit nichts gegenüber dem oben gezeichneten Blockschaltbild.<br>
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*Verschiebt man nun den idealen Entzerrer &ndash; wiederum rein gedanklich &ndash; auf die linke Seite der Rauschadditionsstelle,&nbsp; so ändert sich bezüglich dem S/N&ndash;Verhältnis an der Sinke und bezüglich der Fehlerwahrscheinlichkeit nichts gegenüber dem oben gezeichneten Blockschaltbild.<br>
  
*Aus dem unteren Ersatzschaltbild erkennt man, dass sich durch den Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ bezüglich des Detektionsnutzsignals $d_{\rm S}(t)$ &ndash; herrührend vom Sendesignal $s(t)$ &ndash; nichts ändert, wenn man diesen mit $1/H_{\rm K}(f)$ vollständig kompensiert. Das Nutzsignal hat somit die genau gleiche Form wie im Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen|Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen]] berechnet.<br>
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*Aus dem Ersatzschaltbild erkennt man,&nbsp; dass sich durch den Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; auch bezüglich des Detektionsnutzsignals &nbsp;$d_{\rm S}(t)$&nbsp; &ndash; herrührend vom Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; &ndash; nichts ändert,&nbsp; wenn man diesen mit &nbsp;$1/H_{\rm K}(f)$&nbsp; vollständig kompensiert.  
  
*Die Degradation durch den Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ zeigt sich vielmehr durch eine signifikante Erhöhung der Detektionsstörleistung, also der Varianz des Signals $d_{\rm N}(t)$ &ndash; herrührend vom Störsignal $n(t)$:
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*Das Nutzsignal hat somit die genau gleiche Form wie im früheren Kapitel &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen|"Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen"]]&nbsp; berechnet.<br>
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*Die Degradation durch den Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; zeigt sich vielmehr durch eine signifikante Erhöhung der Detektionsstörleistung,&nbsp; also der Varianz des Signals &nbsp;$d_{\rm N}(t)$&nbsp; &ndash; herrührend vom Störsignal &nbsp;$n(t)$:
 
:$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}
 
:$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}
 
|H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0}{2} \cdot
 
|H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0}{2} \cdot
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|H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$
 
|H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$
  
*Voraussetzung für eine endliche Störleistung $\sigma_d^2$ ist, dass der Tiefpass $H_{\rm G}(f)$ das Rauschen $n(t)$ bei (sehr) hohen Frequenzen stärker abschwächt, als es vom idealen Entzerrer $1/H_{\rm K}(f)$ angehoben wird.<br><br>
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*Voraussetzung für eine endliche Störleistung &nbsp;$\sigma_d^2$&nbsp; ist allerdings,&nbsp; dass der Tiefpass &nbsp;$H_{\rm G}(f)$&nbsp; das Rauschen &nbsp;$n(t)$&nbsp; bei&nbsp; (sehr)&nbsp; hohen Frequenzen stärker abschwächt,&nbsp; als es vom idealen Entzerrer &nbsp;$1/H_{\rm K}(f)$&nbsp; angehoben wird.<br><br>
  
<i>Anmerkung</i>: Der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ muss nach Betrag und Phase entzerrt werden, allerdings nur in einem von $H_{\rm G}(f)$ vorgegebenen eingeschränkten Frequenzbereich. Eine vollständige Phasenentzerrung ist aber nur auf Kosten einer (frequenzunabhängigen) Laufzeit möglich, die im Folgenden nicht weiter berücksichtigt wird.<br>
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<u>Anmerkung</u>: &nbsp; Der Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; muss nach Betrag und Phase entzerrt werden,&nbsp; aber nur in einem von &nbsp;$H_{\rm G}(f)$&nbsp; vorgegebenen eingeschränkten Frequenzbereich.&nbsp; Eine vollständige Phasenentzerrung ist nur auf Kosten einer&nbsp; (frequenzunabhängigen)&nbsp; Laufzeit möglich,&nbsp; die im Folgenden nicht weiter berücksichtigt wird.
  
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{{GraueBox|TEXT= 
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$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir betrachten wieder ein Binärsystem mit NRZ&ndash;Rechteckimpulsen und gaußförmigem Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)$&nbsp; mit der (normierten) Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G, opt} \cdot T = 0.4$.&nbsp; Aufgrund dieses ungünstigen Empfangsfilters&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; kommt es bei allen hier dargestellten Varianten zu Impulsinterferenzen&nbsp; $\rm (ISI)$. 
  
{{GraueBox|TEXT= 
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*Die mittlere Grafik zeigt für diesen Fall das Augendiagramm des Detektionsnutzsignals &nbsp;$d_{\rm S}(t)$&nbsp; &ndash; also ohne Berücksichtigung des Rauschens.
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir betrachten wieder ein Binärsystem mit NRZ&ndash;Rechteckimpulsen und gaußförmigem Empfangsfilter $H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)$ mit der (normierten) Grenzfrequenz $f_\text{G, opt} \cdot T = 0.4$. Die mittlere Grafik zeigt für diesen Fall das Augendiagramm des Detektionsnutzsignals $d_{\rm S}(t)$ &ndash; also ohne Berücksichtigung des Rauschens. Dieses ist identisch mit dem im Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Ber%C3%BCcksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms| Definition und Aussagen des Augendiagramms]] im Beispiel 3, rechte Grafik dargestellten Augendiagramm.<br>
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*Dieses ist identisch mit dem im Kapitel &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Ber%C3%BCcksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms|"Definition und Aussagen des Augendiagramms"]]&nbsp; im $\text{Beispiel 3}$&nbsp; (rechte Grafik)&nbsp; dargestellten Augendiagramm.<br>
  
Das linke Augendiagramm ergibt sich bei idealem Kanal, also für $H_{\rm K}(f) = 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $1/H_{\rm K}(f) = 1$. Es berücksichtigt das AWGN&ndash;Rauschen, das aber hier mit $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 30 \ \rm dB$ als sehr klein angenommen wurde. Für diese Konfiguration wurde per Simulation ermittelt:
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[[Datei:P ID1397 Dig T 3 3 S1b version1.png|right|frame|Binäre  Augendiagramme mit Impulsinterferenzen|class=fit]]
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&rArr; &nbsp; Das linke Augendiagramm ergibt sich bei idealem Kanal,&nbsp; also für&nbsp;
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:$$H_{\rm K}(f) = 1 \ \ &rArr; \ \ 1/H_{\rm K}(f) = 1.$$
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Es berücksichtigt das AWGN&ndash;Rauschen,&nbsp; das aber hier mit &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 30 \ \rm dB$&nbsp; als sehr klein angenommen wurde.&nbsp; Für diese Konfiguration wurde per Simulation ermittelt:
 
:$$10 \cdot {\rm
 
:$$10 \cdot {\rm
 
lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 26.8\,{\rm dB}
 
lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 26.8\,{\rm dB}
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10^{-40}\hspace{0.05cm}.$$
 
10^{-40}\hspace{0.05cm}.$$
  
Dagegen gilt das rechte Diagramm für ein [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels| Koaxialkabel]], wobei die charakteristische Kabeldämpfung $a_\star = 40 \ \rm dB$ beträgt. Hierfür ergeben sich bei gleichem $E_{\rm B}/N_0$ deutlich ungünstigere Systemgrößen:
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&rArr; &nbsp; Das rechte Diagramm gilt für ein &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels| Koaxialkabel]],&nbsp;  wobei die charakteristische Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star = 40 \ \rm dB$&nbsp; beträgt.&nbsp; Hier sind die Ergebnisse bei gleichem &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; deutlich ungünstiger:
 
:$$10 \cdot {\rm
 
:$$10 \cdot {\rm
 
lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx -4.6\,{\rm dB}
 
lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx -4.6\,{\rm dB}
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx
 
0.28\hspace{0.05cm}.$$
 
0.28\hspace{0.05cm}.$$
 
[[Datei:P ID1397 Dig T 3 3 S1b version1.png|center|frame|Binäre  Augendiagramme mit Impulsinterferenzen|class=fit]]
 
  
 
Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:
 
Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:
*Unter der Voraussetzung eines idealen Kanalentzerrers $1/H_{\rm K}(f)$ ergibt sich auch beim verzerrenden Kanal das gleiche  &bdquo;Augendiagramm ohne Rauschen&rdquo; wie beim idealen Kanal $H_{\rm K}(f) = 1$ (siehe mittlere Grafik).<br>
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*Unter der Voraussetzung eines idealen Kanalentzerrers &nbsp;$1/H_{\rm K}(f)$&nbsp; ergibt sich auch beim verzerrenden Kanal das gleiche&nbsp; &bdquo;Augendiagramm ohne Rauschen&rdquo;&nbsp; (linke Grafik)&nbsp; wie beim idealen Kanal &nbsp;$H_{\rm K}(f) = 1$&nbsp; (mittlere Grafik).<br>
  
*Durch die Kanalentzerrung $1/H_{\rm K}(f)$ wird der Rauschanteil extrem verstärkt. Im rechten Beispiel ist wegen der starken Verzerrung eine eine ebenso starke  Entzerrung über einen weiten Frequenzbereich erforderlich. Die Rauschleistung $\sigma_d^2$ ist um den Faktor $1300$ größer als bei der linken Konstellation (keine Verzerrung &nbsp;&#8658;&nbsp; keine Entzerrung). Damit ergibt sich die Fehlerwahrscheinlichkeit zu $p_{\rm S}\approx p_{\rm U}\approx 50 \%$.<br>
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*Durch die Kanalentzerrung &nbsp;$1/H_{\rm K}(f)$&nbsp; wird der Rauschanteil extrem verstärkt. Im rechten Beispiel ist wegen der starken Verzerrung eine ebenso starke  Entzerrung über einen weiten Frequenzbereich erforderlich.
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*Die Rauschleistung &nbsp;$\sigma_d^2$&nbsp; ist hier um den Faktor &nbsp;$1300$&nbsp; größer als bei der linken Konstellation&nbsp; $($keine Verzerrung &nbsp; &#8658; &nbsp; keine Entzerrung$)$.&nbsp; Damit ergibt sich die Fehlerwahrscheinlichkeit zu &nbsp;$p_{\rm S}\approx p_{\rm U}\approx 50 \%$.<br>
  
*Eine akzeptable Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich nur bei kleinerer Rauschleistungsdichte $N_0$. Beispielsweise erhält man mit mit $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 50 \ \rm dB$ (statt $30 \ \rm dB$) folgendes Ergebnis:
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*Eine akzeptable worst-case-Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich nur bei kleinerer Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$.&nbsp; Beispielsweise erhält man mit mit &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 50 \ \rm dB$&nbsp; $($statt $30 \ \rm dB)$&nbsp; das folgende Ergebnis:
 
:$$10 \cdot {\rm
 
:$$10 \cdot {\rm
 
lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = -4.6 +20 \approx 15.4\,{\rm dB}
 
lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = -4.6 +20 \approx 15.4\,{\rm dB}
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== Erhöhung der Rauschleistung durch lineare Entzerrung==
 
== Erhöhung der Rauschleistung durch lineare Entzerrung==
 
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Die Augendiagramme auf der letzten Seite dokumentieren eindrucksvoll die Erhöhung der Rauschleistung $\sigma_d^2$ bei unveränderter vertikaler Augenöffnung, wenn man den Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ empfangsseitig durch dessen Inverse kompensiert. Dieses Ergebnis soll nun anhand der Rauschleistungsdichte $\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) nach dem Empfangsfilter (vor dem Entscheider) interpretiert werden, wobei folgende Einstellungen gelten:
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Die Augendiagramme auf der letzten Seite dokumentieren eindrucksvoll die Erhöhung der Rauschleistung &nbsp;$\sigma_d^2$&nbsp; bei unveränderter vertikaler Augenöffnung,&nbsp; wenn man den Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; empfangsseitig durch dessen Inverse kompensiert.&nbsp; Dieses Ergebnis soll nun anhand der Rauschleistungsdichte &nbsp;${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f)$&nbsp; nach dem Empfangsfilter&nbsp; (vor dem Entscheider)&nbsp; interpretiert werden,&nbsp; wobei folgende Einstellungen gelten:
*Der Kanal sei ein [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels| Koaxialkabel]] mit dem Betragsfrequenzgang
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*Der Kanal sei ein &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels| Koaxialkabel]]&nbsp; mit dem Betragsfrequenzgang
 
:$$|H_{\rm K}(f)| = {\rm exp}\left [- a_{\star}\cdot \sqrt{2  f
 
:$$|H_{\rm K}(f)| = {\rm exp}\left [- a_{\star}\cdot \sqrt{2  f
 
  T}\hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm} a_{\star}
 
  T}\hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm} a_{\star}
 
= 1.7\,\,{\rm Np}\hspace{0.2cm} ({\rm entsprechend} \hspace{0.2cm}
 
= 1.7\,\,{\rm Np}\hspace{0.2cm} ({\rm entsprechend} \hspace{0.2cm}
 
15\,\,{\rm dB}) \hspace{0.05cm}.$$
 
15\,\,{\rm dB}) \hspace{0.05cm}.$$
*Der [[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung#Idealer_Kanalentzerrer|ideale Kanalentzerrer]] $1/H_{\rm K}(f)$ kompensiert den Kanalfrequenzgang vollständig. Über die Realisierung der Dämpfungs&ndash; und Phasenentzerrung wird hier keine Aussage getroffen.<br>
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[[Datei:P ID1399 Dig T 3 3 S2 version1.png|right|frame|Rauschüberhöhung durch verzerrenden Kanal. &nbsp; &nbsp; Beachten Sie: Aus Darstellungsgründen ist hier die charakteristische Kabeldämpfung mit &nbsp;$a_\star = 15 \ \rm dB$&nbsp; &nbsp;$($entsprechend &nbsp;$1.7 \ \rm Np)$&nbsp; deutlich kleiner gewählt ist beim  rechten Augendiagramm im &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung#Idealer_Kanalentzerrer| Beispiel 1]]&nbsp; auf der letzten Seite &nbsp;$($gültig für &nbsp;$a_\star = 40 \ \rm dB)$.|class=fit]]
*Zur Rauschleistungsbegrenzung wird ein [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]] eingesetzt:
+
 
:$$|H_{\rm G}(f)| = {\rm exp}\left [- \pi \cdot \left (\frac{f }{2 f_{\rm G}}\right )^2  \right ]\hspace{0.2cm}{\rm
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*Der &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung#Idealer_Kanalentzerrer|ideale Kanalentzerrer]]&nbsp; $1/H_{\rm K}(f)$&nbsp; kompensiert den Kanalfrequenzgang vollständig. Über die Realisierung der Dämpfungs&ndash; und Phasenentzerrung wird hier keine Aussage getroffen.<br>
mit}\hspace{0.2cm} f_{\rm G} = 0.8/T \hspace{0.2cm} {\rm
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bzw.} \hspace{0.2cm} f_{\rm G} = 0.4/T \hspace{0.05cm}.$$
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*Zur Rauschleistungsbegrenzung wird ein &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]]&nbsp; eingesetzt:
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:$$|H_{\rm G}(f)| = {\rm exp}\left [- \pi \cdot \left (\frac{f }{2 f_{\rm G}}\right )^2  \right ] \hspace{0.05cm}.$$
  
 
Damit gilt für die Rauschleistungsdichte vor dem Entscheider:
 
Damit gilt für die Rauschleistungsdichte vor dem Entscheider:
:$$\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = \frac{N_0}{2} \cdot \frac{|H_{\rm G
+
:$${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = \frac{N_0}{2} \cdot \frac{|H_{\rm G
}(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2} = \frac{N_0}{2} \cdot {\rm exp}\left [2 \cdot  
+
}(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2} $$
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:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi}_{d{\rm N}}(f)  = \frac{N_0}{2} \cdot {\rm exp}\left [2 \cdot  
 
a_{\star}\cdot \sqrt{2  f  T} - {\pi}/{2} \cdot \left ({f }/{f_{\rm G}}\right )^2 \right ] \hspace{0.05cm}.$$
 
a_{\star}\cdot \sqrt{2  f  T} - {\pi}/{2} \cdot \left ({f }/{f_{\rm G}}\right )^2 \right ] \hspace{0.05cm}.$$
  
Dieser Verlauf ist nachfolgend für die beiden (normierten) Grenzfrequenzen $f_\text{G} \cdot T = 0.8$ (links) bzw. $f_\text{G} \cdot T = 0.4$ (rechts) dargestellt. Beachten Sie, dass hier aus Darstellungsgründen die charakteristische Kabeldämpfung mit $a_\star = 15 \ \rm dB$ (entsprechend $1.7 \ \rm Np$) deutlich kleiner gewählt ist als beim [[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung#Idealer_Kanalentzerrer| rechten Augendiagramm]] auf der letzten Seite (gültig für $a_\star = 40 \ \rm dB$).<br>
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Dieser Verlauf ist hier dargestellt für die&nbsp; (normierten)&nbsp; Grenzfrequenzen  
 +
*$f_\text{G} \cdot T = 0.8$&nbsp; (links)&nbsp; bzw.  
 +
*$f_\text{G} \cdot T = 0.4$&nbsp; (rechts)  
  
[[Datei:P ID1399 Dig T 3 3 S2 version1.png|center|frame|Rauschüberhöhung durch verzerrenden Kanal|class=fit]]
 
  
Betrachten wir zunächst die linke Grafik für die (normierte) Grenzfrequenz <i>f</i><sub>G</sub> &middot; <i>T</i> = 0.8, die nach den Berechnungen im [http://www.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Ber%C3%BCcksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Optimierung_der_Grenzfrequenz_.281.29 Kapitel 3.2] für <i>H</i><sub>K</sub>(<i>f</i>) = 1 das Optimum darstellt.
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Betrachten wir zunächst die linke Grafik für die&nbsp; (normierte)&nbsp; Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G} \cdot T = 0.8$,&nbsp; die nach den Berechnungen im &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Ber%C3%BCcksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Optimierung_der_Grenzfrequenz|letzten Kapitel]]&nbsp; für den idealen Kanal &nbsp; &rArr; &nbsp; $H_{\rm K}(f) = 1$&nbsp; das Optimum darstellt.
*Gelb hinterlegt ist die konstante Rauschleistungsdichte <i>N</i><sub>0</sub>/2 am Empfängereingang. Bei idealem Kanal wird diese durch den Gaußtiefpass begrenzt und ergibt die Detektionsrauschleistung <i>&sigma;<sub>d</sub></i><sup>2</sup> (in der Grafik durch die blaue Fläche gekennzeichnet).<br>
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#Gelb hinterlegt ist die konstante Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0/2$&nbsp;  am Empfängereingang.&nbsp; Bei idealem Kanal wird diese durch das gaußförmige Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)$&nbsp; begrenzt und ergibt die Detektionsrauschleistung &nbsp;$\sigma_d^2$&nbsp; (in der Grafik durch die blaue Fläche gekennzeichnet).<br><br>
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#Werden &ndash; wie bei leitungsgebundener Übertragung üblich &ndash; höhere Frequenzen stark gedämpft,&nbsp; so steigt &nbsp;$|H_{\rm E}(f)| = |H_{\rm G}(f)|/|H_{\rm K}(f)|$&nbsp; aufgrund des idealen Kanalentzerrers sehr stark an,&nbsp; bevor für &nbsp;$f \cdot T \ge 0.6$&nbsp; $($nur gültig für &nbsp;$a_\star = 15 \ \rm dB$&nbsp; und &nbsp;$f_\text{G} \cdot T = 0.8)$&nbsp; der dämpfende Einfluss des Gaußfilters wirksam wird.<br><br>
 +
#Die Rauschleistung &nbsp;$\sigma_d^2$&nbsp; ist nun gleich der Fläche unter der roten Kurve, die etwa um den Faktor &nbsp;$28$&nbsp; größer ist als die blaue Fläche.&nbsp; Die Auswirkungen dieser unterschiedlichen Rauschleistungen erkennt man auch in den Augendiagrammen auf der letzten Seite,&nbsp; allerdings für &nbsp;$a_\star = 40 \ \rm dB$.<br><br>
  
*Werden &ndash; wie bei leitungsgebundener Übertragung üblich &ndash; höhere Frequenzen stark gedämpft, so steigt |<i>H</i><sub>E</sub>(<i>f</i>)|<sup>2</sup> aufgrund des idealen Kanalentzerrers sehr stark an, bevor für <i>f</i> &middot; <i>T</i> &#8805; 0.6 (nur gültig für <i>a</i><sub>&#8727;</sub> = 15 dB und <i>f</i><sub>G</sub> &middot; <i>T</i> = 0.8) der dämpfende Einfluss des Gaußfilters wirksam wird.<br>
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Die rechte Grafik zeigt die Rauschleistungsdichte &nbsp;${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f)$&nbsp; für die normierte Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G} \cdot T = 0.4$.&nbsp; Hier wird die Rauschleistung durch den idealen Kanalentzerrer nur noch um den Faktor &nbsp;$9$&nbsp; vergrößert&nbsp; (Verhältnis zwischen der Fläche unter der roten Kurve  und der blauen Fläche).<br>
  
*Die Rauschleistung <i>&sigma;<sub>d</sub></i><sup>2</sup> ist nun gleich der Fläche unter der roten Kurve, die etwa um den Faktor 28 größer ist als die blaue Fläche. Die Auswirkungen dieser unterschiedlichen Rauschleistungen erkennt man auch in den Augendiagrammen auf der letzten Seite, allerdings für <i>a</i><sub>&#8727;</sub> = 40 dB.<br><br>
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{{BlaueBox|TEXT= 
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$\text{Fazit:}$&nbsp; Aus obiger Grafik und den bisherigen Erläuterungen geht bereits hervor,&nbsp; dass bei verzerrendem Kanal &nbsp; &#8658; &nbsp; $H_{\rm K}(f) \ne 1$ die Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G} \cdot T = 0.8$&nbsp; des Gaußtiefpasses&nbsp;  $H_{\rm G}(f)$&nbsp; nach dem idealen Kanalentzerrer &nbsp;$1/H_{\rm K}(f)$&nbsp; nicht mehr optimal sein wird.}}<br>
  
Die rechte Grafik zeigt die Rauschleistungsdichte <i>&Phi;</i><sub><i>d</i>N</sub>(<i>f</i>) für die normierte Grenzfrequenz <i>f</i><sub>G</sub> &middot; <i>T</i> = 0.4. Hier wird die Rauschleistung durch den idealen Kanalentzerrer nur noch um den Faktor 9 vergrößert (Verhältnis zwischen der Fläche unter der roten Kurve  und der blauen Fläche).<br>
 
  
Aus obiger Grafik und den bisherigen Erläuterungen geht bereits hervor, dass bei verzerrendem Kanal &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>H</i><sub>K</sub>(<i>f</i>) &ne; 1 die Grenzfrequenz <i>f</i><sub>G</sub> &middot; <i>T</i> = 0.8 nicht mehr optimal sein wird.<br>
+
== Optimierung der Grenzfrequenz==
 
 
== Optimierung der Grenzfrequenz (1) ==
 
 
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Die Grafik zeigt die Störabstände 10 &middot; lg <i>&rho;<sub>d</sub></i> (als Maß für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit <i>p</i><sub>S</sub>) sowie 10 &middot; lg <i>&rho;</i><sub>U</sub> (als Maß für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit <i>p</i><sub>U</sub>) in Abhängigkeit der Grenzfrequenz <i>f</i><sub>G</sub> des gaußförmigen Gesamtfrequenzgangs <i>H</i><sub>G</sub>(<i>f</i>) = <i>H</i><sub>K</sub>(<i>f</i>) &middot; <i>H</i><sub>E</sub>(<i>f</i>). Dieses Bild gilt für
+
Die Grafik zeigt die Störabstände in Abhängigkeit der Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G}$&nbsp; des gaußförmigen Gesamtfrequenzgangs &nbsp;$H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$.&nbsp; Dieses Bild gilt für
*einen koaxialen Übertragungskanal mit der charakteristischen Kabeldämpfung <i>a</i><sub>&#8727;</sub> = 15 dB,<br>
+
[[Datei:P ID1401 Dig T 3 3 S3a version1.png|right|frame|Optimale Grenzfrequenz des GTP bei verzerrendem Kanal &nbsp;$(a_\star = 15 \ \rm dB).$<br>
 +
&rArr; &nbsp; Die Kreise zeigen die dB&ndash;Werte für  &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_d$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;mittleres&rdquo; Detektions&ndash;SNR  $($Maß für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm S})$.<br>
 +
&rArr; &nbsp; Die Quadrate  zeigen die dB&ndash;Werte für  &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;ungünstigstes&rdquo; SNR  &nbsp;$($Maß für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm U})$.|class=fit]]
 +
*einen &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels| koaxialen Übertragungskanal]]&nbsp; mit der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star = 15 \ \rm dB$,<br>
  
*AWGN&ndash;Rauschen mit 10 &middot; lg <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 27 dB, wobei <i>E</i><sub>B</sub> = <i>s</i><sub>0</sub><sup>2</sup> &middot; <i>T</i> zu setzen ist.<br><br>
+
*AWGN&ndash;Rauschen mit &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$, wobei &nbsp;$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$&nbsp; zu setzen ist &nbsp; &rArr; &nbsp; NRZ&ndash;Rechteckimpulse.<br><br>
  
[[Datei:P ID1401 Dig T 3 3 S3a version1.png|center|frame|Optimale Grenzfrequenz des GTP bei verzerrendem Kanal|class=fit]]<br>
+
Man erkennt aus dieser Darstellung und durch Vergleich mit der &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Optimierung_der_Grenzfrequenz|entsprechenden Grafik]]&nbsp; im letzten Kapitel,&nbsp; die für &nbsp;$H_{\rm K}(f) = 1$&nbsp; und &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 13 \ \rm dB$&nbsp; gegolten hat:
 +
*Auch bei stark verzerrendem Kanal ist  &nbsp;$\rho_{\rm U}$&nbsp; eine geeignete untere Schranke für &nbsp;$\rho_{d} \ge \rho_{\rm U}$. Entsprechend ist auch &nbsp;$p_{\rm U} \ge p_{\rm S} $&nbsp; eine sinnvolle obere Schranke für &nbsp;$p_{\rm S}$.
  
Man erkennt aus dieser Darstellung und durch Vergleich mit der entsprechenden Grafik in Kapitel 3.2, die für <i>H</i><sub>K</sub>(<i>f</i>) = 1 und 10 &middot; lg <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 13 dB gegolten hat:
+
*Bei der betrachteten Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star = 15 \ \rm dB$&nbsp; ist die Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G} \cdot T \approx 0.55$&nbsp; optimal und es gilt &nbsp;$\ddot{o}/s_0 \approx 1.327$&nbsp; sowie &nbsp;$\sigma_d/s_0 \approx 0.106$.&nbsp; Daraus ergeben sich der <br> &nbsp; &nbsp; ungünstigste Störabstand  &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} \approx \ \rm 15.9 \ dB$&nbsp; und <br> &nbsp; &nbsp; die  Worst&ndash;Case&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm U} \approx  2 \cdot  10^{-9}.$<br>
*Auch bei stark verzerrendem Kanal ist <i>&rho;</i><sub>U</sub> eine geeignete untere Schranke für <i>&rho;<sub>d</sub></i> (das heißt, es ist stets <i>&rho;<sub>d</sub></i> &#8805; <i>&rho;</i><sub>U</sub>) und dementsprechend <i>p</i><sub>U</sub> eine sinnvolle obere Schranke für <i>p</i><sub>S</sub>  &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <i>p</i><sub>U</sub> &#8805; <i>p</i><sub>S</sub>.
 
  
*Bei der hier betrachteten Kabeldämpfung <i>a</i><sub>&#8727;</sub> = 15 dB ist die Grenzfrequenz <i>f</i><sub>G</sub> &middot; <i>T</i> = 0.55 in etwa optimal und es gilt <i>ö</i>(<i>T</i><sub>D</sub>)/<i>s</i><sub>0</sub> &asymp; 1.327 sowie <i>&sigma;<sub>d</sub></i>/<i>s</i><sub>0</sub> &asymp; 0.106. Daraus ergeben sich der (ungünstigste) Störabstand 10 &middot; lg <i>&rho;</i><sub>U</sub> &asymp; 15.9 dB und die  worst&ndash;case&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit <i>p</i><sub>U</sub> &asymp; 2 &middot; 10<sup>&ndash;9</sup>.<br>
+
*Eine kleinere Grenzfrequenz hätte eine deutlich kleinere Augenöffnung zur Folge, ohne dass dadurch auch &nbsp;$\sigma_d$&nbsp; gleichermaßen verkleinert würde.&nbsp; Für &nbsp;$f_\text{G} \cdot T = 0.4$&nbsp; gilt:
 
+
:$$\ddot{o}/s_0 \approx 0.735,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.072\hspace{0.3cm}\Rightarrow
*Eine kleinere Grenzfrequenz würde zu einer deutlich kleineren Augenöffnung führen, ohne dass dadurch auch <i>&sigma;<sub>d</sub></i> gleichermaßen verkleinert wird. Beispielsweise gilt mit <i>f</i><sub>G</sub> &middot; <i>T</i> = 0.4:
 
 
 
::<math>\ddot{o}/s_0 \approx 0.735,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.072\hspace{0.3cm}\Rightarrow
 
 
\hspace{0.3cm}  10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx
 
\hspace{0.3cm}  10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx
 
14.1\,{\rm dB}
 
14.1\,{\rm dB}
 
  \hspace{0.3cm}\Rightarrow
 
  \hspace{0.3cm}\Rightarrow
\hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.8 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.</math>
+
\hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.8 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$
  
*Ist die Grenzfrequenz <i>f</i><sub>G</sub> zu groß, so wird das Rauschen weniger effektiv begrenzt. Beispielsweise lauten die Werte für die Grenzfrequenz  <i>f</i><sub>G</sub> &middot; <i>T</i> = 0.8:
+
*Ist die Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G}$&nbsp; zu groß,&nbsp; so wird das Rauschen weniger effektiv begrenzt.&nbsp; Beispielsweise lauten die Werte für die Grenzfrequenz  &nbsp;$f_\text{G} \cdot T =0.8$:
 
+
:$$\ddot{o}/s_0 \approx 1.819,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.178\hspace{0.3cm}\Rightarrow
::<math>\ddot{o}/s_0 \approx 1.819,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.178\hspace{0.3cm}\Rightarrow
 
 
\hspace{0.3cm}  10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx
 
\hspace{0.3cm}  10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx
 
14.2\,{\rm dB}
 
14.2\,{\rm dB}
 
  \hspace{0.3cm}\Rightarrow
 
  \hspace{0.3cm}\Rightarrow
\hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.7 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.</math>
+
\hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.7 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$
  
*Das Optimum mit 10 &middot; lg <i>&rho;<sub>d</sub></i> &asymp; 16.2 dB und 10 &middot; lg <i>&rho;</i><sub>U</sub> &asymp; 15.9 dB ist deutlich ausgeprägter als bei idealem Kanal. Bei einem Vergleich der Störabstände ist allerdings zu berücksichtigen, dass hier 10 &middot; lg <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 27 dB zugrunde liegt; im Kapitel 3.2 wurde stets von 13 dB ausgegangen.<br>
+
*Die optimalen Werte sind mit &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{d} \approx 16.2 \ \rm dB$&nbsp; und &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} \approx \ \rm 15.9 dB$&nbsp; deutlich ausgeprägter als bei idealem Kanal.  
  
== Optimierung der Grenzfrequenz (2) ==
 
<br>
 
Die optimale Grenzfrequenz <i>f</i><sub>G,&nbsp;opt</sub> hängt signifikant von der Stärke der Verzerrungen des Koaxialkabels ab, wie aus der folgenden Grafik hervorgeht (blaue Kreise mit gelber Füllung, linke Achsenbeschriftung). Genauer gesagt: ausschließlich von der charakteristischen Kabeldämpfung <i>a</i><sub>&#8727;</sub> bei der halben Bitrate.<br>
 
  
[[Datei:P ID1403 Dig T 3 3 S3b version1.png|Optimale GTP-Grenzfrequenz und Systemwirkungsgrad bei verzerrendem Kanal|class=fit|center]]<br>
+
Bei einem Vergleich der Störabstände ist allerdings zu berücksichtigen, dass hier &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$&nbsp; zugrunde liegt;&nbsp; in der &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Optimierung_der_Grenzfrequenz|entsprechenden Grafik]]&nbsp; für den idealen Kanal wurde dagegen  von &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 13 \ \rm dB$&nbsp; ausgegangen.<br>
  
Man erkennt aus dieser Darstellung:
+
== Optimale Grenzfrequenz in Abhängigkeit der Kabeldämpfung==
*Je größer die charakteristische Kabeldämpfung <i>a</i><sub>&#8727;</sub> ist und damit auch der Einfluss des Rauschens,  um so niedriger ist die optimale Grenzfrequenz <i>f</i><sub>G,opt</sub>.<br>
+
<br>
 
+
Wir betrachten weiter
*Allerdings ist <i>f</i><sub>G,&nbsp;opt</sub> stets größer als 0.27/<i>T</i>. Andernfalls würde sich ein geschlossenes Auge ergeben, gleichbedeutend mit der  &bdquo;Worst&ndash;case&rdquo;&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit <i>p</i><sub>U</sub> = 0.5.<br><br>
+
*ein Binärsystem mit NRZ&ndash;Sendeimpulsen &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$,<br>
 
+
*ein Koaxialkabel&nbsp; $H_{\rm K}(f)$,&nbsp; charakteristische Dämpfung &nbsp;$a_\star$,<br>
Mit roten Rechtecken ist in der Grafik der Systemwirkungsgrad
+
*einen Gauß&ndash;Gesamtfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$.
 
 
:<math>\eta = \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}
 
A}}}= \frac{\rho_d}{2 \cdot s_0^2 \cdot T /N_0}</math>
 
 
 
als Funktion der charakteristischen Kabeldämpfung <i>a</i><sub>&#8727;</sub> dargestellt. <i>&eta;</i> gibt das Verhältnis des mit der betrachteten Konfiguration erreichbaren SNR <i>&rho;<sub>d</sub></i> zum maximal möglichen S/N-Verhältnis an, wobei als Nebenbedingung der Optimierung von [http://www.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimierung_der_Basisband%C3%BCbertragungssysteme#Systemoptimierung_bei_Spitzenwertbegrenzung_.281.29 Spitzenwertbegrenzung] ausgegangen wird (<i>Anmerkung:</i> In Kapitel 1.4 wurde dieser Systemwirkungsgrad mit <i>&eta;</i><sub>A</sub> bezeichnet).<br>
 
  
Wegen der NRZ&ndash;Sendeimpulse gilt <i>E</i><sub>B</sub> = <i>s</i><sub>0</sub><sup>2</sup> &middot; <i>T</i>. Ersetzt man <i>p</i><sub>S</sub> durch <i>p</i><sub>U</sub> und damit <i>&rho;<sub>d</sub></i> durch <i>&rho;</i><sub>U</sub>, so lautet obige Gleichung:
 
  
:<math>\eta \approx \frac{\rho_{\rm U}}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.</math>
+
Die blauen Kreise&nbsp; (linke Achsenbeschriftung)&nbsp; markieren die optimale Grenzfrequenzen &nbsp;$f_\text{G, opt}$&nbsp; für die jeweilige Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star$.  
  
Die Diskussion des Kurvenverlaufs <i>&eta;</i> = <i>&eta;</i>(<i>a</i><sub>&#8727;</sub>) folgt auf der nächsten Seite.<br>
+
Zusätzlich  ist in der Grafik mit roten Quadraten  der &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Systemoptimierung_bei_Spitzenwertbegrenzung|Systemwirkungsgrad]]&nbsp; (bei Spitzenwertbegrenzung) &nbsp;$\eta$&nbsp; dargestellt, der das Verhältnis des mit der betrachteten Konfiguration erreichbaren SNR &nbsp;$\rho_{d}$&nbsp; zum maximal möglichen S/N-Verhältnis &nbsp;$\rho_{d, \ {\rm max}}$&nbsp; angibt.  
  
== Systemvergleich mittels Systemwirkungsgrad ==
+
[[Datei:Dig_T_3_3_S3b_version2.png|right|frame|Optimale Grenzfrequenz und Systemwirkungsgrad in Abhängigkeit der charakteristischen Kabeldämpfung. Insbesondere gilt:    <br>$\hspace{0.8cm} 10 &middot; \lg \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 0 \ \rm dB) =  -1.4 \ dB;$  &nbsp; $\hspace{0.8cm} 10 &middot; \lg \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 80 \ \rm dB) = -78.2 \ dB;$|class=fit|center]]
<br>
+
Ersetzt man &nbsp;$\rho_d$&nbsp; durch &nbsp;$\rho_{\rm U}$, also  &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; durch &nbsp;$p_{\rm U}$, so kann der Systemwirkungsgrad wie folgt dargestellt werden:
Die roten Rechtecke geben den Systemwirkungsgrad
+
:$$\eta = \eta_{\rm A}=\frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}
 +
A}}}= \frac{\rho_d}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\approx \frac{\rho_{\rm U}}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}.$$
 +
 +
Man erkennt aus der Anordnung der blauen Kreise:
 +
*Die optimale Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G, opt}$&nbsp; hängt signifikant von der Stärke der Verzerrungen des Koaxialkabels ab,&nbsp; genauer gesagt: &nbsp; ausschließlich von der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star$&nbsp; bei der halben Bitrate.
  
:<math>\eta = \frac{\rho_d}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\approx \frac{\rho_{\rm U}}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}</math>
+
*Je größer die Kabeldämpfung  &nbsp;$a_\star$&nbsp; und damit der Rauscheinfluss  ist,  um so niedriger ist die optimale Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G, opt}$.<br>
  
in Abhängigkeit von der charakteristischen Kabeldämpfung <i>a</i><sub>&#8727;</sub> an. Diese Darstellung gilt für
+
*Allerdings ist stets &nbsp;$f_\text{G, opt} > 0.27/T$. Andernfalls wäre das Auge geschlossen, gleichbedeutend mit der  &bdquo;Worst&ndash;case&rdquo;&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm U} = 0.5$.
*ein Binärsystem mit NRZ&ndash;Sendeimpulsen,<br>
 
  
*einen koaxialen Übertragungskanal mit der charakteristischen Dämpfung <i>a</i><sub>&#8727;</sub>,<br>
 
  
*einen gaußförmigen Gesamtfrequenzgang mit jeweils optimierter Grenzfrequenz (blaue Kreise).<br><br>
 
  
[[Datei:P ID1406 Dig T 3 3 S3b version1.png|center|frame|Systemwirkungsgrad in Abhängigkeit der charakteristischen Kabeldämpfung|class=fit|center]]<br>
+
Diskutieren wir nun die Abhängigkeit des Systemwirkungsgrads &nbsp;$\eta$&nbsp; (rote Quadrate)&nbsp; von der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star$.&nbsp; Die rechte Ordinate beginnt oben bei &nbsp;$0 \ \rm dB$&nbsp; und erstreckt sich nach unten bis &nbsp;$-100 \ \rm dB$.
  
Wie nun an einigen Zahlenbeispielen verdeutlicht werden soll, vermeidet die Darstellung <i>&eta;</i> = <i>&eta;</i> (<i>a</i><sub>&#8727;</sub>) einige Probleme, die sich aus dem großen Wertebereich von S/N&ndash;Verhältnissen ergeben:
+
Wie nun an einigen Zahlenbeispielen verdeutlicht werden soll,&nbsp; vermeidet die Darstellung &nbsp;$\eta = \eta\hspace{0.05cm}(a_\star)$&nbsp; einige Probleme,&nbsp; die sich aus dem großen Wertebereich von S/N&ndash;Verhältnissen ergeben:
*10 &middot; lg <i>&eta;</i> (<i>a</i><sub>&#8727;</sub> = 0 dB) = &ndash;1.4 dB sagt aus, dass der bestmögliche Gaußtiefpass (<i>f</i><sub>G</sub>  &middot; <i>T</i> = 0.8) bei <i>H</i><sub>K</sub>(<i>f</i>) = 1 um 1.4 dB schlechter ist als der optimale (Matched-Filter-) Empfänger.<br>
+
* Der Ordinatenwert &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}  \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 0 \ \rm dB) = -1.4 \ \rm dB$&nbsp; sagt aus,&nbsp; dass der bei idealem Kanal bestmögliche Gaußtiefpass mit Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G} \cdot T = 0.8$&nbsp; um &nbsp;$1.4 \ \rm dB$&nbsp; schlechter ist als der optimale&nbsp; (Matched&ndash;Filter&ndash;)&nbsp; Empfänger.<br>
  
*Gehen wir von <i>H</i><sub>K</sub>(<i>f</i>) = 1 und 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) = 10 dB aus, so besagt die obige Gleichung auch, dass diese Gaußkonfiguration zu folgender (worst-case) Fehlerwahrscheinlichkeit führen wird:
+
*Gehen wir von idealem Kanal &nbsp;$(a_\star = 0 \ \rm dB)$&nbsp; und &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; aus,&nbsp; so besagt die obige Gleichung auch,&nbsp; dass diese Konfiguration zu folgender (worst-case) Fehlerwahrscheinlichkeit führen wird:
 
+
:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}  =  10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2) + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(\eta) \approx \approx  10\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}3\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}1.4\, {\rm dB}= 11.6\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 7 \cdot 10^{-5}\hspace{0.05cm}.$$
::<math>10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}  =  10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2) + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(\eta) \approx </math>
+
*Soll diese&nbsp; (ungünstigste)&nbsp; Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm U} = 7 \cdot 10^{-5}$  &nbsp; &#8658; &nbsp; $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} = 11.6 \ \rm dB$ &nbsp; beim Kanal mit der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star = 80 \ \rm dB$&nbsp; nicht überschritten werden,&nbsp; so muss demnach für das Verhältnis &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; gelten:
:::::<math> \approx  10\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}3\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}1.4\, {\rm dB}= 11.6\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 7 \cdot 10^{-5}\hspace{0.05cm}.</math>
 
 
 
*Soll diese (ungünstigste) Fehlerwahrscheinlichkeit <i>p</i><sub>U</sub> = 7 &middot; 10 <sup>&ndash;5</sup> &nbsp;&#8658;&nbsp; 10 &middot; lg <i>&rho;</i><sub>U</sub> = 11.6 dB bei einem Kanal mit der charakteristischen Kabeldämpfung <i>a</i><sub>&#8727;</sub> = 80 dB nicht überschritten werden, so muss demnach für das Verhältnis <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> gelten:
 
  
 
::<math>10 \cdot {\rm
 
::<math>10 \cdot {\rm
 
lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} \ge 11.6\,{\rm dB}
 
lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} \ge 11.6\,{\rm dB}
\hspace{0.1cm}-3\hspace{0.1cm}3\,{\rm dB}
+
\hspace{0.1cm}-3\,{\rm dB}
 
\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}(-78.2)\,{\rm dB}= 86.8\,{\rm dB}
 
\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}(-78.2)\,{\rm dB}= 86.8\,{\rm dB}
 
\hspace{0.2cm} \Rightarrow
 
\hspace{0.2cm} \Rightarrow
Zeile 181: Zeile 181:
 
10^{8}\hspace{0.05cm}.</math>
 
10^{8}\hspace{0.05cm}.</math>
  
*Um dies zu erreichen, muss allerdings die Grenzfrequenz des Gaußtiefpasses entsprechend den blauen Kreisen in obiger Gleichung auf  <i>f</i><sub>G</sub> = 0.33/<i>T</i> herabgesetzt werden.<br>
+
*Um dies zu erreichen,&nbsp; muss allerdings die Grenzfrequenz des Gaußtiefpasses entsprechend den blauen Kreisen in der Grafik auf  &nbsp;$f_{\rm G}= 0.33/T$&nbsp; herabgesetzt werden.<br>
  
 
== Aufgaben zum Kapitel==
 
== Aufgaben zum Kapitel==
 
<br>
 
<br>
[[Aufgaben:3.3 Rauschen bei Kanalentzerrung|A3.3 Rauschen bei Kanalentzerrung]]
 
  
[[Zusatzaufgaben:3.3 Koaxialkabelsystem - Optimierung]]
+
[[Aufgaben:3.3_Rauschen_bei_Kanalentzerrung|Aufgabe 3.3: Rauschen bei Kanalentzerrung]]
 +
 
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[[Aufgaben:3.3Z_Optimierung_eines_Koaxialkabelsystems|Aufgabe 3.3Z: Optimierung eines Koaxialkabelsystems]]
  
  
 
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Aktuelle Version vom 19. Juni 2022, 11:19 Uhr

Idealer Kanalentzerrer


Bei einem Übertragungssystem,  dessen Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  starke Verzerrungen hervorruft,  gehen wir von folgendem Blockschaltbild (obere Grafik)  und folgendem äquivalenten Ersatzschaltbild  (untere Grafik)  aus:

Block- und Ersatzschaltbild zur Berücksichtigung eines Kanalfrequenzgangs

Zu diesen Darstellungen ist Folgendes anzumerken:

  • Das Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f)$  wird – zumindest gedanklich – aus einem  idealen Kanalentzerrer  $1/H_{\rm K}(f)$  und einem Tiefpass  $H_{\rm G}(f)$  zusammengesetzt.  Für Letzteren verwenden wir in diesem Kapitel beispielhaft einen Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$.
  • Verschiebt man nun den idealen Entzerrer – wiederum rein gedanklich – auf die linke Seite der Rauschadditionsstelle,  so ändert sich bezüglich dem S/N–Verhältnis an der Sinke und bezüglich der Fehlerwahrscheinlichkeit nichts gegenüber dem oben gezeichneten Blockschaltbild.
  • Aus dem Ersatzschaltbild erkennt man,  dass sich durch den Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  auch bezüglich des Detektionsnutzsignals  $d_{\rm S}(t)$  – herrührend vom Sendesignal  $s(t)$  – nichts ändert,  wenn man diesen mit  $1/H_{\rm K}(f)$  vollständig kompensiert.
  • Die Degradation durch den Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  zeigt sich vielmehr durch eine signifikante Erhöhung der Detektionsstörleistung,  also der Varianz des Signals  $d_{\rm N}(t)$  – herrührend vom Störsignal  $n(t)$:
$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|H_{\rm K}(f)|^2}\cdot |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$
  • Voraussetzung für eine endliche Störleistung  $\sigma_d^2$  ist allerdings,  dass der Tiefpass  $H_{\rm G}(f)$  das Rauschen  $n(t)$  bei  (sehr)  hohen Frequenzen stärker abschwächt,  als es vom idealen Entzerrer  $1/H_{\rm K}(f)$  angehoben wird.

Anmerkung:   Der Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  muss nach Betrag und Phase entzerrt werden,  aber nur in einem von  $H_{\rm G}(f)$  vorgegebenen eingeschränkten Frequenzbereich.  Eine vollständige Phasenentzerrung ist nur auf Kosten einer  (frequenzunabhängigen)  Laufzeit möglich,  die im Folgenden nicht weiter berücksichtigt wird.

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten wieder ein Binärsystem mit NRZ–Rechteckimpulsen und gaußförmigem Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)$  mit der (normierten) Grenzfrequenz  $f_\text{G, opt} \cdot T = 0.4$.  Aufgrund dieses ungünstigen Empfangsfilters  $H_{\rm E}(f)$  kommt es bei allen hier dargestellten Varianten zu Impulsinterferenzen  $\rm (ISI)$.

  • Die mittlere Grafik zeigt für diesen Fall das Augendiagramm des Detektionsnutzsignals  $d_{\rm S}(t)$  – also ohne Berücksichtigung des Rauschens.
Binäre Augendiagramme mit Impulsinterferenzen


⇒   Das linke Augendiagramm ergibt sich bei idealem Kanal,  also für 

$$H_{\rm K}(f) = 1 \ \ ⇒ \ \ 1/H_{\rm K}(f) = 1.$$

Es berücksichtigt das AWGN–Rauschen,  das aber hier mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 30 \ \rm dB$  als sehr klein angenommen wurde.  Für diese Konfiguration wurde per Simulation ermittelt:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 26.8\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}< 10^{-40}\hspace{0.05cm}.$$

⇒   Das rechte Diagramm gilt für ein   Koaxialkabel,  wobei die charakteristische Kabeldämpfung  $a_\star = 40 \ \rm dB$  beträgt.  Hier sind die Ergebnisse bei gleichem  $E_{\rm B}/N_0$  deutlich ungünstiger:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx -4.6\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 0.28\hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:

  • Unter der Voraussetzung eines idealen Kanalentzerrers  $1/H_{\rm K}(f)$  ergibt sich auch beim verzerrenden Kanal das gleiche  „Augendiagramm ohne Rauschen”  (linke Grafik)  wie beim idealen Kanal  $H_{\rm K}(f) = 1$  (mittlere Grafik).
  • Durch die Kanalentzerrung  $1/H_{\rm K}(f)$  wird der Rauschanteil extrem verstärkt. Im rechten Beispiel ist wegen der starken Verzerrung eine ebenso starke Entzerrung über einen weiten Frequenzbereich erforderlich.
  • Die Rauschleistung  $\sigma_d^2$  ist hier um den Faktor  $1300$  größer als bei der linken Konstellation  $($keine Verzerrung   ⇒   keine Entzerrung$)$.  Damit ergibt sich die Fehlerwahrscheinlichkeit zu  $p_{\rm S}\approx p_{\rm U}\approx 50 \%$.
  • Eine akzeptable worst-case-Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich nur bei kleinerer Rauschleistungsdichte  $N_0$.  Beispielsweise erhält man mit mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 50 \ \rm dB$  $($statt $30 \ \rm dB)$  das folgende Ergebnis:
$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = -4.6 +20 \approx 15.4\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 2 \cdot 10^{-9} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S} \ge p_{\rm U}/4 \approx 0.5 \cdot 10^{-9}\hspace{0.05cm}.$$


Erhöhung der Rauschleistung durch lineare Entzerrung


Die Augendiagramme auf der letzten Seite dokumentieren eindrucksvoll die Erhöhung der Rauschleistung  $\sigma_d^2$  bei unveränderter vertikaler Augenöffnung,  wenn man den Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  empfangsseitig durch dessen Inverse kompensiert.  Dieses Ergebnis soll nun anhand der Rauschleistungsdichte  ${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f)$  nach dem Empfangsfilter  (vor dem Entscheider)  interpretiert werden,  wobei folgende Einstellungen gelten:

$$|H_{\rm K}(f)| = {\rm exp}\left [- a_{\star}\cdot \sqrt{2 f T}\hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm} a_{\star} = 1.7\,\,{\rm Np}\hspace{0.2cm} ({\rm entsprechend} \hspace{0.2cm} 15\,\,{\rm dB}) \hspace{0.05cm}.$$
Rauschüberhöhung durch verzerrenden Kanal.     Beachten Sie: Aus Darstellungsgründen ist hier die charakteristische Kabeldämpfung mit  $a_\star = 15 \ \rm dB$   $($entsprechend  $1.7 \ \rm Np)$  deutlich kleiner gewählt ist beim rechten Augendiagramm im   Beispiel 1  auf der letzten Seite  $($gültig für  $a_\star = 40 \ \rm dB)$.
  • Der  ideale Kanalentzerrer  $1/H_{\rm K}(f)$  kompensiert den Kanalfrequenzgang vollständig. Über die Realisierung der Dämpfungs– und Phasenentzerrung wird hier keine Aussage getroffen.
  • Zur Rauschleistungsbegrenzung wird ein  Gaußtiefpass  eingesetzt:
$$|H_{\rm G}(f)| = {\rm exp}\left [- \pi \cdot \left (\frac{f }{2 f_{\rm G}}\right )^2 \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Damit gilt für die Rauschleistungsdichte vor dem Entscheider:

$${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = \frac{N_0}{2} \cdot \frac{|H_{\rm G }(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2} $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = \frac{N_0}{2} \cdot {\rm exp}\left [2 \cdot a_{\star}\cdot \sqrt{2 f T} - {\pi}/{2} \cdot \left ({f }/{f_{\rm G}}\right )^2 \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Dieser Verlauf ist hier dargestellt für die  (normierten)  Grenzfrequenzen

  • $f_\text{G} \cdot T = 0.8$  (links)  bzw.
  • $f_\text{G} \cdot T = 0.4$  (rechts)


Betrachten wir zunächst die linke Grafik für die  (normierte)  Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T = 0.8$,  die nach den Berechnungen im  letzten Kapitel  für den idealen Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f) = 1$  das Optimum darstellt.

  1. Gelb hinterlegt ist die konstante Rauschleistungsdichte  $N_0/2$  am Empfängereingang.  Bei idealem Kanal wird diese durch das gaußförmige Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)$  begrenzt und ergibt die Detektionsrauschleistung  $\sigma_d^2$  (in der Grafik durch die blaue Fläche gekennzeichnet).

  2. Werden – wie bei leitungsgebundener Übertragung üblich – höhere Frequenzen stark gedämpft,  so steigt  $|H_{\rm E}(f)| = |H_{\rm G}(f)|/|H_{\rm K}(f)|$  aufgrund des idealen Kanalentzerrers sehr stark an,  bevor für  $f \cdot T \ge 0.6$  $($nur gültig für  $a_\star = 15 \ \rm dB$  und  $f_\text{G} \cdot T = 0.8)$  der dämpfende Einfluss des Gaußfilters wirksam wird.

  3. Die Rauschleistung  $\sigma_d^2$  ist nun gleich der Fläche unter der roten Kurve, die etwa um den Faktor  $28$  größer ist als die blaue Fläche.  Die Auswirkungen dieser unterschiedlichen Rauschleistungen erkennt man auch in den Augendiagrammen auf der letzten Seite,  allerdings für  $a_\star = 40 \ \rm dB$.

Die rechte Grafik zeigt die Rauschleistungsdichte  ${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f)$  für die normierte Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T = 0.4$.  Hier wird die Rauschleistung durch den idealen Kanalentzerrer nur noch um den Faktor  $9$  vergrößert  (Verhältnis zwischen der Fläche unter der roten Kurve und der blauen Fläche).

$\text{Fazit:}$  Aus obiger Grafik und den bisherigen Erläuterungen geht bereits hervor,  dass bei verzerrendem Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f) \ne 1$ die Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T = 0.8$  des Gaußtiefpasses  $H_{\rm G}(f)$  nach dem idealen Kanalentzerrer  $1/H_{\rm K}(f)$  nicht mehr optimal sein wird.



Optimierung der Grenzfrequenz


Die Grafik zeigt die Störabstände in Abhängigkeit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  des gaußförmigen Gesamtfrequenzgangs  $H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$.  Dieses Bild gilt für

Optimale Grenzfrequenz des GTP bei verzerrendem Kanal  $(a_\star = 15 \ \rm dB).$
⇒   Die Kreise zeigen die dB–Werte für  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_d$   ⇒   „mittleres” Detektions–SNR $($Maß für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S})$.
⇒   Die Quadrate zeigen die dB–Werte für  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U}$   ⇒   „ungünstigstes” SNR  $($Maß für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U})$.
  • AWGN–Rauschen mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$, wobei  $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$  zu setzen ist   ⇒   NRZ–Rechteckimpulse.

Man erkennt aus dieser Darstellung und durch Vergleich mit der  entsprechenden Grafik  im letzten Kapitel,  die für  $H_{\rm K}(f) = 1$  und  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 13 \ \rm dB$  gegolten hat:

  • Auch bei stark verzerrendem Kanal ist  $\rho_{\rm U}$  eine geeignete untere Schranke für  $\rho_{d} \ge \rho_{\rm U}$. Entsprechend ist auch  $p_{\rm U} \ge p_{\rm S} $  eine sinnvolle obere Schranke für  $p_{\rm S}$.
  • Bei der betrachteten Kabeldämpfung  $a_\star = 15 \ \rm dB$  ist die Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T \approx 0.55$  optimal und es gilt  $\ddot{o}/s_0 \approx 1.327$  sowie  $\sigma_d/s_0 \approx 0.106$.  Daraus ergeben sich der
        ungünstigste Störabstand  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} \approx \ \rm 15.9 \ dB$  und
        die Worst–Case–Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 2 \cdot 10^{-9}.$
  • Eine kleinere Grenzfrequenz hätte eine deutlich kleinere Augenöffnung zur Folge, ohne dass dadurch auch  $\sigma_d$  gleichermaßen verkleinert würde.  Für  $f_\text{G} \cdot T = 0.4$  gilt:
$$\ddot{o}/s_0 \approx 0.735,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.072\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 14.1\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.8 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$
  • Ist die Grenzfrequenz  $f_\text{G}$  zu groß,  so wird das Rauschen weniger effektiv begrenzt.  Beispielsweise lauten die Werte für die Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T =0.8$:
$$\ddot{o}/s_0 \approx 1.819,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.178\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 14.2\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.7 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$
  • Die optimalen Werte sind mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{d} \approx 16.2 \ \rm dB$  und  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} \approx \ \rm 15.9 dB$  deutlich ausgeprägter als bei idealem Kanal.


Bei einem Vergleich der Störabstände ist allerdings zu berücksichtigen, dass hier  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$  zugrunde liegt;  in der  entsprechenden Grafik  für den idealen Kanal wurde dagegen von  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 13 \ \rm dB$  ausgegangen.

Optimale Grenzfrequenz in Abhängigkeit der Kabeldämpfung


Wir betrachten weiter

  • ein Binärsystem mit NRZ–Sendeimpulsen   ⇒   $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$,
  • ein Koaxialkabel  $H_{\rm K}(f)$,  charakteristische Dämpfung  $a_\star$,
  • einen Gauß–Gesamtfrequenzgang  $H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$.


Die blauen Kreise  (linke Achsenbeschriftung)  markieren die optimale Grenzfrequenzen  $f_\text{G, opt}$  für die jeweilige Kabeldämpfung  $a_\star$.

Zusätzlich ist in der Grafik mit roten Quadraten der  Systemwirkungsgrad  (bei Spitzenwertbegrenzung)  $\eta$  dargestellt, der das Verhältnis des mit der betrachteten Konfiguration erreichbaren SNR  $\rho_{d}$  zum maximal möglichen S/N-Verhältnis  $\rho_{d, \ {\rm max}}$  angibt.

Optimale Grenzfrequenz und Systemwirkungsgrad in Abhängigkeit der charakteristischen Kabeldämpfung. Insbesondere gilt:
$\hspace{0.8cm} 10 · \lg \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 0 \ \rm dB) = -1.4 \ dB;$   $\hspace{0.8cm} 10 · \lg \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 80 \ \rm dB) = -78.2 \ dB;$

Ersetzt man  $\rho_d$  durch  $\rho_{\rm U}$, also  $p_{\rm S}$  durch  $p_{\rm U}$, so kann der Systemwirkungsgrad wie folgt dargestellt werden:

$$\eta = \eta_{\rm A}=\frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A}}}= \frac{\rho_d}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\approx \frac{\rho_{\rm U}}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}.$$

Man erkennt aus der Anordnung der blauen Kreise:

  • Die optimale Grenzfrequenz  $f_\text{G, opt}$  hängt signifikant von der Stärke der Verzerrungen des Koaxialkabels ab,  genauer gesagt:   ausschließlich von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$  bei der halben Bitrate.
  • Je größer die Kabeldämpfung  $a_\star$  und damit der Rauscheinfluss ist, um so niedriger ist die optimale Grenzfrequenz  $f_\text{G, opt}$.
  • Allerdings ist stets  $f_\text{G, opt} > 0.27/T$. Andernfalls wäre das Auge geschlossen, gleichbedeutend mit der „Worst–case”–Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = 0.5$.


Diskutieren wir nun die Abhängigkeit des Systemwirkungsgrads  $\eta$  (rote Quadrate)  von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$.  Die rechte Ordinate beginnt oben bei  $0 \ \rm dB$  und erstreckt sich nach unten bis  $-100 \ \rm dB$.

Wie nun an einigen Zahlenbeispielen verdeutlicht werden soll,  vermeidet die Darstellung  $\eta = \eta\hspace{0.05cm}(a_\star)$  einige Probleme,  die sich aus dem großen Wertebereich von S/N–Verhältnissen ergeben:

  • Der Ordinatenwert  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 0 \ \rm dB) = -1.4 \ \rm dB$  sagt aus,  dass der bei idealem Kanal bestmögliche Gaußtiefpass mit Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T = 0.8$  um  $1.4 \ \rm dB$  schlechter ist als der optimale  (Matched–Filter–)  Empfänger.
  • Gehen wir von idealem Kanal  $(a_\star = 0 \ \rm dB)$  und  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$  aus,  so besagt die obige Gleichung auch,  dass diese Konfiguration zu folgender (worst-case) Fehlerwahrscheinlichkeit führen wird:
$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2) + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(\eta) \approx \approx 10\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}3\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}1.4\, {\rm dB}= 11.6\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 7 \cdot 10^{-5}\hspace{0.05cm}.$$
  • Soll diese  (ungünstigste)  Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = 7 \cdot 10^{-5}$   ⇒   $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} = 11.6 \ \rm dB$   beim Kanal mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star = 80 \ \rm dB$  nicht überschritten werden,  so muss demnach für das Verhältnis  $E_{\rm B}/N_0$  gelten:
\[10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} \ge 11.6\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-3\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}(-78.2)\,{\rm dB}= 86.8\,{\rm dB} \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm}{E_{\rm B}}/{N_0}\approx 5 \cdot 10^{8}\hspace{0.05cm}.\]
  • Um dies zu erreichen,  muss allerdings die Grenzfrequenz des Gaußtiefpasses entsprechend den blauen Kreisen in der Grafik auf  $f_{\rm G}= 0.33/T$  herabgesetzt werden.

Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 3.3: Rauschen bei Kanalentzerrung

Aufgabe 3.3Z: Optimierung eines Koaxialkabelsystems