Aufgabe 5.9: Wahl der OFDM–Parameter

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Zeitabhängiger Dämfungsverlauf
zweier Mobilfunkkanäle

In dieser Aufgabe sollen einige OFDM–Parameter eines Mobilfunksystems bestimmt werden. 

Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:

  • Die Kohärenzzeit des Kanals ist  $T_{\rm coh} = 0.4 \ \rm ms$.
  • Die maximale Pfadverzögerung sei  $τ_{\rm max} = 25 \ \rm µ s$.
  • Die Datenrate (Bitrate) beträgt  $R_{\rm B} = 1 \ \rm Mbit/s$.
  • Alle Unterträger werden  $\rm 4–QAM$–moduliert.


Um eine gewisse Robustheit des Systems gegenüber zeit– und frequenzselektivem Fading zu gewährleisten, muss die folgende Ungleichung erfüllt werden:

$$T_{\rm{G}} \ll T \ll T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}}.$$

Insgesamt soll folgendermaßen vorgegangen werden:

  • Vorläufige Festlegung des Guard–Intervalls  $(T_{\rm G}')$,
  • Bestimmung der optimalen Kernsymboldauer  $(T)$,
  • entsprechende Festlegung der Stützstellenzahl der  $\rm FFT$.


Danach ist eventuell eine erneute Bestimmung einiger Systemgrößen aufgrund der bei den Berechnungen vorgenommenen Rundungen erforderlich.

Die Grafik zeigt zwei beispielhafte Dämpfungsverläufe von Mobilfunksystemen in logarithmischer Darstellung.

  • Bei der blauen Kurve geschehen die zeitlichen Veränderungen relativ langsam, bei der roten Kurve viermal so schnell.
  • Demzufolge weist der blaue Kanal eine viermal größere Kohärenzzeit auf als der rote Kanal.




Hinweise:



Fragebogen

1

Bestimmen Sie die minimal sinnvolle Dauer  $T_{\rm G}'$  des „vorläufigen Guard–Intervalls”.

$T_{\rm G}' \ = \ $

$\ \rm µ s$

2

Bestimmen Sie die optimale Kernsymboldauer  $T_{\rm opt}$  als geometrisches Mittel.

$T_{\rm opt} \ = \ $

$\ \rm µ s$

3

Bestimmen Sie die benötigte Anzahl an Nutzträgern.

$N_{\rm Nutz} \ = \ $

4

Geben Sie die daraus resultierende Stützstellenzahl der FFT an.

$N_{\rm FFT} \ = \ $

5

Berechnen Sie die Anzahl  $N_{\rm G}$  der Zeitabtastwerte des Guard–Intervalls und daraus die neue resultierende Schutzzeit  $T_{\rm G}$.

$N_{\rm G} \ = \ $

$T_{\rm G} \ = \ $

$\ \rm µ s$

6

Geben Sie nun anhand Ihrer Berechnungen die Dauer  $T_{\rm R}$  eines Rahmens an.

$T_{\rm R} \ = \ $

$\ \rm µ s$

7

Wie groß ist die Anzahl der insgesamt in einem Rahmen enthaltenen Abtastwerte?

$N_{\rm gesamt} \ = \ $

8

Ermitteln Sie mit den bestimmten Parametern die Nutzträgeranzahl  $N_{\rm Nutz}'$  erneut.

$N_{\rm Nutz}' \ = \ $


Musterlösung

(1)  Es gilt  $T_{\rm G}' = \tau_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline { = 25\ \rm µ s}$.

  • Damit ist die untere Grenze der Ungleichung  $T_{\rm{G}}' \ll T \ll T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}}'$  festgelegt.
  • Aber auch die obere Grenze lässt sich nun berechnen, da die Kohärenzzeit  $T_{\rm coh} = 400\ \rm µ s$  bekannt ist.


(2)  Zur sinnvollen Lösung der Ungleichung aus  (1)  wird das geometrische Mittel verwendet:

$$T_{{\rm{opt}}} = \sqrt {T_{\rm{G}} ' \cdot (T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}} ')} = \sqrt {{25\,\,{\rm µ s}} \cdot ({400\,\,{\rm µ s}} - {25\,\,{\rm µ s}})} \hspace{0.15cm}\underline { \approx {97\,\,{\rm µ s}}}.$$


(3)  Die benötigte Anzahl der Nutzträger ergibt sich aus folgender Gleichung:

$$N_{{\rm{Nutz}}} = \left\lceil {\frac{{R_{{\rm{B}}} \cdot (T + T_{\rm{G}} ')}} {{{\rm{log}_2}(M)}}}\right\rceil = \left\lceil {\frac{10^6\,\,{\rm bit/s} \cdot ({97\,\,{\rm µ s}} + {25\,\,{\rm µ s}} )} {{{\rm{log}_2}(4)}}}\right\rceil\hspace{0.15cm}\underline {= 61}.$$


(4)  Die Stützstellenzahl der  $\rm FFT$  muss stets eine Zweier–Potenz sein.  Daraus folgt:

$$ N_{{\rm{FFT}}} = 2^{\left\lceil {{\rm{log_2}} \hspace{0.05cm}(61 )} \right\rceil } = 2^6\hspace{0.15cm}\underline {= 64}.$$
  • Ungenutzte Träger können an den Rändern des Spektrums als Guard–Band verwendet werden.


(5)  Wir bezeichnen die gerundete Anzahl der Stützstellen des Guardintervalls mit  $N_{\rm{G}}$.  Dann gilt:

$$N_{\rm{G}} = \left\lceil {\frac{{T_{\rm{G}} '}} {{T_{{\rm{opt}}} }} \cdot N_{{\rm{FFT}}} } \right\rceil = \left\lceil {\frac{25\,\,{\rm µ s}} {97\,\,{\rm µ s}} \cdot 64 } \right\rceil \hspace{0.15cm}\underline {= 17},$$
$$ T_{\rm{G}} = N_{\rm{G}} \cdot \frac{{T_{{\rm{opt}}} }} {{N_{{\rm{FFT}}} }}= 17 \cdot \frac{{97\,\,{\rm µ s}}} {64}\hspace{0.15cm}\underline { \approx {26\,\,{\rm µ s}}}.$$


(6)  Die Rahmendauer ergibt sich zu

$$T_{\rm{R}} = T + T_{\rm{G}} = {97\,\,{\rm µ s}} + {26\,\,{\rm µ s}}\hspace{0.15cm}\underline {= {123\,\,{\rm µ s}}}.$$


(7)  Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben  (4)  und  (5)  erhält man:

$$ N_{\rm{gesamt}} = N_{\rm{FFT}} + N_{\rm{G}} = 64 + 17 \hspace{0.15cm}\underline {= 81}.$$


(8)  Die Neuberechnung ist nötig, da sich die Dauer des Guard–Intervalls geändert haben kann. 

  • Gegenüber der Teilaufgab e (3)  wird die vorläufige Länge  $T_{\rm{G}} '$  durch  $T_{\rm{G}} $  ersetzt und man erhält ein geringfügig anderes Ergebnis:
$$N_{\rm Nutz}' = \left\lceil {\frac{10^6\,\,{\rm bit/s} \cdot ({97\,\,{\rm µ s}} + {26\,\,{\rm µ s}} )} {{{\rm{log_2}}(4)}}}\right\rceil = \left\lceil 61.5\right\rceil\hspace{0.15cm}\underline {= 62}.$$
  • Damit ergibt sich aber weiterhin  $N_{\rm FFT} = 64$.