Aufgaben:Aufgabe 5.9: Wahl der OFDM–Parameter: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID1668__Mod_A_5_9.png|right|frame|Zeitabhängiger Dämfungsverlauf zweier Mobilfunkkanäle]]
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In dieser Aufgabe sollen einige OFDM–Parameter eines Mobilfunksystems bestimmt werden. Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:
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In dieser Aufgabe sollen einige OFDM–Parameter eines Mobilfunksystems bestimmt werden.&nbsp;
* Die Kohärenzzeit des Kanals ist $T_{\rm coh} = 0.4 \ \rm ms$.
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* Die maximale Pfadverzögerung sei $τ_{\rm max} = 25 \ \rm  μs$.
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Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:
* Die Datenrate (Bitrate) beträgt $R_{\rm B} = 1 \ \rm  Mbit/s$.
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* Die Kohärenzzeit des Kanals ist &nbsp;$T_{\rm coh} = 0.4 \ \rm ms$.
* Alle Unterträger werden 4–QAM–moduliert.
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* Die maximale Pfadverzögerung sei &nbsp;$τ_{\rm max} = 25 \ \rm  &micro; s$.
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* Die Datenrate (Bitrate) beträgt &nbsp;$R_{\rm B} = 1 \ \rm  Mbit/s$.
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* Alle Unterträger werden&nbsp; $\rm 4–QAM$–moduliert.
  
  
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:$$T_{\rm{G}} \ll T \ll T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}}.$$
 
:$$T_{\rm{G}} \ll T \ll T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}}.$$
 
Insgesamt soll folgendermaßen vorgegangen werden:
 
Insgesamt soll folgendermaßen vorgegangen werden:
* Vorläufige Festlegung des Guard–Intervalls ($T_{\rm G}'$),
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* Vorläufige Festlegung des Guard–Intervalls &nbsp;$(T_{\rm G}')$,
* Bestimmung der optimalen Kernsymboldauer $T$,
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* Bestimmung der optimalen Kernsymboldauer &nbsp;$(T)$,
* entsprechende Festlegung der Stützstellenzahl der FFT.
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* entsprechende Festlegung der Stützstellenzahl der&nbsp; $\rm FFT$.
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Danach ist eventuell eine erneute Bestimmung einiger Systemgrößen aufgrund der bei den Berechnungen vorgenommen Rundungen erforderlich.
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Danach ist eventuell eine erneute Bestimmung einiger Systemgrößen aufgrund der bei den Berechnungen vorgenommenen Rundungen erforderlich.
  
 
Die Grafik zeigt zwei beispielhafte Dämpfungsverläufe von Mobilfunksystemen in logarithmischer Darstellung.  
 
Die Grafik zeigt zwei beispielhafte Dämpfungsverläufe von Mobilfunksystemen in logarithmischer Darstellung.  
 
*Bei der blauen Kurve geschehen die zeitlichen Veränderungen relativ langsam, bei der roten Kurve viermal so schnell.  
 
*Bei der blauen Kurve geschehen die zeitlichen Veränderungen relativ langsam, bei der roten Kurve viermal so schnell.  
*Demzufolge weist der blaue Kanal eine viermal größere Kohärenzzeit als der rote Kanal auf.
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*Demzufolge weist der blaue Kanal eine viermal größere Kohärenzzeit auf als der rote Kanal.
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/OFDM_für_4G–Netze|OFDM für 4G–Netze]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/OFDM_für_4G–Netze|OFDM für 4G–Netze]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/OFDM_für_4G–Netze#Bestimmung_einiger_OFDM.E2.80.93Parameter|Bestimmung einiger OFDM-Parameter]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/OFDM_für_4G–Netze#Bestimmung_einiger_OFDM.E2.80.93Parameter|Bestimmung einiger OFDM-Parameter]].
* Weitere Informationen zum Thema finden Sie im LNTwww&ndash;Buch [[Mobile Kommunikation]].  
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* Weitere Informationen zum Thema finden Sie im LNTwww&ndash;Buch &nbsp;[[Mobile Kommunikation]].  
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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<quiz display=simple>
{Bestimmen Sie die minimal sinnvolle Dauer $T_{\rm G}'$ des &bdquo;vorläufigen Guard–Intervalls&rdquo;.
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{Bestimmen Sie die minimal sinnvolle Dauer &nbsp;$T_{\rm G}'$&nbsp; des &bdquo;vorläufigen Guard–Intervalls&rdquo;.
 
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$T_{\rm G}' \ = \ $  { 25 3% } $\ \rm μs$
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$T_{\rm G}' \ = \ $  { 25 3% } $\ \rm &micro; s$
  
{Bestimmen Sie die optimale Kernsymboldauer $T_{\rm opt}$ als geometrisches Mittel.
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{Bestimmen Sie die optimale Kernsymboldauer &nbsp;$T_{\rm opt}$&nbsp; als geometrisches Mittel.
 
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$T_{\rm opt} \ = \ $ { 97 3% } $\ \rm μs$
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$T_{\rm opt} \ = \ $ { 97 3% } $\ \rm &micro; s$
  
  
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$N_{\rm FFT} \ = \ $ { 64 1% }
 
$N_{\rm FFT} \ = \ $ { 64 1% }
  
{Berechnen Sie die Anzahl $N_{\rm G}$ der Zeitabtastwerte des Guard–Intervalls und daraus die neue resultierende Schutzzeit $T_{\rm G}$.
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{Berechnen Sie die Anzahl &nbsp;$N_{\rm G}$&nbsp; der Zeitabtastwerte des Guard–Intervalls und daraus die neue resultierende Schutzzeit &nbsp;$T_{\rm G}$.
 
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$N_{\rm G} \ = \ $ { 17 1% }  
 
$N_{\rm G} \ = \ $ { 17 1% }  
$T_{\rm G} \ = \ $ { 26 1% } $\ \rm μs$
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$T_{\rm G} \ = \ $ { 26 1% } $\ \rm &micro; s$
  
{Geben Sie nun anhand Ihrer Berechnungen die Dauer  $T_{\rm R}$ eines Rahmens an:
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{Geben Sie nun anhand Ihrer Berechnungen die Dauer  &nbsp;$T_{\rm R}$&nbsp; eines Rahmens an.
 
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$T_{\rm R} \ = \ $ { 123 1% } $\ \rm μs$
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$T_{\rm R} \ = \ $ { 123 1% } $\ \rm &micro; s$
  
 
{Wie groß ist die Anzahl der insgesamt in einem Rahmen enthaltenen Abtastwerte?
 
{Wie groß ist die Anzahl der insgesamt in einem Rahmen enthaltenen Abtastwerte?
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$N_{\rm gesamt} \ = \ $ { 81 1% }  
 
$N_{\rm gesamt} \ = \ $ { 81 1% }  
  
{Ermitteln Sie mit den bestimmten Parametern die Nutzträgeranzahl $N_{\rm Nutz}'$ erneut.
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{Ermitteln Sie mit den bestimmten Parametern die Nutzträgeranzahl &nbsp;$N_{\rm Nutz}'$&nbsp; erneut.
 
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$N_{\rm Nutz}' \ = \ $ { 62 1% }  
 
$N_{\rm Nutz}' \ = \ $ { 62 1% }  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Mit $T_{\rm G}' = \tau_{\rm max}  \hspace{0.15cm}\underline { = 25\ \rm \mu s}$ ist die untere Grenze der Ungleichung $T_{\rm{G}}' \ll T \ll T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}}'$ festgelegt. Aber auch die obere Grenze lässt sich nun berechnen, da die Kohärenzzeit $T_{\rm coh} = 400\ \rm \mu s$ bekannt ist.
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'''(1)'''&nbsp; Es gilt &nbsp;$T_{\rm G}' = \tau_{\rm max}  \hspace{0.15cm}\underline { = 25\ \rm &micro; s}$.
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*Damit ist die untere Grenze der Ungleichung&nbsp; $T_{\rm{G}}' \ll T \ll T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}}'$&nbsp; festgelegt.  
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*Aber auch die obere Grenze lässt sich nun berechnen, da die Kohärenzzeit&nbsp; $T_{\rm coh} = 400\ \rm &micro; s$&nbsp; bekannt ist.
  
  
'''(2)'''&nbsp; Zur sinnvollen Lösung der Ungleichung aus (1) wird das geometrische Mittel verwendet:
+
 
:$$T_{{\rm{opt}}} = \sqrt {T_{\rm{G}} ' \cdot (T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}} ')} = \sqrt {{25\,\,{\rm \mu s}} \cdot ({400\,\,{\rm \mu s}} - {25\,\,{\rm \mu s}})} \hspace{0.15cm}\underline { \approx {97\,\,{\rm \mu s}}}.$$
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'''(2)'''&nbsp; Zur sinnvollen Lösung der Ungleichung aus&nbsp; '''(1)'''&nbsp; wird das geometrische Mittel verwendet:
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:$$T_{{\rm{opt}}} = \sqrt {T_{\rm{G}} ' \cdot (T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}} ')} = \sqrt {{25\,\,{\rm &micro; s}} \cdot ({400\,\,{\rm &micro; s}} - {25\,\,{\rm &micro; s}})} \hspace{0.15cm}\underline { \approx {97\,\,{\rm &micro; s}}}.$$
 +
 
  
 
'''(3)'''&nbsp; Die benötigte Anzahl der Nutzträger ergibt sich aus folgender Gleichung:
 
'''(3)'''&nbsp; Die benötigte Anzahl der Nutzträger ergibt sich aus folgender Gleichung:
 
:$$N_{{\rm{Nutz}}} = \left\lceil {\frac{{R_{{\rm{B}}} \cdot (T + T_{\rm{G}} ')}} {{{\rm{log}_2}(M)}}}\right\rceil
 
:$$N_{{\rm{Nutz}}} = \left\lceil {\frac{{R_{{\rm{B}}} \cdot (T + T_{\rm{G}} ')}} {{{\rm{log}_2}(M)}}}\right\rceil
  = \left\lceil {\frac{10^6\,\,{\rm bit/s} \cdot ({97\,\,{\rm \mu s}} + {25\,\,{\rm \mu s}} )}
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  = \left\lceil {\frac{10^6\,\,{\rm bit/s} \cdot ({97\,\,{\rm &micro; s}} + {25\,\,{\rm &micro; s}} )}
 
  {{{\rm{log}_2}(4)}}}\right\rceil\hspace{0.15cm}\underline {= 61}.$$
 
  {{{\rm{log}_2}(4)}}}\right\rceil\hspace{0.15cm}\underline {= 61}.$$
  
'''(4)'''&nbsp; Die Stützstellenzahl der FFT muss stets eine Zweier–Potenz sein. Daraus folgt:
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'''(4)'''&nbsp; Die Stützstellenzahl der&nbsp; $\rm FFT$&nbsp; muss stets eine Zweier–Potenz sein.&nbsp; Daraus folgt:
 
:$$ N_{{\rm{FFT}}} = 2^{\left\lceil {{\rm{log_2}} \hspace{0.05cm}(61 )} \right\rceil } = 2^6\hspace{0.15cm}\underline {= 64}.$$
 
:$$ N_{{\rm{FFT}}} = 2^{\left\lceil {{\rm{log_2}} \hspace{0.05cm}(61 )} \right\rceil } = 2^6\hspace{0.15cm}\underline {= 64}.$$
Ungenutzte Träger können an den Rändern des Spektrums als Guard–Band verwendet werden.
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*Ungenutzte Träger können an den Rändern des Spektrums als Guard–Band verwendet werden.
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'''(5)'''&nbsp; Wir bezeichnen die gerundete Anzahl der Stützstellen des Guardintervalls mit&nbsp; $N_{\rm{G}}$.&nbsp; Dann gilt:
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:$$N_{\rm{G}} = \left\lceil {\frac{{T_{\rm{G}} '}} {{T_{{\rm{opt}}} }} \cdot N_{{\rm{FFT}}} } \right\rceil = \left\lceil {\frac{25\,\,{\rm &micro; s}} {97\,\,{\rm &micro; s}} \cdot 64 } \right\rceil \hspace{0.15cm}\underline {= 17},$$
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:$$ T_{\rm{G}} = N_{\rm{G}} \cdot \frac{{T_{{\rm{opt}}} }} {{N_{{\rm{FFT}}} }}= 17 \cdot \frac{{97\,\,{\rm &micro; s}}} {64}\hspace{0.15cm}\underline { \approx {26\,\,{\rm &micro; s}}}.$$
  
'''(5)'''&nbsp; Wir bezeichnen die gerundete Anzahl der Stützstellen des Guardintervalls mit $N_{\rm{G}}$ ist . Dann gilt:
 
:$$N_{\rm{G}} = \left\lceil {\frac{{T_{\rm{G}} '}} {{T_{{\rm{opt}}} }} \cdot N_{{\rm{FFT}}} } \right\rceil = \left\lceil {\frac{25\,\,{\rm \mu s}} {97\,\,{\rm \mu s}} \cdot 64 } \right\rceil \hspace{0.15cm}\underline {= 17},$$
 
:$$ T_{\rm{G}} = N_{\rm{G}} \cdot \frac{{T_{{\rm{opt}}} }} {{N_{{\rm{FFT}}} }}= 17 \cdot \frac{{97\,\,{\rm \mu s}}} {64}\hspace{0.15cm}\underline { \approx {26\,\,{\rm \mu s}}}.$$
 
  
 
'''(6)'''&nbsp; Die Rahmendauer ergibt sich zu
 
'''(6)'''&nbsp; Die Rahmendauer ergibt sich zu
:$$T_{\rm{R}} = T + T_{\rm{G}} = {97\,\,{\rm \mu s}} + {26\,\,{\rm \mu s}}\hspace{0.15cm}\underline {= {123\,\,{\rm \mu s}}}.$$
+
:$$T_{\rm{R}} = T + T_{\rm{G}} = {97\,\,{\rm &micro; s}} + {26\,\,{\rm &micro; s}}\hspace{0.15cm}\underline {= {123\,\,{\rm &micro; s}}}.$$
  
'''(7)'''&nbsp; Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben (4) und (5) erhält man:
+
 
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'''(7)'''&nbsp; Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben&nbsp; '''(4)'''&nbsp; und&nbsp; '''(5)'''&nbsp; erhält man:
 
:$$ N_{\rm{gesamt}} = N_{\rm{FFT}} + N_{\rm{G}} = 64 + 17 \hspace{0.15cm}\underline {= 81}.$$
 
:$$ N_{\rm{gesamt}} = N_{\rm{FFT}} + N_{\rm{G}} = 64 + 17 \hspace{0.15cm}\underline {= 81}.$$
  
'''(8)'''&nbsp; Die Neuberechnung ist nötig, da sich die Dauer des Guard–Intervalls geändert haben kann. Gegenüber der Teilaufgabe (3) wird die vorläufige Länge $T_{\rm{G}} '$ durch $T_{\rm{G}} $ ersetzt und man erhält ein geringfügig anderes Ergebnis:
+
 
:$$N_{{\rm{Nutz}}'} = \left\lceil {\frac{10^6\,\,{\rm bit/s} \cdot ({97\,\,{\rm \mu s}} + {26\,\,{\rm \mu s}} )} {{{\rm{ld}}(4)}}}\right\rceil = \left\lceil 61.5\right\rceil\hspace{0.15cm}\underline {= 62}.$$
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'''(8)'''&nbsp; Die Neuberechnung ist nötig, da sich die Dauer des Guard–Intervalls geändert haben kann.&nbsp;
Damit ergibt sich aber weiterhin $N_{\rm FFT} = 64$.  
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*Gegenüber der Teilaufgab&nbsp;e '''(3)'''&nbsp; wird die vorläufige Länge&nbsp; $T_{\rm{G}} '$&nbsp; durch&nbsp; $T_{\rm{G}} $&nbsp; ersetzt und man erhält ein geringfügig anderes Ergebnis:
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:$$N_{\rm Nutz}' = \left\lceil {\frac{10^6\,\,{\rm bit/s} \cdot ({97\,\,{\rm &micro; s}} + {26\,\,{\rm &micro; s}} )} {{{\rm{log_2}}(4)}}}\right\rceil = \left\lceil 61.5\right\rceil\hspace{0.15cm}\underline {= 62}.$$
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*Damit ergibt sich aber weiterhin&nbsp; $N_{\rm FFT} = 64$.  
  
  

Version vom 6. Mai 2020, 13:12 Uhr

Zeitabhängiger Dämfungsverlauf
zweier Mobilfunkkanäle

In dieser Aufgabe sollen einige OFDM–Parameter eines Mobilfunksystems bestimmt werden. 

Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:

  • Die Kohärenzzeit des Kanals ist  $T_{\rm coh} = 0.4 \ \rm ms$.
  • Die maximale Pfadverzögerung sei  $τ_{\rm max} = 25 \ \rm µ s$.
  • Die Datenrate (Bitrate) beträgt  $R_{\rm B} = 1 \ \rm Mbit/s$.
  • Alle Unterträger werden  $\rm 4–QAM$–moduliert.


Um eine gewisse Robustheit des Systems gegenüber zeit– und frequenzselektivem Fading zu gewährleisten, muss die folgende Ungleichung erfüllt werden:

$$T_{\rm{G}} \ll T \ll T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}}.$$

Insgesamt soll folgendermaßen vorgegangen werden:

  • Vorläufige Festlegung des Guard–Intervalls  $(T_{\rm G}')$,
  • Bestimmung der optimalen Kernsymboldauer  $(T)$,
  • entsprechende Festlegung der Stützstellenzahl der  $\rm FFT$.


Danach ist eventuell eine erneute Bestimmung einiger Systemgrößen aufgrund der bei den Berechnungen vorgenommenen Rundungen erforderlich.

Die Grafik zeigt zwei beispielhafte Dämpfungsverläufe von Mobilfunksystemen in logarithmischer Darstellung.

  • Bei der blauen Kurve geschehen die zeitlichen Veränderungen relativ langsam, bei der roten Kurve viermal so schnell.
  • Demzufolge weist der blaue Kanal eine viermal größere Kohärenzzeit auf als der rote Kanal.




Hinweise:



Fragebogen

1

Bestimmen Sie die minimal sinnvolle Dauer  $T_{\rm G}'$  des „vorläufigen Guard–Intervalls”.

$T_{\rm G}' \ = \ $

$\ \rm µ s$

2

Bestimmen Sie die optimale Kernsymboldauer  $T_{\rm opt}$  als geometrisches Mittel.

$T_{\rm opt} \ = \ $

$\ \rm µ s$

3

Bestimmen Sie die benötigte Anzahl an Nutzträgern.

$N_{\rm Nutz} \ = \ $

4

Geben Sie die daraus resultierende Stützstellenzahl der FFT an.

$N_{\rm FFT} \ = \ $

5

Berechnen Sie die Anzahl  $N_{\rm G}$  der Zeitabtastwerte des Guard–Intervalls und daraus die neue resultierende Schutzzeit  $T_{\rm G}$.

$N_{\rm G} \ = \ $

$T_{\rm G} \ = \ $

$\ \rm µ s$

6

Geben Sie nun anhand Ihrer Berechnungen die Dauer  $T_{\rm R}$  eines Rahmens an.

$T_{\rm R} \ = \ $

$\ \rm µ s$

7

Wie groß ist die Anzahl der insgesamt in einem Rahmen enthaltenen Abtastwerte?

$N_{\rm gesamt} \ = \ $

8

Ermitteln Sie mit den bestimmten Parametern die Nutzträgeranzahl  $N_{\rm Nutz}'$  erneut.

$N_{\rm Nutz}' \ = \ $


Musterlösung

(1)  Es gilt  $T_{\rm G}' = \tau_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline { = 25\ \rm µ s}$.

  • Damit ist die untere Grenze der Ungleichung  $T_{\rm{G}}' \ll T \ll T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}}'$  festgelegt.
  • Aber auch die obere Grenze lässt sich nun berechnen, da die Kohärenzzeit  $T_{\rm coh} = 400\ \rm µ s$  bekannt ist.


(2)  Zur sinnvollen Lösung der Ungleichung aus  (1)  wird das geometrische Mittel verwendet:

$$T_{{\rm{opt}}} = \sqrt {T_{\rm{G}} ' \cdot (T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}} ')} = \sqrt {{25\,\,{\rm µ s}} \cdot ({400\,\,{\rm µ s}} - {25\,\,{\rm µ s}})} \hspace{0.15cm}\underline { \approx {97\,\,{\rm µ s}}}.$$


(3)  Die benötigte Anzahl der Nutzträger ergibt sich aus folgender Gleichung:

$$N_{{\rm{Nutz}}} = \left\lceil {\frac{{R_{{\rm{B}}} \cdot (T + T_{\rm{G}} ')}} {{{\rm{log}_2}(M)}}}\right\rceil = \left\lceil {\frac{10^6\,\,{\rm bit/s} \cdot ({97\,\,{\rm µ s}} + {25\,\,{\rm µ s}} )} {{{\rm{log}_2}(4)}}}\right\rceil\hspace{0.15cm}\underline {= 61}.$$


(4)  Die Stützstellenzahl der  $\rm FFT$  muss stets eine Zweier–Potenz sein.  Daraus folgt:

$$ N_{{\rm{FFT}}} = 2^{\left\lceil {{\rm{log_2}} \hspace{0.05cm}(61 )} \right\rceil } = 2^6\hspace{0.15cm}\underline {= 64}.$$
  • Ungenutzte Träger können an den Rändern des Spektrums als Guard–Band verwendet werden.


(5)  Wir bezeichnen die gerundete Anzahl der Stützstellen des Guardintervalls mit  $N_{\rm{G}}$.  Dann gilt:

$$N_{\rm{G}} = \left\lceil {\frac{{T_{\rm{G}} '}} {{T_{{\rm{opt}}} }} \cdot N_{{\rm{FFT}}} } \right\rceil = \left\lceil {\frac{25\,\,{\rm µ s}} {97\,\,{\rm µ s}} \cdot 64 } \right\rceil \hspace{0.15cm}\underline {= 17},$$
$$ T_{\rm{G}} = N_{\rm{G}} \cdot \frac{{T_{{\rm{opt}}} }} {{N_{{\rm{FFT}}} }}= 17 \cdot \frac{{97\,\,{\rm µ s}}} {64}\hspace{0.15cm}\underline { \approx {26\,\,{\rm µ s}}}.$$


(6)  Die Rahmendauer ergibt sich zu

$$T_{\rm{R}} = T + T_{\rm{G}} = {97\,\,{\rm µ s}} + {26\,\,{\rm µ s}}\hspace{0.15cm}\underline {= {123\,\,{\rm µ s}}}.$$


(7)  Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben  (4)  und  (5)  erhält man:

$$ N_{\rm{gesamt}} = N_{\rm{FFT}} + N_{\rm{G}} = 64 + 17 \hspace{0.15cm}\underline {= 81}.$$


(8)  Die Neuberechnung ist nötig, da sich die Dauer des Guard–Intervalls geändert haben kann. 

  • Gegenüber der Teilaufgab e (3)  wird die vorläufige Länge  $T_{\rm{G}} '$  durch  $T_{\rm{G}} $  ersetzt und man erhält ein geringfügig anderes Ergebnis:
$$N_{\rm Nutz}' = \left\lceil {\frac{10^6\,\,{\rm bit/s} \cdot ({97\,\,{\rm µ s}} + {26\,\,{\rm µ s}} )} {{{\rm{log_2}}(4)}}}\right\rceil = \left\lceil 61.5\right\rceil\hspace{0.15cm}\underline {= 62}.$$
  • Damit ergibt sich aber weiterhin  $N_{\rm FFT} = 64$.