Aufgaben:Aufgabe 5.8Z: Matched-Filter bei Rechteck-Störleistungsspektrum: Unterschied zwischen den Versionen

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:$$N_0  = 2 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} /{\rm{Hz}},\quad N_1  = 2 \cdot 10^{ - 8} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}/ {\rm{Hz}}.$$
 
:$$N_0  = 2 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} /{\rm{Hz}},\quad N_1  = 2 \cdot 10^{ - 8} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}/ {\rm{Hz}}.$$
  
Ein solches Störsignal  $n(t)$  tritt zum Beispiel auf, wenn die dominante Störquelle nur Anteile unterhalb der Grenzfrequenz  $f_{\rm N}$  beinhaltet.  Aufgrund des unvermeidbaren thermischen Rauschens ist auch für  $|f| > f_{\rm N}$  die Störleistungsdichte  ${\it \Phi}_n(f) \ne 0$.
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Ein solches Störsignal  $n(t)$  tritt zum Beispiel auf,  wenn die dominante Störquelle nur Anteile unterhalb der Grenzfrequenz  $f_{\rm N}$  beinhaltet.  Aufgrund des unvermeidbaren thermischen Rauschens ist auch für  $|f| > f_{\rm N}$  die Störleistungsdichte  ${\it \Phi}_n(f) \ne 0$.
  
 
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*Das Empfangsfilter sei optimal an das Nutzspektrum  $G(f)$  und das Störleistungsdichtespektrums  ${\it \Phi}_n(f)$  angepasst.  
 
*Das Empfangsfilter sei optimal an das Nutzspektrum  $G(f)$  und das Störleistungsdichtespektrums  ${\it \Phi}_n(f)$  angepasst.  
*Das heißt,  es gelte  $H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f)$.  Der Detektionszeitpunkt sei vereinfachend  $T_{\rm D}  = 0$  (akausale Systembeschreibung).
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*Das heißt,  das Empfangsfilter entspricht dem Matched-Filter-Kriterium:  $H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f)$.   
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*Der Detektionszeitpunkt sei vereinfachend  $T_{\rm D}  = 0$  (akausale Systembeschreibung).
  
  
  
  
 
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Hinweise:  
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter|Matched-Filter]].  
 
 
 
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter|Matched-Filter]].
 
 
 
*Verwenden Sie für numerische Berechnungen stets die Zahlenwerte
 
*Verwenden Sie für numerische Berechnungen stets die Zahlenwerte
 
:$$G_0  = 10^{ - 4} \;{\rm{V/Hz}}{\rm{, }}\quad \Delta f = 10\;{\rm{kHz}}.$$
 
:$$G_0  = 10^{ - 4} \;{\rm{V/Hz}}{\rm{, }}\quad \Delta f = 10\;{\rm{kHz}}.$$
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{Welche der folgenden Aussagen gelten unter der Voraussetzung  $f_{\rm N} > f_{\rm G}$?
 
{Welche der folgenden Aussagen gelten unter der Voraussetzung  $f_{\rm N} > f_{\rm G}$?
 
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+ Anwendbar ist das „Matched-Filter” für „Weißes Rauschen”.
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+ Anwendbar ist das „Matched-Filter für Weißes Rauschen”.
 
- Der MF–Ausgangsimpuls ist dreieckförmig.
 
- Der MF–Ausgangsimpuls ist dreieckförmig.
 
+ Der MF–Ausgangsimpuls ist  $\rm si$–förmig.
 
+ Der MF–Ausgangsimpuls ist  $\rm si$–förmig.
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===Musterlösung===
 
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
*Für alle Frequenzen&nbsp; $|f| > f_{\rm G}$, bei denen das Nutzsignal Spektralanteile besitzt&nbsp; $(G_d(f) \ne 0)$, ist das Störleistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it}\Phi_n(f) = N_0/2$.  
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*Für alle Frequenzen&nbsp; $|f| > f_{\rm G}$,&nbsp; bei denen das Nutzsignal Spektralanteile besitzt&nbsp; $(G_d(f) \ne 0)$,&nbsp; ist das Störleistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it}\Phi_n(f) = N_0/2$.  
 
*Damit lautet der Frequenzgang des Matched-Filters,&nbsp;  $T_{\rm D} = 0$&nbsp; vorausgesetzt:
 
*Damit lautet der Frequenzgang des Matched-Filters,&nbsp;  $T_{\rm D} = 0$&nbsp; vorausgesetzt:
 
:$$H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF}  \cdot G(f).$$
 
:$$H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF}  \cdot G(f).$$
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:$$d_{\rm S}(t)\quad \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \quad G(f) \cdot H_{\rm MF} (f).$$
 
:$$d_{\rm S}(t)\quad \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \quad G(f) \cdot H_{\rm MF} (f).$$
 
*Das Produkt zweier Rechteckfunktionen gleicher Breite ergibt wiederum eine Rechteckfunktion.  
 
*Das Produkt zweier Rechteckfunktionen gleicher Breite ergibt wiederum eine Rechteckfunktion.  
*Daraus folgt weiter, dass der Ausgangsimpuls des Matched-Filters ebenfalls&nbsp; $\rm si$-förmig verläuft.
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*Daraus folgt weiter,&nbsp; dass der Ausgangsimpuls des Matched-Filters ebenfalls&nbsp; $\rm si$-förmig verläuft.
 
   
 
   
  
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*Das Integral liefert den Wert&nbsp; $G_0^2 \cdot \Delta f$.&nbsp; Daraus folgt:
 
*Das Integral liefert den Wert&nbsp; $G_0^2 \cdot \Delta f$.&nbsp; Daraus folgt:
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:$$\rho _d  = \frac{G_0 ^2 \cdot \Delta f }{N_0 /2} = \frac{ 10^{ - 8}\,(\rm V/Hz)^2 \;\cdot10^4 \;{\rm{Hz}} }{10^{ - 6}\,\rm V^2/Hz} = 10^2  
 
:$$\rho _d  = \frac{G_0 ^2 \cdot \Delta f }{N_0 /2} = \frac{ 10^{ - 8}\,(\rm V/Hz)^2 \;\cdot10^4 \;{\rm{Hz}} }{10^{ - 6}\,\rm V^2/Hz} = 10^2  
 
\quad \Rightarrow \quad 10\lg \rho _d \hspace{0.15cm}\underline { = 20\;{\rm{dB}}}.$$
 
\quad \Rightarrow \quad 10\lg \rho _d \hspace{0.15cm}\underline { = 20\;{\rm{dB}}}.$$
  
  
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'''(3)'''&nbsp; Allgemein gilt für das SNR bei farbiger Störung:
 
'''(3)'''&nbsp; Allgemein gilt für das SNR bei farbiger Störung:
 
:$$\rho _d  = 2 \cdot \int_0^\infty  \frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{{\it \Phi}_n (f)} \, {\rm{d}}f.$$
 
:$$\rho _d  = 2 \cdot \int_0^\infty  \frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{{\it \Phi}_n (f)} \, {\rm{d}}f.$$
  
*Wie aus nebenstehender qualitativer Skizze hervorgeht, ist der Integrand bei den vorgegebenen Frequenzgängen stückweise konstant.  
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*Wie aus der Skizze hervorgeht,&nbsp; ist der Integrand bei den vorgegebenen Frequenzgängen stückweise konstant.  
 
*Mit&nbsp; $f_{\rm G} = 5 \; \rm kHz$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm N} = f_{\rm G}/2 = 2.5 \; \rm kHz$&nbsp; erhält man somit:
 
*Mit&nbsp; $f_{\rm G} = 5 \; \rm kHz$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm N} = f_{\rm G}/2 = 2.5 \; \rm kHz$&nbsp; erhält man somit:
 
:$$\rho _d  = 2 \cdot 2.5\;{\rm{kHz}}\left( { \frac{10^{ - 2}}{\rm{Hz}} +  \frac{1}{{{\rm{Hz}}}} } \right) = 5.05 \cdot 10^3
 
:$$\rho _d  = 2 \cdot 2.5\;{\rm{kHz}}\left( { \frac{10^{ - 2}}{\rm{Hz}} +  \frac{1}{{{\rm{Hz}}}} } \right) = 5.05 \cdot 10^3
 
\quad \Rightarrow \quad 10\cdot\lg \rho _d  \hspace{0.15cm}\underline {= 37.03\;{\rm{dB}}}.$$
 
\quad \Rightarrow \quad 10\cdot\lg \rho _d  \hspace{0.15cm}\underline {= 37.03\;{\rm{dB}}}.$$
 
  
 
'''Interpretation''':&nbsp;  
 
'''Interpretation''':&nbsp;  
 
*Der Matched&ndash;Filter&ndash;Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm MF}(f)$&nbsp; hat genau den selben Verlauf wie der oben skizzierte Integrand.  
 
*Der Matched&ndash;Filter&ndash;Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm MF}(f)$&nbsp; hat genau den selben Verlauf wie der oben skizzierte Integrand.  
*Wird die Konstante&nbsp; $K_{\rm MF}$&nbsp; (willkürlich) so gewählt, dass im Bereich&nbsp; $f_{\rm N} \le |f| \le f_{\rm G}$&nbsp; der MF&ndash;Frequenzgang den Wert&nbsp; $1$&nbsp; besitzt, so gilt für tiefe Frequenzen&nbsp;  $(|f| < f_{\rm G})$:  &nbsp; $H_{\rm MF}(f) = 0.01$. Das bedeutet:  
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*Wird die Konstante&nbsp; $K_{\rm MF}$&nbsp; (willkürlich) so gewählt,&nbsp; dass&nbsp; $H_{\rm MF}(f) = 1$&nbsp; im Bereich&nbsp; $f_{\rm N} \le |f| \le f_{\rm G}$,&nbsp; so gilt für Frequenzen&nbsp;  $(|f| < f_{\rm N})$:  &nbsp; $H_{\rm MF}(f) = 0.01$. Das bedeutet:&nbsp; Das Matched&ndash;Filter bevorzugt diejenigen Frequenzen, die durch die Störung&nbsp; ${\it \Phi}_n(f)$&nbsp; nur wenig beeinträchtigt werden.
:*Das Matched&ndash;Filter bevorzugt diejenigen Frequenzen, die durch die Störung&nbsp; ${\it \Phi}_n(f)$&nbsp; nur wenig beeinträchtigt werden.
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*Würde man stattdessen ein Filter&nbsp; $H(f)$&nbsp; verwenden,&nbsp; das alle Frequenzen des Nutzsignals bis einschließlich&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; gleich bewertet&nbsp; (violetter Kurvenverlauf in der unteren Skizze),&nbsp; so ergäben sich folgende Verhältnisse:
:*Würde man stattdessen ein Filter&nbsp; $H(f)$&nbsp; verwenden, das alle Frequenzen des Nutzsignals bis einschließlich&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; gleich bewertet&nbsp; (violetter Kurvenverlauf in der unteren Skizze), so ergäben sich folgende Verhältnisse:
 
 
::$$d_{\rm S}( {T_{\rm D} } ) = G_0  \cdot 2 \cdot f_{\rm G}  = 1\;{\rm{V}}, \quad \sigma _d ^2  = 10^{ - 6} \frac{{{\rm{V}}^{\rm{2}} }}{{{\rm{Hz}}}} \cdot f_{\rm G}  + 10^{ - 8} \frac{{{\rm{V}}^{\rm{2}} }}{{{\rm{Hz}}}} \cdot ( {f_{\rm G}  - f_{\rm N} } ) = 2.5 \cdot 1.01 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}$$
 
::$$d_{\rm S}( {T_{\rm D} } ) = G_0  \cdot 2 \cdot f_{\rm G}  = 1\;{\rm{V}}, \quad \sigma _d ^2  = 10^{ - 6} \frac{{{\rm{V}}^{\rm{2}} }}{{{\rm{Hz}}}} \cdot f_{\rm G}  + 10^{ - 8} \frac{{{\rm{V}}^{\rm{2}} }}{{{\rm{Hz}}}} \cdot ( {f_{\rm G}  - f_{\rm N} } ) = 2.5 \cdot 1.01 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}$$
 
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho _d  = \frac {d_{\rm S}( {T_{\rm D} } )^2}{\sigma _d ^2} = \frac{1 \;{\rm{V}}^{\rm{2}}}{2.525 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}} = 396 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \, \rho _d  = 25.98 \, {\rm dB}.$$
 
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho _d  = \frac {d_{\rm S}( {T_{\rm D} } )^2}{\sigma _d ^2} = \frac{1 \;{\rm{V}}^{\rm{2}}}{2.525 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}} = 396 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \, \rho _d  = 25.98 \, {\rm dB}.$$
:*Das Signal&ndash;zu&ndash;Rauschverhältnis ist somit um ca.&nbsp; $11\ \rm  dB$&nbsp; schlechter, als wenn man das Matched&ndash;Filter für farbige Störungen verwendet.
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*Das Signal&ndash;zu&ndash;Rauschverhältnis ist somit um ca.&nbsp; $11\ \rm  dB$&nbsp; schlechter,&nbsp; als wenn man das Matched&ndash;Filter für farbige Störungen verwendet.
 
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Aktuelle Version vom 23. Februar 2022, 14:19 Uhr

Nutzsignal–Spektrum  $G(f)$  und LDS  ${\it \Phi}_n (f)$  der Störung

Die bei einem System wirksame Störleistungsdichte kann als bereichsweise konstant angenommen werden:

$$\it{\Phi} _n \left( f \right) = \left\{ \begin{array}{l} N_0 /2 \\ N_1 /2 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{20}c} \rm{f\ddot{u}r} \\ \rm{f\ddot{u}r} \\\end{array}\quad \begin{array}{*{20}c} {\left| f \right| \le f_{\rm N} ,} \\ {\left| f \right| > f_{\rm N} .} \\\end{array}$$
  • Hierbei sei die Störleistungsdichte  $N_1$  im äußeren Bereich  $|f| > f_{\rm N}$  stets sehr viel kleiner als  $N_0$.
  • Verwenden Sie zum Beispiel die folgenden Werte:
$$N_0 = 2 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} /{\rm{Hz}},\quad N_1 = 2 \cdot 10^{ - 8} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}/ {\rm{Hz}}.$$

Ein solches Störsignal  $n(t)$  tritt zum Beispiel auf,  wenn die dominante Störquelle nur Anteile unterhalb der Grenzfrequenz  $f_{\rm N}$  beinhaltet.  Aufgrund des unvermeidbaren thermischen Rauschens ist auch für  $|f| > f_{\rm N}$  die Störleistungsdichte  ${\it \Phi}_n(f) \ne 0$.

Weiter gelte:

  • Das Spektrum  $G(f)$  des Nutzsignals sei entsprechend der obigen Skizze ebenfalls rechteckförmig.
  • Der zugehörige Nutzimpuls  $g(t)$  hat deshalb mit  $\Delta f = 2 \cdot f_{\rm G}$  den folgenden Verlauf:
$$g(t) = G_0 \cdot \Delta f \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} \left( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta f \cdot t} \right).$$
  • Das Empfangsfilter sei optimal an das Nutzspektrum  $G(f)$  und das Störleistungsdichtespektrums  ${\it \Phi}_n(f)$  angepasst.
  • Das heißt,  das Empfangsfilter entspricht dem Matched-Filter-Kriterium:  $H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f)$. 
  • Der Detektionszeitpunkt sei vereinfachend  $T_{\rm D} = 0$  (akausale Systembeschreibung).



Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Matched-Filter.
  • Verwenden Sie für numerische Berechnungen stets die Zahlenwerte
$$G_0 = 10^{ - 4} \;{\rm{V/Hz}}{\rm{, }}\quad \Delta f = 10\;{\rm{kHz}}.$$


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen gelten unter der Voraussetzung  $f_{\rm N} > f_{\rm G}$?

Anwendbar ist das „Matched-Filter für Weißes Rauschen”.
Der MF–Ausgangsimpuls ist dreieckförmig.
Der MF–Ausgangsimpuls ist  $\rm si$–förmig.
Der MF–Ausgangsimpuls ist  $\rm si^2$–förmig.

2

Welches S/N–Verhältnis (in dB) ergibt sich für  $f_{\rm N} > f_{\rm G}$?

$10 \cdot \lg \; \rho_d \ = \ $

$\ \rm dB$

3

Welches SNR (in dB) ergibt sich für  $f_{\rm N} = f_{\rm G}/2$?  Interpretation.

$10 \cdot \lg \; \rho_d \ = \ $

$\ \rm dB$


Musterlösung

(1)  Richtig sind  die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Für alle Frequenzen  $|f| > f_{\rm G}$,  bei denen das Nutzsignal Spektralanteile besitzt  $(G_d(f) \ne 0)$,  ist das Störleistungsdichtespektrum  ${\it}\Phi_n(f) = N_0/2$.
  • Damit lautet der Frequenzgang des Matched-Filters,  $T_{\rm D} = 0$  vorausgesetzt:
$$H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G(f).$$
  • Der optimale Frequenzgang  $H_{\rm MF}(f)$  ist in diesem Fall ebenso wie  $G(f)$  rechteckförmig mit Breite  $\Delta f$.
  • Für den Nutzanteil des MF-Ausgangssignals gilt somit:
$$d_{\rm S}(t)\quad \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \quad G(f) \cdot H_{\rm MF} (f).$$
  • Das Produkt zweier Rechteckfunktionen gleicher Breite ergibt wiederum eine Rechteckfunktion.
  • Daraus folgt weiter,  dass der Ausgangsimpuls des Matched-Filters ebenfalls  $\rm si$-förmig verläuft.



(2)  Bei weißem Rauschen erhält man:

$$\rho _d = \frac{1}{N_0 /2}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {G(f)} \right|^2 \, {\rm{d}}f.}$$
  • Das Integral liefert den Wert  $G_0^2 \cdot \Delta f$.  Daraus folgt:
Zur Teilaufgabe  (3)
$$\rho _d = \frac{G_0 ^2 \cdot \Delta f }{N_0 /2} = \frac{ 10^{ - 8}\,(\rm V/Hz)^2 \;\cdot10^4 \;{\rm{Hz}} }{10^{ - 6}\,\rm V^2/Hz} = 10^2 \quad \Rightarrow \quad 10\lg \rho _d \hspace{0.15cm}\underline { = 20\;{\rm{dB}}}.$$


(3)  Allgemein gilt für das SNR bei farbiger Störung:

$$\rho _d = 2 \cdot \int_0^\infty \frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{{\it \Phi}_n (f)} \, {\rm{d}}f.$$
  • Wie aus der Skizze hervorgeht,  ist der Integrand bei den vorgegebenen Frequenzgängen stückweise konstant.
  • Mit  $f_{\rm G} = 5 \; \rm kHz$  und  $f_{\rm N} = f_{\rm G}/2 = 2.5 \; \rm kHz$  erhält man somit:
$$\rho _d = 2 \cdot 2.5\;{\rm{kHz}}\left( { \frac{10^{ - 2}}{\rm{Hz}} + \frac{1}{{{\rm{Hz}}}} } \right) = 5.05 \cdot 10^3 \quad \Rightarrow \quad 10\cdot\lg \rho _d \hspace{0.15cm}\underline {= 37.03\;{\rm{dB}}}.$$

Interpretation

  • Der Matched–Filter–Frequenzgang  $H_{\rm MF}(f)$  hat genau den selben Verlauf wie der oben skizzierte Integrand.
  • Wird die Konstante  $K_{\rm MF}$  (willkürlich) so gewählt,  dass  $H_{\rm MF}(f) = 1$  im Bereich  $f_{\rm N} \le |f| \le f_{\rm G}$,  so gilt für Frequenzen  $(|f| < f_{\rm N})$:   $H_{\rm MF}(f) = 0.01$. Das bedeutet:  Das Matched–Filter bevorzugt diejenigen Frequenzen, die durch die Störung  ${\it \Phi}_n(f)$  nur wenig beeinträchtigt werden.
  • Würde man stattdessen ein Filter  $H(f)$  verwenden,  das alle Frequenzen des Nutzsignals bis einschließlich  $f_{\rm G}$  gleich bewertet  (violetter Kurvenverlauf in der unteren Skizze),  so ergäben sich folgende Verhältnisse:
$$d_{\rm S}( {T_{\rm D} } ) = G_0 \cdot 2 \cdot f_{\rm G} = 1\;{\rm{V}}, \quad \sigma _d ^2 = 10^{ - 6} \frac{{{\rm{V}}^{\rm{2}} }}{{{\rm{Hz}}}} \cdot f_{\rm G} + 10^{ - 8} \frac{{{\rm{V}}^{\rm{2}} }}{{{\rm{Hz}}}} \cdot ( {f_{\rm G} - f_{\rm N} } ) = 2.5 \cdot 1.01 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}$$
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho _d = \frac {d_{\rm S}( {T_{\rm D} } )^2}{\sigma _d ^2} = \frac{1 \;{\rm{V}}^{\rm{2}}}{2.525 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}} = 396 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \, \rho _d = 25.98 \, {\rm dB}.$$
  • Das Signal–zu–Rauschverhältnis ist somit um ca.  $11\ \rm dB$  schlechter,  als wenn man das Matched–Filter für farbige Störungen verwendet.