Aufgaben:Aufgabe 5.8: Matched-Filter für farbige Störung: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID646__Sto_A_5_8.png|right|Zum Matched-Filter bei farbiger Störung ]]
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[[Datei:P_ID646__Sto_A_5_8.png|right|frame|Spektrum  $G(f)$  des Nutzsignals und LDS  ${\it \Phi}_n (f)$  der Störung ]]
 
Am Eingang eines Filters liegt ein Gaußimpuls
 
Am Eingang eines Filters liegt ein Gaußimpuls
 
:$$g(t) = g_0  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t} \right)^2 }$$
 
:$$g(t) = g_0  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t} \right)^2 }$$
  
mit Amplitude $g_0 = 2 \hspace{0.05cm}\rm V$ und äquivalenter Impulsdauer $\Delta t = 1 \hspace{0.05cm}\rm ms$ an. Die dazugehörige Spektralfunktion $G(f)$ ist oben skizziert. Die Energie dieses Gaußimpulses ist wie folgt gegeben:
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mit Amplitude  $g_0 = 2 \hspace{0.08cm}\rm V$  und äquivalenter Impulsdauer  $\Delta t = 1 \hspace{0.08cm}\rm ms$  an.  
:$$E_g  = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g\left( t \right)^2 {\rm{d}}t = \frac{g_0 ^2  \cdot \Delta t}{\sqrt 2 }}  = 2.83 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}.$$
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*Die dazugehörige Spektralfunktion  $G(f)$  ist oben skizziert.  
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*Die Energie dieses Gaußimpulses ist wie folgt gegeben:
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:$$E_g  = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g^2(t) \ {\rm{d}}t = \frac{g_0 ^2  \cdot \Delta t}{\sqrt 2 }}  = 2.83 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}.$$
  
Dem Impuls $g(t)$ ist eine Störung $n(t)$ überlagert, die den Impuls weitgehend überdeckt. Hierfür werden zwei Alternativen betrachtet:
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*Die zweiseitige Störleistungsdichte sei konstant (nur bei der ersten Teilaufgabe):
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Dem Impuls  $g(t)$  ist eine Störung  $n(t)$  überlagert,  die den Impuls weitgehend überdeckt. 
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Hierfür werden zwei Alternativen betrachtet:
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*Die zweiseitige Störleistungsdichte sei konstant  (nur bei der ersten Teilaufgabe):
 
:$${\it \Phi}_n (f) = \frac{N_0 }{2},\quad N_0  = 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}/ {\rm{Hz}}.$$
 
:$${\it \Phi}_n (f) = \frac{N_0 }{2},\quad N_0  = 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}/ {\rm{Hz}}.$$
*Das Störsignal <i>n</i>(<i>t</i>) sei farbig mit folgender Störleistungsdichte:
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*Das Störsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; sei farbig mit folgender Störleistungsdichte:
 
:$${\it \Phi}_n (f) = \frac{N_0 /2}{{1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }},\quad f_0  = 500\;{\rm{Hz}}.$$
 
:$${\it \Phi}_n (f) = \frac{N_0 /2}{{1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }},\quad f_0  = 500\;{\rm{Hz}}.$$
  
 
Dieser zweite LDS-Verlauf kann zum Beispiel aus weißem Rauschen durch ein Formfilter mit dem Frequenzgang
 
Dieser zweite LDS-Verlauf kann zum Beispiel aus weißem Rauschen durch ein Formfilter mit dem Frequenzgang
:$$H_{\rm N}(f) = \frac{1}{{1 + {\rm{j}}f/f_0 }}\quad\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \quad h_{\rm N}(t) = 2{\rm{\pi }}f_0  \cdot {\rm{e}}^{ - 2{\rm{\pi }}f_0 t} $$
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:$$H_{\rm N}(f) = \frac{1}{{1 + {\rm{j}}\cdot f/f_0 }}\quad\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \quad h_{\rm N}(t) = 2{\rm{\pi }}f_0  \cdot {\rm{e}}^{ - 2{\rm{\pi }}f_0 t} $$
modelliert werden (Tiefpass erster Ordnung). Weiter soll gelten:
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modelliert werden&nbsp; (Tiefpass erster Ordnung).&nbsp; Weiter soll gelten:
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*Das Filter sei jeweils optimal an die Sendeimpulsform&nbsp; $g(t)$&nbsp; und das Störleistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_n (f)$&nbsp; angepasst: &nbsp;
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:$$H(f) = H_{\rm MF}(f).$$
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*Die Filterkonstante&nbsp; $K_{\rm MF}$&nbsp; ist so zu wählen, dass&nbsp; $H(f= 0) =1$&nbsp; gilt.
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*Der Detektionszeitpunkt sei vereinfachend&nbsp; $T_{\rm D}= 0$&nbsp; (akausale Systembeschreibung).
  
*Das Filter sei jeweils optimal an die Sendeimpulsform $g(t)$ und das Störleistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_n (f)$ angepasst: &nbsp; $H(f) = H_{\rm MF}(f)$.
 
*Die Filterkonstante $K_{\rm MF}$ ist so zu wählen, dass $H(f= 0) =1$ wird.
 
Der Detektionszeitpunkt sei vereinfachend $T_{\rm D}= 0$ (akausale Systembeschreibung).
 
  
  
''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter|Matched-Filter]].
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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Hinweise:  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter|Matched-Filter]].  
 
*Gegeben ist zudem das folgende bestimmte Integral:
 
*Gegeben ist zudem das folgende bestimmte Integral:
 
:$$\frac{1}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}} }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x^2  \cdot {\rm e}^{ - x^2 /2} \,\,{\rm{d}}x}  = 1.$$
 
:$$\frac{1}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}} }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x^2  \cdot {\rm e}^{ - x^2 /2} \,\,{\rm{d}}x}  = 1.$$
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<quiz display=simple>
 
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{Wie groß ist das S/N&ndash;Verhältnis (in dB) im Fall des weißen Rauschens?
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{Wie groß ist das&nbsp; "maximale S/N&ndash;Verhältnis"&nbsp; $\rho_{\rm MF,\hspace{0.08cm} \rm WR}$&nbsp; (in dB)&nbsp; im Fall des weißen Rauschens?
 
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$10\ \cdot \ lg\ \rho_\text{d,WR}$ = { 37.53 3% } $dB$
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$10 \cdot \lg \hspace{0.1cm} \rho_{\rm MF,\hspace{0.08cm} \rm WR} \ = \ $ { 37.53 3% } $\ \rm dB$
  
  
{Berechnen Sie den MF&ndash;Frequenzgang bei den vorliegenden farbigen Störungen. Welchen Wert besitzt <i>H</i><sub>MF</sub>(<i>f</i>) bei <i>f</i> = 1 kHz betragsmäßig?
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{Berechnen Sie den Matched&ndash;Filter&ndash;Frequenzgang bei den vorliegenden farbigen Störungen.&nbsp; <br>Welchen Wert besitzt&nbsp; $H_\text{MF}(f)$&nbsp; bei der Frequenz&nbsp; $f = 1 \hspace{0.08cm} \rm kHz$&nbsp; betragsmäßig?
 
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$|H_\text{MF}(f = 1 kHz)|$ = { 0.216 3% }
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$|H_\text{MF}(f = 1 \hspace{0.08cm} \rm kHz)| \ =  \ $ { 0.216 3% }
  
  
{Welches S/N&ndash;Verhältnis (in dB) stellt sich im Fall der vorgegebenen farbigen Störung am Empfänger ein? Begründen Sie das bessere Ergebnis.
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{Welches&nbsp; "maximale S/N&ndash;Verhältnis"&nbsp; $\rho_{\rm MF}$&nbsp; stellt sich im Fall der vorgegebenen farbigen Störung am Empfänger ein?&nbsp; Begründen Sie das bessere Ergebnis.
 
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$10\ \cdot \ lg \ \rho_d$ = { 38.73 3% } $dB$
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$10 \cdot \lg \hspace{0.1cm} \rho_{\rm MF} \ =  \ $ { 38.73 3% } $\ \rm dB$
 
 
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Bei weißem Rauschen gilt nach den allgemeinen Gleichungen von Kapitel 5.4:
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'''(1)'''&nbsp; Bei weißem Rauschen gilt nach den allgemeinen Gleichungen im Theorieteil:
:$$\rho_{d, \rm WR}  = \frac{2E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 2.83 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{10^{ - 6} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}/ {\rm{Hz}}}} = 5.66 \cdot 10^3 \quad
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:$$\rho_{d,\ \rm WR}  = \frac{2E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 2.83 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{10^{ - 6} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}/ {\rm{Hz}}}} = 5.66 \cdot 10^3 \quad
\Rightarrow \quad 10\lg \cdot \rho _{d, \rm WR}  \hspace{0.15cm}\underline {= 37.53\;{\rm{dB}}}.$$
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\Rightarrow \quad 10\lg \cdot \rho _{d,\ \rm WR}  \hspace{0.15cm}\underline {= 37.53\;{\rm{dB}}}.$$
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:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Für den Frequenzgang bei farbigen Störungen gilt unter der Bedingung <i>T</i><sub>D</sub> = 0:
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'''(2)'''&nbsp; Für den Frequenzgang bei farbigen Störungen gilt unter der Bedingung&nbsp; $T_{\rm D}= 0$:
 
:$$H_\text{MF} (f) = K_\text{MF}\cdot  \frac{G^{\star}  (f)}{\left| {H_{\rm N} (f)} \right|^2 }\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.15cm}
 
:$$H_\text{MF} (f) = K_\text{MF}\cdot  \frac{G^{\star}  (f)}{\left| {H_{\rm N} (f)} \right|^2 }\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.15cm}
G(f) = g_0  \cdot \Delta t \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f} \right)^2 } ,\hspace{0.15cm}\frac{1}{\left| {H_{\rm N} (f)} \right|^2 } = 1\hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm}\left( {\frac{f}{f_0 }} \right)^2\hspace{-0.15cm} .$$
+
G(f) = g_0  \cdot \Delta t \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f} \right)^2 } ,\hspace{0.15cm}\frac{1}{\left| {H_{\rm N} (f)} \right|^2 } =1+\left( f/f_0 \right)^2. $$
  
:Aus der Bedingung <i>H</i><sub>MF</sub> (<i>f</i> = 0) = 1 folgt <i>K</i><sub>MF</sub> = 1/(<i>g</i><sub>0</sub> &middot; &Delta;<i>t</i>). Damit erhält man:
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*Aus der Bedingung &nbsp;$H_\text{MF}(f = 0) = 1$&nbsp; folgt &nbsp;$K_\text{MF} = 1/(g_0 \cdot \Delta t)$.&nbsp; Damit erhält man:
:$$H_{\rm MF} (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t \cdot f} \right)^2 }  \cdot \left( {1 + \left( {{f}/{f_0 }} \right)^2 } \right).$$
+
:$$H_{\rm MF} (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}[ {\Delta t \cdot f} ]^2 }  \cdot \left( {1 + \left(f/f_0 \right)^2 } \right).$$
  
:Bei weißem (frequenzunabhängigen) Rauschen wäre das Matched-Filter allein durch den ersten Term gegeben, der die Anpassung an den Nutzimpuls <i>g</i>(<i>t</i>) bewirkt. Bei farbigen Störungen &nbsp;&#8658;&nbsp; Störleistungsdichtespektrum <i>&Phi;<sub>n</sub></i>(<i>f</i>) werden höhere Frequenzen durch den Korrekturterm <nobr>1 + (<i>f</i>/<i>f</i><sub>0</sub>)<sup>2</sup></nobr> angehoben, da in diesem Bereich die Störungen geringer sind. Für <i>f</i> = 1/&Delta;<i>t</i> = 2<i>f</i><sub>0</sub> = 1 kHz erhält man:
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*Bei weißem&nbsp; (frequenzunabhängigen)&nbsp; Rauschen wäre das Matched-Filter allein durch den ersten Term gegeben,&nbsp; der die Anpassung an den Impuls&nbsp; $g(t)$&nbsp; bewirkt.  
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*Bei farbigen Störungen &nbsp;&#8658;&nbsp; Störleistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_n(f)$&nbsp; werden höhere Frequenzen durch den Korrekturterm&nbsp; $1+\left( f/f_0 \right)^2$&nbsp; angehoben,&nbsp; da in diesem Bereich die Störungen geringer sind.  
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*Für&nbsp; $f = 1/\Delta t = 2f_0 = 1\hspace{0.08cm} \rm kHz$&nbsp; erhält man:
 
:$$H_{\rm MF} ( {f = {1}/{\Delta t}} ) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}}  \cdot \left( {1 + 2^2 } \right) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.216}.$$
 
:$$H_{\rm MF} ( {f = {1}/{\Delta t}} ) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}}  \cdot \left( {1 + 2^2 } \right) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.216}.$$
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Allgemein gilt für das S/N&ndash;Verhältnis am Ausgang des Matched-Filters:
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'''(3)'''&nbsp; Allgemein gilt für das S/N&ndash;Verhältnis am Ausgang des Matched-Filters:
 
:$$\rho _d  = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{\it{\Phi _n} \left( f \right)}\,\,{\rm{d}}f = } \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{N_0 /2}} \, \,{\rm{d}}f \hspace{0.3cm}+ \hspace{0.3cm} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{N_0 /2}}  \cdot \frac{f^2 }{f_0 ^2 }\,\,{\rm{d}}f.$$
 
:$$\rho _d  = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{\it{\Phi _n} \left( f \right)}\,\,{\rm{d}}f = } \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{N_0 /2}} \, \,{\rm{d}}f \hspace{0.3cm}+ \hspace{0.3cm} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{N_0 /2}}  \cdot \frac{f^2 }{f_0 ^2 }\,\,{\rm{d}}f.$$
  
:Der erste Summand ist gleich dem S/N&ndash;Verhältnis bei weißem Rauschen. Für den zweiten Summanden erhält man:
+
*Der erste Summand ist gleich dem S/N&ndash;Verhältnis bei weißem Rauschen.&nbsp; Für den zweiten Summanden erhält man:
 
:$$\Delta \rho _d  = \frac{g_0 ^2  \cdot \Delta t^2 }{N_0 /2 \cdot f_0 ^2 }\cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f^2  \cdot {\rm{e}}^{ - 2{\rm{\pi }}\left( {f \cdot \Delta t} \right)^2 } }\,\, {\rm{d}}f.$$
 
:$$\Delta \rho _d  = \frac{g_0 ^2  \cdot \Delta t^2 }{N_0 /2 \cdot f_0 ^2 }\cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f^2  \cdot {\rm{e}}^{ - 2{\rm{\pi }}\left( {f \cdot \Delta t} \right)^2 } }\,\, {\rm{d}}f.$$
  
:Nach der Substitution <i>x</i> = 2 &middot; &pi;<sup>1/2</sup> &middot; <i>f</i> &middot; &Delta;<i>t</i> lautet dieses Integral:
+
*Nach der Substitution&nbsp; $x = 2 \cdot \pi^{0.5}\cdot f \cdot \Delta t$&nbsp; lautet dieses Integral:
 
:$$\Delta \rho _d  = \frac{\sqrt 2  \cdot g_0 ^2  \cdot \Delta t}{N_0 } \cdot \frac{1}{{4{\rm{\pi }}\left( {\Delta t \cdot f_0 } \right)^2 }} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{x^2 }{\sqrt {2{\rm{\pi }}} }}  \cdot {\rm{e}}^{ - x^2 /2}\,\, {\rm{d}}x.$$
 
:$$\Delta \rho _d  = \frac{\sqrt 2  \cdot g_0 ^2  \cdot \Delta t}{N_0 } \cdot \frac{1}{{4{\rm{\pi }}\left( {\Delta t \cdot f_0 } \right)^2 }} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{x^2 }{\sqrt {2{\rm{\pi }}} }}  \cdot {\rm{e}}^{ - x^2 /2}\,\, {\rm{d}}x.$$
  
:Dieses bestimmte Integral wurde vorne angegeben; es hat den Wert 1. Der erste Faktor beschreibt wiederum das S/N&ndash;Verhältnis bei weißem Rauschen. Damit ergeben sich folgende Gleichungen:
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*Dieses bestimmte Integral wurde vorne angegeben;&nbsp; es hat den Wert&nbsp; $1$.&nbsp; Der erste Faktor beschreibt wiederum das S/N&ndash;Verhältnis bei weißem Rauschen.  
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*Damit ergeben sich folgende Gleichungen:
 
:$$\Delta \rho _d  = \rho _{d,\rm WR}  \cdot \frac{1}{{4{\rm{\pi }}\left( {\Delta t \cdot f_0 } \right)^2 }}, \hspace{1cm}
 
:$$\Delta \rho _d  = \rho _{d,\rm WR}  \cdot \frac{1}{{4{\rm{\pi }}\left( {\Delta t \cdot f_0 } \right)^2 }}, \hspace{1cm}
 
\rho _d  = \rho _{d,\rm WR}  + \Delta \rho _d  = \rho _{d, \rm WR} \left( {1 + \frac{1}{{4{\rm{\pi }}\left( {\Delta t \cdot f_0 } \right)^2 }}} \right).$$
 
\rho _d  = \rho _{d,\rm WR}  + \Delta \rho _d  = \rho _{d, \rm WR} \left( {1 + \frac{1}{{4{\rm{\pi }}\left( {\Delta t \cdot f_0 } \right)^2 }}} \right).$$
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\rho _d  = 1.318 \cdot \rho _{d,\rm WR}  = 7.46 \cdot 10^3 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \quad 10\lg \rho _d  \hspace{0.15cm}\underline {= 38.73\;{\rm{dB}}}.$$
 
\rho _d  = 1.318 \cdot \rho _{d,\rm WR}  = 7.46 \cdot 10^3 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \quad 10\lg \rho _d  \hspace{0.15cm}\underline {= 38.73\;{\rm{dB}}}.$$
  
:Es ergibt sich ein um 1.2 dB besseres Ergebnis als bei weißem Rauschen, da hier <i>&Phi;<sub>n</sub></i>(<i>f</i>) im gesamten Frequenzbereich mit Ausnahme der Frequenz <i>f</i> = 0 (hier gilt das Gleichheitszeichen) kleiner ist als <i>N</i><sub>0</sub>/2. Diese Tatsache wird auch vom Matched&ndash;Filter ausgenutzt.
+
<u>Fazit:</u> &nbsp; Es ergibt sich ein um&nbsp; $1.2 \; \rm dB$&nbsp; besseres Ergebnis als bei weißem Rauschen,&nbsp; da hier&nbsp; ${\it \Phi}_n(f)$&nbsp; im gesamten Frequenzbereich mit Ausnahme der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; $($hier gilt das Gleichheitszeichen$)$&nbsp; kleiner ist als&nbsp; $N_0/2$.&nbsp; Diese Tatsache wird auch vom Matched&ndash;Filter ausgenutzt.
 
{{ML-Fuß}}
 
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Aktuelle Version vom 22. Februar 2022, 10:58 Uhr

Spektrum  $G(f)$  des Nutzsignals und LDS  ${\it \Phi}_n (f)$  der Störung

Am Eingang eines Filters liegt ein Gaußimpuls

$$g(t) = g_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t} \right)^2 }$$

mit Amplitude  $g_0 = 2 \hspace{0.08cm}\rm V$  und äquivalenter Impulsdauer  $\Delta t = 1 \hspace{0.08cm}\rm ms$  an.

  • Die dazugehörige Spektralfunktion  $G(f)$  ist oben skizziert.
  • Die Energie dieses Gaußimpulses ist wie folgt gegeben:
$$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g^2(t) \ {\rm{d}}t = \frac{g_0 ^2 \cdot \Delta t}{\sqrt 2 }} = 2.83 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}.$$


Dem Impuls  $g(t)$  ist eine Störung  $n(t)$  überlagert,  die den Impuls weitgehend überdeckt. 

Hierfür werden zwei Alternativen betrachtet:

  • Die zweiseitige Störleistungsdichte sei konstant  (nur bei der ersten Teilaufgabe):
$${\it \Phi}_n (f) = \frac{N_0 }{2},\quad N_0 = 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}/ {\rm{Hz}}.$$
  • Das Störsignal  $n(t)$  sei farbig mit folgender Störleistungsdichte:
$${\it \Phi}_n (f) = \frac{N_0 /2}{{1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }},\quad f_0 = 500\;{\rm{Hz}}.$$

Dieser zweite LDS-Verlauf kann zum Beispiel aus weißem Rauschen durch ein Formfilter mit dem Frequenzgang

$$H_{\rm N}(f) = \frac{1}{{1 + {\rm{j}}\cdot f/f_0 }}\quad\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \quad h_{\rm N}(t) = 2{\rm{\pi }}f_0 \cdot {\rm{e}}^{ - 2{\rm{\pi }}f_0 t} $$

modelliert werden  (Tiefpass erster Ordnung).  Weiter soll gelten:

  • Das Filter sei jeweils optimal an die Sendeimpulsform  $g(t)$  und das Störleistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_n (f)$  angepasst:  
$$H(f) = H_{\rm MF}(f).$$
  • Die Filterkonstante  $K_{\rm MF}$  ist so zu wählen, dass  $H(f= 0) =1$  gilt.
  • Der Detektionszeitpunkt sei vereinfachend  $T_{\rm D}= 0$  (akausale Systembeschreibung).




Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Matched-Filter.
  • Gegeben ist zudem das folgende bestimmte Integral:
$$\frac{1}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}} }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x^2 \cdot {\rm e}^{ - x^2 /2} \,\,{\rm{d}}x} = 1.$$



Fragebogen

1

Wie groß ist das  "maximale S/N–Verhältnis"  $\rho_{\rm MF,\hspace{0.08cm} \rm WR}$  (in dB)  im Fall des weißen Rauschens?

$10 \cdot \lg \hspace{0.1cm} \rho_{\rm MF,\hspace{0.08cm} \rm WR} \ = \ $

$\ \rm dB$

2

Berechnen Sie den Matched–Filter–Frequenzgang bei den vorliegenden farbigen Störungen. 
Welchen Wert besitzt  $H_\text{MF}(f)$  bei der Frequenz  $f = 1 \hspace{0.08cm} \rm kHz$  betragsmäßig?

$|H_\text{MF}(f = 1 \hspace{0.08cm} \rm kHz)| \ = \ $

3

Welches  "maximale S/N–Verhältnis"  $\rho_{\rm MF}$  stellt sich im Fall der vorgegebenen farbigen Störung am Empfänger ein?  Begründen Sie das bessere Ergebnis.

$10 \cdot \lg \hspace{0.1cm} \rho_{\rm MF} \ = \ $

$\ \rm dB$


Musterlösung

(1)  Bei weißem Rauschen gilt nach den allgemeinen Gleichungen im Theorieteil:

$$\rho_{d,\ \rm WR} = \frac{2E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 2.83 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{10^{ - 6} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}/ {\rm{Hz}}}} = 5.66 \cdot 10^3 \quad \Rightarrow \quad 10\lg \cdot \rho _{d,\ \rm WR} \hspace{0.15cm}\underline {= 37.53\;{\rm{dB}}}.$$


(2)  Für den Frequenzgang bei farbigen Störungen gilt unter der Bedingung  $T_{\rm D}= 0$:

$$H_\text{MF} (f) = K_\text{MF}\cdot \frac{G^{\star} (f)}{\left| {H_{\rm N} (f)} \right|^2 }\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.15cm} G(f) = g_0 \cdot \Delta t \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f} \right)^2 } ,\hspace{0.15cm}\frac{1}{\left| {H_{\rm N} (f)} \right|^2 } =1+\left( f/f_0 \right)^2. $$
  • Aus der Bedingung  $H_\text{MF}(f = 0) = 1$  folgt  $K_\text{MF} = 1/(g_0 \cdot \Delta t)$.  Damit erhält man:
$$H_{\rm MF} (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}[ {\Delta t \cdot f} ]^2 } \cdot \left( {1 + \left(f/f_0 \right)^2 } \right).$$
  • Bei weißem  (frequenzunabhängigen)  Rauschen wäre das Matched-Filter allein durch den ersten Term gegeben,  der die Anpassung an den Impuls  $g(t)$  bewirkt.
  • Bei farbigen Störungen  ⇒  Störleistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_n(f)$  werden höhere Frequenzen durch den Korrekturterm  $1+\left( f/f_0 \right)^2$  angehoben,  da in diesem Bereich die Störungen geringer sind.
  • Für  $f = 1/\Delta t = 2f_0 = 1\hspace{0.08cm} \rm kHz$  erhält man:
$$H_{\rm MF} ( {f = {1}/{\Delta t}} ) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}} \cdot \left( {1 + 2^2 } \right) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.216}.$$


(3)  Allgemein gilt für das S/N–Verhältnis am Ausgang des Matched-Filters:

$$\rho _d = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{\it{\Phi _n} \left( f \right)}\,\,{\rm{d}}f = } \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{N_0 /2}} \, \,{\rm{d}}f \hspace{0.3cm}+ \hspace{0.3cm} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{N_0 /2}} \cdot \frac{f^2 }{f_0 ^2 }\,\,{\rm{d}}f.$$
  • Der erste Summand ist gleich dem S/N–Verhältnis bei weißem Rauschen.  Für den zweiten Summanden erhält man:
$$\Delta \rho _d = \frac{g_0 ^2 \cdot \Delta t^2 }{N_0 /2 \cdot f_0 ^2 }\cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f^2 \cdot {\rm{e}}^{ - 2{\rm{\pi }}\left( {f \cdot \Delta t} \right)^2 } }\,\, {\rm{d}}f.$$
  • Nach der Substitution  $x = 2 \cdot \pi^{0.5}\cdot f \cdot \Delta t$  lautet dieses Integral:
$$\Delta \rho _d = \frac{\sqrt 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \Delta t}{N_0 } \cdot \frac{1}{{4{\rm{\pi }}\left( {\Delta t \cdot f_0 } \right)^2 }} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{x^2 }{\sqrt {2{\rm{\pi }}} }} \cdot {\rm{e}}^{ - x^2 /2}\,\, {\rm{d}}x.$$
  • Dieses bestimmte Integral wurde vorne angegeben;  es hat den Wert  $1$.  Der erste Faktor beschreibt wiederum das S/N–Verhältnis bei weißem Rauschen.
  • Damit ergeben sich folgende Gleichungen:
$$\Delta \rho _d = \rho _{d,\rm WR} \cdot \frac{1}{{4{\rm{\pi }}\left( {\Delta t \cdot f_0 } \right)^2 }}, \hspace{1cm} \rho _d = \rho _{d,\rm WR} + \Delta \rho _d = \rho _{d, \rm WR} \left( {1 + \frac{1}{{4{\rm{\pi }}\left( {\Delta t \cdot f_0 } \right)^2 }}} \right).$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \Delta t \cdot f_0 = 0.5 : \hspace{0.3cm} \rho _d = 1.318 \cdot \rho _{d,\rm WR} = 7.46 \cdot 10^3 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \quad 10\lg \rho _d \hspace{0.15cm}\underline {= 38.73\;{\rm{dB}}}.$$

Fazit:   Es ergibt sich ein um  $1.2 \; \rm dB$  besseres Ergebnis als bei weißem Rauschen,  da hier  ${\it \Phi}_n(f)$  im gesamten Frequenzbereich mit Ausnahme der Frequenz  $f = 0$  $($hier gilt das Gleichheitszeichen$)$  kleiner ist als  $N_0/2$.  Diese Tatsache wird auch vom Matched–Filter ausgenutzt.