Aufgaben:Aufgabe 5.8: Entzerrung in Matrix–Vektor–Notation: Unterschied zwischen den Versionen

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*Zur Repräsentation des zyklischen Präfixes verwenden wir in dieser Aufgabe statt des erweiterten Sendevektors mit der zugehörigen Übertragungsmatrix  ${\rm\bf{H}}_{\rm ext}$  die zyklische Übertragungsmatrix
 
*Zur Repräsentation des zyklischen Präfixes verwenden wir in dieser Aufgabe statt des erweiterten Sendevektors mit der zugehörigen Übertragungsmatrix  ${\rm\bf{H}}_{\rm ext}$  die zyklische Übertragungsmatrix
 
:$${\rm\bf{H}}_{\rm{C}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } & {} \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } \\ \hline {h_2 } & {} & {h_0 } & {h_1 } \\ {h_1 } & {h_2 } & {} & {h_0 } \\ \end{array}} \right).$$
 
:$${\rm\bf{H}}_{\rm{C}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } & {} \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } \\ \hline {h_2 } & {} & {h_0 } & {h_1 } \\ {h_1 } & {h_2 } & {} & {h_0 } \\ \end{array}} \right).$$
*Für die Spektralkoeffizienten am Empfänger gelte nach der Diskreten Fouriertransformation (DFT):
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*Für die Spektralkoeffizienten am Empfänger gelte nach der Diskreten Fouriertransformation  $\rm (DFT)$:
 
:$${\rm\bf{R}} = {\rm\bf{D}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {H_0 } & {} & {} & {} \\ {} & {H_1 } & {} & {} \\ {} & {} & {H_2 } & {} \\ {} & {} & {} & {H_3 } \\ \end{array}} \right) ,$$
 
:$${\rm\bf{R}} = {\rm\bf{D}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {H_0 } & {} & {} & {} \\ {} & {H_1 } & {} & {} \\ {} & {} & {H_2 } & {} \\ {} & {} & {} & {H_3 } \\ \end{array}} \right) ,$$
 
:wobei die Diagonalelemente wie folgt zu berechnen sind:
 
:wobei die Diagonalelemente wie folgt zu berechnen sind:
 
:$$H_\mu = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi }} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} l \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\mu }/{4}} } .$$
 
:$$H_\mu = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi }} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} l \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\mu }/{4}} } .$$
 
*Die Entzerrung am Empfänger erfolgt durch Multiplikation im Frequenzbereich mit den Koeffizienten  $ e_\mu = {1}/{H_\mu }.$
 
*Die Entzerrung am Empfänger erfolgt durch Multiplikation im Frequenzbereich mit den Koeffizienten  $ e_\mu = {1}/{H_\mu }.$
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{Berechnen Sie die diskreten Empfangswerte &nbsp;$r = (r_0, r_1, r_2, r_3)$&nbsp; im Zeitbereich. Geben Sie zur Kontrolle &nbsp;$r_0$&nbsp; und &nbsp;$r_1$&nbsp; ein:
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{Berechnen Sie die diskreten Empfangswerte &nbsp;$r = (r_0, r_1, r_2, r_3)$&nbsp; im Zeitbereich.&nbsp; Geben Sie zur Kontrolle &nbsp;$r_0$&nbsp; und &nbsp;$r_1$&nbsp; ein:
 
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${\rm Re}\big[r_0\big] \ = \ $ { -0.202--0.198 }
 
${\rm Re}\big[r_0\big] \ = \ $ { -0.202--0.198 }
 
${\rm Im}\big[r_0\big] \ = \ $ { 0. }  
 
${\rm Im}\big[r_0\big] \ = \ $ { 0. }  
 
${\rm Re}\big[r_1\big] \ = \ $ { 0.2 1% }
 
${\rm Re}\big[r_1\big] \ = \ $ { 0.2 1% }
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${\rm Im}\big[r_1\big] \ = \ $ { 0. }  
  
{Wie lauten die diskreten Spektralbereichskoeffizienten &nbsp;${\rm\bf{D}}= (D_0, D_1, D_2, D_3)$&nbsp; am Sender?  Geben Sie zur Kontrolle &nbsp;$D_2$&nbsp; und &nbsp;$D_3$&nbsp; ein.
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{Wie lauten die diskreten Spektralbereichskoeffizienten &nbsp;${\rm\bf{D}}= (D_0, D_1, D_2, D_3)$&nbsp; am Sender?&nbsp; Geben Sie zur Kontrolle &nbsp;$D_2$&nbsp; und &nbsp;$D_3$&nbsp; ein.
 
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${\rm Re}\big[D_2\big] \ = \ $ { 1 3% }
 
${\rm Re}\big[D_2\big] \ = \ $ { 1 3% }
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${\rm Im}\big[D_3\big] \ = \ $ { 0. }
 
${\rm Im}\big[D_3\big] \ = \ $ { 0. }
  
{Berechnen Sie die diskreten Spektralkoeffizienten &nbsp;${\rm\bf{R}}= (R_0, R_1, R_2, R_3)$&nbsp; nach dem Kanal. Geben Sie zur Kontrolle &nbsp;$R_2$&nbsp; und &nbsp;$R_3$&nbsp; ein:
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{Berechnen Sie die diskreten Spektralkoeffizienten &nbsp;${\rm\bf{R}}= (R_0, R_1, R_2, R_3)$&nbsp; nach dem Kanal.&nbsp; Geben Sie zur Kontrolle &nbsp;$R_2$&nbsp; und &nbsp;$R_3$&nbsp; ein:
 
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${\rm Re}\big[R_2\big] \ = \ $  { -0.202--0.198 }  
 
${\rm Re}\big[R_2\big] \ = \ $  { -0.202--0.198 }  
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{Wie bezeichnet man den verwendeten Entzerrungsansatz?
 
{Wie bezeichnet man den verwendeten Entzerrungsansatz?
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+ Als „Zero Forcing”–Ansatz,
 
+ Als „Zero Forcing”–Ansatz,
 
- als „Matched Filter”–Ansatz,
 
- als „Matched Filter”–Ansatz,
- als „Minimum Mean Square Error (MMSE)”–Ansatz.
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- als „Minimum Mean Square Error&nbsp; $\rm (MMSE)$”–Ansatz.
 
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
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'''(1)'''&nbsp;  Die diskreten Zeitbereichswerte am Empfänger berechnen sich mit der zyklischen Übertragungsmatrix ${\rm\bf{H}}_{\rm{C}} $ wie folgt:
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'''(1)'''&nbsp;  Die diskreten Zeitbereichswerte am Empfänger berechnen sich mit der zyklischen Übertragungsmatrix&nbsp; ${\rm\bf{H}}_{\rm{C}} $&nbsp; wie folgt:
 
:$${\rm\bf{r}} = {\rm\bf{d}} \cdot {\rm\bf{H}}_{\rm{C}} = \left( {+1 ,-1 ,+1 ,-1 } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {0 } & {0.6 } & {0.4 } & {} \\ {} & {0 } & {0.6 } & {0.4 } \\ \hline {0.4 } & {} & {0 } & {0.6 } \\ {0.6 } & {0.4 } & {} & {0 } \\ \end{array}} \right)$$
 
:$${\rm\bf{r}} = {\rm\bf{d}} \cdot {\rm\bf{H}}_{\rm{C}} = \left( {+1 ,-1 ,+1 ,-1 } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {0 } & {0.6 } & {0.4 } & {} \\ {} & {0 } & {0.6 } & {0.4 } \\ \hline {0.4 } & {} & {0 } & {0.6 } \\ {0.6 } & {0.4 } & {} & {0 } \\ \end{array}} \right)$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm\bf{r}} = \left( {r_0 ,r_1 ,r_2 ,r_3 } \right) = \left( {-0.2, +0.2,-0.2, +0.2} \right) \hspace{0.3cm}
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm\bf{r}} = \left( {r_0 ,r_1 ,r_2 ,r_3 } \right) = \left( {-0.2, +0.2,-0.2, +0.2} \right) \hspace{0.3cm}
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'''(2)'''&nbsp;  Die Spektralkoeffizienten ${\rm\bf{D}}$ ergeben sich direkt aus der Diskreten Fouriertransformation (DFT) der Zeitbereichskoeffizienten ${\rm\bf{d}}= (+1, -1, +1, -1)$.  
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'''(2)'''&nbsp;  Die Spektralkoeffizienten&nbsp; ${\rm\bf{D}}$&nbsp; ergeben sich direkt aus der Diskreten Fouriertransformation&nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; der Zeitbereichskoeffizienten&nbsp; ${\rm\bf{d}}= (+1, -1, +1, -1)$.  
*Diese Zeitbereichsfolge entspricht einer diskreten Cosinusfunktion mit der doppelten Grundfrequnz $(2 \cdot f_0)$ und der Amplitude $1$.  
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*Diese Zeitbereichsfolge entspricht einer diskreten Cosinusfunktion mit der doppelten Grundfrequnz&nbsp; $(2 \cdot f_0)$&nbsp; und der Amplitude&nbsp; $1$.&nbsp; Daraus folgt:
*Daraus folgt:
 
 
:$${\rm\bf{D}} = \left( {D_0 ,D_1 ,D_2 ,D_3 } \right) =\left( {0, 0,1, 0} \right)\hspace{0.3cm}
 
:$${\rm\bf{D}} = \left( {D_0 ,D_1 ,D_2 ,D_3 } \right) =\left( {0, 0,1, 0} \right)\hspace{0.3cm}
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_2]\hspace{0.15cm} \underline{=1},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[d_2]\hspace{0.15cm} \underline{=0}, \hspace{0.2cm}{\rm Re}[d_3]\hspace{0.15cm} \underline{=0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[d_3]\hspace{0.15cm} \underline{=0}.$$
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_2]\hspace{0.15cm} \underline{=1},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[d_2]\hspace{0.15cm} \underline{=0}, \hspace{0.2cm}{\rm Re}[d_3]\hspace{0.15cm} \underline{=0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[d_3]\hspace{0.15cm} \underline{=0}.$$
  
  
'''(3)'''&nbsp;  Der Vektor ${\rm\bf{R}}$ der Spektralkoeffizienten nach dem Kanal könnte analog zur Teilaufgabe '''(2)''' durch die DFT des Vektors ${\rm\bf{r}}$ berechnet werden.  
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'''(3)'''&nbsp;  Der Vektor&nbsp; ${\rm\bf{R}}$&nbsp; der Spektralkoeffizienten nach dem Kanal könnte analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; durch die DFT des Vektors&nbsp; ${\rm\bf{r}}$&nbsp; berechnet werden.  
 
*Ein alternativer Lösungsweg lautet:
 
*Ein alternativer Lösungsweg lautet:
 
:$${\rm\bf{R}} = {\rm\bf{D}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
 
:$${\rm\bf{R}} = {\rm\bf{D}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
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'''(4)'''&nbsp;  Die Entzerrerkoeffizienten ergeben sich zu $e_\mu = 1/H_\mu$.  
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'''(4)'''&nbsp;  Die Entzerrerkoeffizienten ergeben sich zu&nbsp; $e_\mu = 1/H_\mu$.  
*Mit dem Ergebnis zu Teilaufgabe '''(3)''' sind die Koeffizienten $e_0 = 1$ $e_2 = -5$ reell:
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*Mit dem Ergebnis zu Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; sind die Koeffizienten&nbsp; $e_0 = 1$,&nbsp; $e_2 = -5$ reell:
 
:$${\rm Re}[e_0]\hspace{0.15cm} \underline{=1},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[e_0]\hspace{0.15cm} \underline{=0}, \hspace{0.2cm}{\rm Re}[e_2]\hspace{0.15cm} \underline{=-5},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[e_2]\hspace{0.15cm} \underline{=0}.$$
 
:$${\rm Re}[e_0]\hspace{0.15cm} \underline{=1},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[e_0]\hspace{0.15cm} \underline{=0}, \hspace{0.2cm}{\rm Re}[e_2]\hspace{0.15cm} \underline{=-5},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[e_2]\hspace{0.15cm} \underline{=0}.$$
  
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'''(5)'''&nbsp;  Die unter '''(4)''' berechnete Entzerrung folgt dem &bdquo;Zero Forcing&rdquo;&ndash;Ansatz &nbsp; &rArr; &nbsp; <u>Antwort 1</u>.
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'''(5)'''&nbsp;  Die unter&nbsp; '''(4)'''&nbsp; berechnete Entzerrung folgt dem &bdquo;Zero Forcing&rdquo;&ndash;Ansatz &nbsp; &rArr; &nbsp; <u>Antwort 1</u>.
  
 
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Version vom 6. Mai 2020, 11:29 Uhr

Blockschaltbild der OFDM-Übertragung

Wir betrachten die in der Grafik hinterlegten Blöcke eines OFDM–Systems, wobei wir von einem System mit  $N = 4$  Trägern und einem Kanal mit  $L = 2$  Echos ausgehen.

  • Es wird nur ein einziger Rahmen betrachtet und für den Sendevektor (im Zeitbereich) gelte:
$${\rm\bf{d}} = (d_0, \ d_1,\ d_2,\ d_3 ) = (+1, -1, +1, -1 ).$$
  • Die Kanalimpulsantwort sei beschrieben durch
$${\rm\bf{h}} = (h_0, \ h_1,\ h_2 ) = (0, \ 0.6, \ 0.4 ).$$
  • Zur Repräsentation des zyklischen Präfixes verwenden wir in dieser Aufgabe statt des erweiterten Sendevektors mit der zugehörigen Übertragungsmatrix  ${\rm\bf{H}}_{\rm ext}$  die zyklische Übertragungsmatrix
$${\rm\bf{H}}_{\rm{C}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } & {} \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } \\ \hline {h_2 } & {} & {h_0 } & {h_1 } \\ {h_1 } & {h_2 } & {} & {h_0 } \\ \end{array}} \right).$$
  • Für die Spektralkoeffizienten am Empfänger gelte nach der Diskreten Fouriertransformation  $\rm (DFT)$:
$${\rm\bf{R}} = {\rm\bf{D}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {H_0 } & {} & {} & {} \\ {} & {H_1 } & {} & {} \\ {} & {} & {H_2 } & {} \\ {} & {} & {} & {H_3 } \\ \end{array}} \right) ,$$
wobei die Diagonalelemente wie folgt zu berechnen sind:
$$H_\mu = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi }} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} l \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\mu }/{4}} } .$$
  • Die Entzerrung am Empfänger erfolgt durch Multiplikation im Frequenzbereich mit den Koeffizienten  $ e_\mu = {1}/{H_\mu }.$





Hinweise:

  • Für die Diskrete Fouriertransformation (DFT) gilt in Matrix–Vektor–Notation:
$${\rm\bf{F}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & {} & {} & {} \\ \vdots & {} & {{\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}{\kern 1pt} \nu {\kern 1pt} \mu /N} } & {} \\ 1 & {} & {} & {} \\ \end{array}} \right), \qquad {\rm{DFT\; mit}} \; {1}/{N} \cdot {\rm\bf{F}}; \qquad {\rm{IDFT \; mit}} \; {\rm\bf{F}}^*.$$


Fragebogen

1

Berechnen Sie die diskreten Empfangswerte  $r = (r_0, r_1, r_2, r_3)$  im Zeitbereich.  Geben Sie zur Kontrolle  $r_0$  und  $r_1$  ein:

${\rm Re}\big[r_0\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[r_0\big] \ = \ $

${\rm Re}\big[r_1\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[r_1\big] \ = \ $

2

Wie lauten die diskreten Spektralbereichskoeffizienten  ${\rm\bf{D}}= (D_0, D_1, D_2, D_3)$  am Sender?  Geben Sie zur Kontrolle  $D_2$  und  $D_3$  ein.

${\rm Re}\big[D_2\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[D_2\big] \ = \ $

${\rm Re}\big[D_3\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[D_3\big] \ = \ $

3

Berechnen Sie die diskreten Spektralkoeffizienten  ${\rm\bf{R}}= (R_0, R_1, R_2, R_3)$  nach dem Kanal.  Geben Sie zur Kontrolle  $R_2$  und  $R_3$  ein:

${\rm Re}\big[R_2\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[R_2\big] \ = \ $

${\rm Re}\big[R_3\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[R_3\big] \ = \ $

4

Bestimmen Sie die diskreten Entzerrerkoeffizienten  ${\rm\bf{e}}= (e_0, e_1, e_2, e_3)$:

${\rm Re}\big[e_0\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[e_0\big] \ = \ $

${\rm Re}\big[e_1\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[e_1\big] \ = \ $

${\rm Re}\big[e_2\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[e_2\big] \ = \ $

${\rm Re}\big[e_3\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[e_3\big] \ = \ $

5

Wie bezeichnet man den verwendeten Entzerrungsansatz?

Als „Zero Forcing”–Ansatz,
als „Matched Filter”–Ansatz,
als „Minimum Mean Square Error  $\rm (MMSE)$”–Ansatz.


Musterlösung

(1)  Die diskreten Zeitbereichswerte am Empfänger berechnen sich mit der zyklischen Übertragungsmatrix  ${\rm\bf{H}}_{\rm{C}} $  wie folgt:

$${\rm\bf{r}} = {\rm\bf{d}} \cdot {\rm\bf{H}}_{\rm{C}} = \left( {+1 ,-1 ,+1 ,-1 } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {0 } & {0.6 } & {0.4 } & {} \\ {} & {0 } & {0.6 } & {0.4 } \\ \hline {0.4 } & {} & {0 } & {0.6 } \\ {0.6 } & {0.4 } & {} & {0 } \\ \end{array}} \right)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm\bf{r}} = \left( {r_0 ,r_1 ,r_2 ,r_3 } \right) = \left( {-0.2, +0.2,-0.2, +0.2} \right) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re}[r_0]\hspace{0.15cm} \underline{=-0.2},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[r_0]\hspace{0.15cm} \underline{=0}, \hspace{0.2cm}{\rm Re}[r_1]\hspace{0.15cm} \underline{=+0.2},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[r_1]\hspace{0.15cm} \underline{=0}. $$


(2)  Die Spektralkoeffizienten  ${\rm\bf{D}}$  ergeben sich direkt aus der Diskreten Fouriertransformation  $\rm (DFT)$  der Zeitbereichskoeffizienten  ${\rm\bf{d}}= (+1, -1, +1, -1)$.

  • Diese Zeitbereichsfolge entspricht einer diskreten Cosinusfunktion mit der doppelten Grundfrequnz  $(2 \cdot f_0)$  und der Amplitude  $1$.  Daraus folgt:
$${\rm\bf{D}} = \left( {D_0 ,D_1 ,D_2 ,D_3 } \right) =\left( {0, 0,1, 0} \right)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_2]\hspace{0.15cm} \underline{=1},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[d_2]\hspace{0.15cm} \underline{=0}, \hspace{0.2cm}{\rm Re}[d_3]\hspace{0.15cm} \underline{=0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[d_3]\hspace{0.15cm} \underline{=0}.$$


(3)  Der Vektor  ${\rm\bf{R}}$  der Spektralkoeffizienten nach dem Kanal könnte analog zur Teilaufgabe  (2)  durch die DFT des Vektors  ${\rm\bf{r}}$  berechnet werden.

  • Ein alternativer Lösungsweg lautet:
$${\rm\bf{R}} = {\rm\bf{D}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {H_0 } & {} & {} & {} \\ {} & {H_1 } & {} & {} \\ {} & {} & {H_2 } & {} \\ {} & {} & {} & {H_3 } \\ \end{array}} \right) .$$
  • Für die Diagonalelemente erhält man:
$$H_\mu = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi }} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} l \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{\mu }/{4}} } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_0 = 1,\hspace{0.1cm}H_1 = -0.4 - {\rm{j}} \cdot 0.6,\hspace{0.1cm}H_2 = -0.2,\hspace{0.1cm}H_3 = -0.4 + {\rm{j}} \cdot 0.6 $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm\bf{R}} = \left( {R_0 ,R_1 ,R_2 ,R_3 } \right)= \left( \hspace{0.15cm}0,\hspace{0.15cm}0,\hspace{0.15cm}-0.2, \hspace{0.15cm}0 \right) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re}[r_2]\hspace{0.15cm} \underline{=-0.2},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[r_2]\hspace{0.15cm} \underline{=0}, \hspace{0.2cm}{\rm Re}[r_3]\hspace{0.15cm} \underline{=0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[r_3]\hspace{0.15cm} \underline{=0}.$$


(4)  Die Entzerrerkoeffizienten ergeben sich zu  $e_\mu = 1/H_\mu$.

  • Mit dem Ergebnis zu Teilaufgabe  (3)  sind die Koeffizienten  $e_0 = 1$,  $e_2 = -5$ reell:
$${\rm Re}[e_0]\hspace{0.15cm} \underline{=1},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[e_0]\hspace{0.15cm} \underline{=0}, \hspace{0.2cm}{\rm Re}[e_2]\hspace{0.15cm} \underline{=-5},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[e_2]\hspace{0.15cm} \underline{=0}.$$
  • Für die beiden anderen Koeffizienten gilt:
$$e_1 = \frac {1}{-0.4 - {\rm{j}} \cdot 0.6} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm{Re}}[e_1] = \frac {-0.4}{0.4^2 + 0.6^2}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx -0.77},\hspace{0.3cm} {\rm{Im}}[e_1] = \frac {0.6}{0.4^2 + 0.6^2} \hspace{0.15cm} \underline{\approx +1.15},$$
$$e_3 = \frac {1}{-0.4 + {\rm{j}} \cdot 0.6} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm{Re}}[e_3] = \frac {-0.4}{0.4^2 + 0.6^2}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx -0.77},\hspace{0.3cm} {\rm{Im}}[e_3] = \frac {-0.6}{0.4^2 + 0.6^2} \hspace{0.15cm} \underline{\approx -1.15}.$$


(5)  Die unter  (4)  berechnete Entzerrung folgt dem „Zero Forcing”–Ansatz   ⇒   Antwort 1.