Aufgabe 5.7Z: Matched-Filter - alles gaußisch

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Vorgegebener Gaußimpuls

Am Eingang eines Empfangsfilters liegt ein von weißem Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  $N_0 = 10^{-4}\hspace{0.08cm} \rm V^2 \hspace{-0.1cm}/Hz$  überlagerter Gaußimpuls  $g(t)$  mit der Amplitude  $g_0$  und der äquivalenten Dauer  $\Delta t_g = 1\hspace{0.08cm} \rm ms$  an:

$$g(t) = g_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_g } \right)^2 } .$$

Die Impulsenergie beträgt  $E_g = 0.01\hspace{0.08cm} \rm V^2 s$.  Das Empfangsfilter sei ein akausaler Gaußtiefpass mit dem Frequenzgang

$$H_{\rm E} (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {f/\Delta f_{\rm E} } \right)^2 } .$$

Die dazugehörige Impulsantwort lautet somit:

$$h_{\rm E} (t) = \Delta f_{\rm E} \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta f_{\rm E} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t} \right)^2 } .$$

Die systemtheoretische Filterbandbreite  $\Delta f_{\rm E}$  soll so gewählt werden, dass der Gaußtiefpass optimal an den Eingangsimpuls  $g(t)$  angepasst ist. Man spricht dann von einem Matched-Filter.




Hinweise:

  • Benutzen Sie zur Lösung das folgende bestimmte Integral:
$$\int_0^\infty {{\rm{e}}^{ - a^2 x^2 } {\rm{d}}x = \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a}} .$$



Fragebogen

1

Berechnen Sie die Impulsamplitude.

$g_0 \ = \ $

$\ \rm V$

2

Wie groß ist das maximale S/N–Verhältnis am Filterausgang in  $\rm dB$?

$10 \cdot \lg\ \rho_d(T_\text{D, opt}\hspace{-0.05cm}) \ = \ $

$\ \rm dB$

3

Bei welcher Filterbandbreite wird dieses S/N–Verhältnis erreicht?

$\Delta f_\text{E, opt}\ = \ $

$\ \rm kHz$

4

Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn die Filterbandbreite  $\Delta f_{\rm E}$  kleiner ist als in der Teilaufgabe  (3)  berechnet?

Der Nutzabtastwert  $d_{\rm S}(T_\text{D, opt}\hspace{-0.05cm})$  ist kleiner als bei Anpassung.
Die Störleistung  $\sigma_d^2$  ist größer als bei Anpassung.
Das S/N–Verhältnis ist kleiner als in der Teilaufgabe  (2)  berechnet.


Musterlösung

(1)  Für die Energie eines Impulses  $g(t)$  gilt allgemein bzw. bei diesem Beispiel:

$$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g^2(t) \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t} = g^2_0 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\rm{e}}^{ - 2{\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_g } \right)^2 } \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t} .$$
  • Diese Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:
$$E_g = 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \int_0^\infty {{\rm{e}}^{ - \left( {\sqrt {2 \rm{\pi }} /\Delta t_g } \right)^2 \cdot \hspace{0.05cm} t^2 }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}t} .$$
  • Mit  $a = (2\pi)^{1/2}\cdot 1/\Delta t_g$  und der angegebenen Formel gilt folgender Zusammenhang:
$$E_g = 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a} = \sqrt 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \Delta t_g .$$
  • Löst man diese Gleichung nach  $g_0$  auf, so erhält man als Endergebnis:
$$g_0 = \sqrt {\frac{E_g }{\Delta t_g \cdot \sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{0.01\;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{0.001\;{\rm{s}} \cdot 1.414}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 2.659\;{\rm{V}}}.$$


(2)  Unter der Voraussetzung eines Matched–Filters lautet das S/N-Verhältnis am Ausgang:

$$\rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 10^{ - 2} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{10^{ - 4} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{/Hz}}}} = 200.$$
  • In logarithmischer Darstellung erhält man folgendes Ergebnis:
$$10 \cdot \lg \rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = 10 \cdot \lg \left( {200} \right) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 23\;{\rm{dB}}}.$$


(3)  Ein Vergleich zwischen dem Eingangsimpuls und dem Filterfrequenzgang zeigt, dass bei Anpassung  $\Delta f_{\rm E} = 1/\Delta t_g$  gelten muss:

$$\Delta f_{{\rm{E,}}\,{\rm{opt}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 1\;{\rm{kHz}}}.$$


(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Eine kleinere Filterbandbreite ist günstig bezüglich Störungen,
  • jedoch ungünstig hinsichtlich des Nutzsignals.
  • Der negative Einfluss (kleineres Nutzsignal) überwiegt hier gegenüber dem positiven (weniger Störung).