Aufgabe 5.7Z: Matched-Filter - alles gaußisch

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P ID578 Sto Z 5 7.png
Am Eingang eines Filters liegt ein von weißem Rauschen mit der Rauschleistungsdichte N0 = 10–4 V2/Hz überlagerter Gaußimpuls mit der Amplitude g0 und der äquivalenten Dauer Δtg = 1 ms an:
$$g(t) = g_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_g } \right)^2 } .$$
Die Impulsenergie beträgt Eg = 0.01 V2s. Das Empfangsfilter sei ein akausaler Gaußtiefpass mit dem Frequenzgang
$$H_{\rm E} (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {f/\Delta f_{\rm E} } \right)^2 } .$$
Die dazugehörige Impulsantwort lautet somit:
$$h_{\rm E} (t) = \Delta f_{\rm E} \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta f_{\rm E} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t} \right)^2 } .$$
Die systemtheoretische Filterbandbreite ΔfE soll so gewählt werden, dass der Gaußtiefpass optimal an den Eingangsimpuls g(t) angepasst ist. Man spricht dann von einem Matched-Filter.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.4. Benutzen Sie zur Lösung das folgende bestimmte Integral:
$$\int_0^\infty {{\rm{e}}^{ - a^2 x^2 } {\rm{d}}x = \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a}} .$$


Fragebogen

1

Berechnen Sie die Impulsamplitude.

$g_0$ =

$V$

2

Wie groß ist das maximale S/N–Verhältnis am Filterausgang in dB?

$10\ \cdot \ lg\ \rho_d(T_\text{D,opt})$ =

$dB$

3

Bei welcher Filterbandbreite wird dieses S/N–Verhältnis erreicht?

$\Delta f_\text{E, opt}$ =

$kHz$

4

Welche der nachfolgenden Aussagen treffen zu, wenn die Filterbandbreite ΔfE kleiner ist als unter Punkt (3) berechnet?

Der Nutzabtastwert dS(TD, opt) ist kleiner als bei Anpassung.
Die Störleistung σd2 ist größer als bei Anpassung.
Das S/N–Verhältnis ist kleiner als bei Punkt (2) berechnet.


Musterlösung

1.  Für die Energie eines Impulses g(t) gilt allgemein bzw. bei diesem Beispiel:

$$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g(t)^2 \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t} = g_0 ^2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\rm{e}}^{ - 2{\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_g } \right)^2 } \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t} .$$
Diese Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:
$$E_g = 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \int_0^\infty {{\rm{e}}^{ - \left( {\sqrt {2 \rm{\pi }} /\Delta t_g } \right)^2 \cdot \hspace{0.05cm} t^2 }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}t} .$$
Mit a = (2π)1/2tg und der angegebenen Formel gilt folgender Zusammenhang:
$$E_g = 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a} = \sqrt 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \Delta t_g .$$
Löst man diese Gleichung nach g0 auf, so erhält man als Endergebnis:
$$g_0 = \sqrt {\frac{E_g }{\Delta t_g \cdot \sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{0.01\;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{0.001\;{\rm{s}} \cdot 1.414}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 2.659\;{\rm{V}}}.$$
2.  Unter der Voraussetzung eines Matched-Filters lautet das S/N-Verhältnis am Ausgang:
$$\rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 10^{ - 2} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{10^{ - 4} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{/Hz}}}} = 200.$$
In logarithmischer Darstellung erhält man
$$10 \cdot \lg \rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = 10 \cdot \lg \left( {200} \right) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 23\;{\rm{dB}}}.$$
3.  Ein Vergleich zwischen dem Eingangsimpuls und dem Filterfrequenzgang zeigt, dass bei Anpassung ΔfE = 1/Δtg gelten muss:
$$\Delta f_{{\rm{E,}}\,{\rm{opt}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 1\;{\rm{kHz}}}.$$
4.  Eine kleinere Filterbandbreite ist günstig bezüglich Störungen, jedoch ungünstig hinsichtlich des Nutzsignals. Das heißt, der negative Einfluss überwiegt gegenüber dem positiven. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 3.