Aufgaben:Aufgabe 5.7Z: Matched-Filter - alles gaußisch: Unterschied zwischen den Versionen

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:Am Eingang eines Filters liegt ein von weißem Rauschen mit der Rauschleistungsdichte <i>N</i><sub>0</sub> = 10<sup>&ndash;4 </sup>V<sup>2</sup>/Hz überlagerter Gaußimpuls mit der Amplitude <i>g</i><sub>0</sub> und der äquivalenten Dauer &Delta;<i>t<sub>g</sub></i> = 1 ms an:
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Am Eingang eines Empfangsfilters liegt ein von weißem Rauschen mit der Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0 = 10^{-4}\hspace{0.08cm} \rm V^2 \hspace{-0.1cm}/Hz$&nbsp; überlagerter Gaußimpuls&nbsp; $g(t)$&nbsp; mit der Amplitude&nbsp; $g_0$&nbsp; und der äquivalenten Dauer &nbsp;$\Delta t_g  = 1\hspace{0.08cm} \rm ms$&nbsp; an:
 
:$$g(t) = g_0  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_g } \right)^2 } .$$
 
:$$g(t) = g_0  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_g } \right)^2 } .$$
  
:Die Impulsenergie beträgt <i>E<sub>g</sub></i> = 0.01 V<sup>2</sup>s. Das Empfangsfilter sei ein akausaler Gaußtiefpass mit dem Frequenzgang
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Die Impulsenergie beträgt &nbsp;$E_g = 0.01\hspace{0.08cm} \rm V^2 s$.&nbsp; Das Empfangsfilter sei ein akausaler Gaußtiefpass mit dem Frequenzgang
 
:$$H_{\rm E} (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {f/\Delta f_{\rm E} } \right)^2 } .$$
 
:$$H_{\rm E} (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {f/\Delta f_{\rm E} } \right)^2 } .$$
  
:Die dazugehörige Impulsantwort lautet somit:
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Die dazugehörige Impulsantwort lautet somit:
 
:$$h_{\rm E} (t) = \Delta f_{\rm E}  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta f_{\rm E}  \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t} \right)^2 } .$$
 
:$$h_{\rm E} (t) = \Delta f_{\rm E}  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta f_{\rm E}  \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t} \right)^2 } .$$
  
:Die systemtheoretische Filterbandbreite &Delta;<i>f</i><sub>E</sub> soll so gewählt werden, dass der Gaußtiefpass optimal an den Eingangsimpuls <i>g</i>(<i>t</i>) angepasst ist. Man spricht dann von einem Matched-Filter.
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Die systemtheoretische Filterbandbreite&nbsp; $\Delta f_{\rm E}$&nbsp; soll so gewählt werden, dass der Gaußtiefpass optimal an den Eingangsimpuls&nbsp; $g(t)$&nbsp;  angepasst ist. Man spricht dann von einem Matched-Filter.
  
:<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.4. Benutzen Sie zur Lösung das folgende bestimmte Integral:
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter|Matched-Filter]].
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*Benutzen Sie zur Lösung das folgende bestimmte Integral:
 
:$$\int_0^\infty  {{\rm{e}}^{ - a^2 x^2 } {\rm{d}}x = \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a}} .$$
 
:$$\int_0^\infty  {{\rm{e}}^{ - a^2 x^2 } {\rm{d}}x = \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a}} .$$
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{Berechnen Sie die Impulsamplitude.
 
{Berechnen Sie die Impulsamplitude.
 
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$g_0$ = { 2.659 3% } $V$
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$g_0 \ = \ $ { 2.659 3% } $\ \rm V$
  
  
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$10\ \cdot \ lg\ \rho_d(T_\text{D,opt})$ = { 23 3% } $dB$
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{Bei welcher Filterbandbreite wird dieses S/N&ndash;Verhältnis erreicht?
 
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$\Delta f_\text{E, opt}$ = { 1 3% } $kHz$
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$\Delta f_\text{E, opt}\ =  \ $ { 1 3% } $\ \rm kHz$
  
  
{Welche der nachfolgenden Aussagen treffen zu, wenn die Filterbandbreite &Delta;<i>f</i><sub>E</sub> kleiner ist als unter Punkt (3) berechnet?
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{Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn die Filterbandbreite&nbsp; $\Delta f_{\rm E}$&nbsp; kleiner ist als in der Teilaufgabe&nbsp;  '''(3)'''&nbsp; berechnet?
 
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+ Der Nutzabtastwert <i>d</i><sub>S</sub>(<i>T</i><sub>D</sub><sub>, opt</sub>) ist kleiner als bei Anpassung.
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+ Der Nutzabtastwert&nbsp; $d_{\rm S}(T_\text{D, opt}\hspace{-0.05cm})$&nbsp; ist kleiner als bei Anpassung.
- Die Störleistung &sigma;<i><sub>d</sub></i><sup>2</sup> ist größer als  bei Anpassung.
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- Die Störleistung&nbsp; $\sigma_d^2$&nbsp; ist größer als  bei Anpassung.
+ Das S/N&ndash;Verhältnis ist kleiner als bei Punkt (2) berechnet.
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+ Das S/N&ndash;Verhältnis ist kleiner als in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; berechnet.
  
  
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===Musterlösung===
 
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<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Für die Energie eines Impulses <i>g</i>(<i>t</i>) gilt allgemein bzw. bei diesem Beispiel:
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'''(1)'''&nbsp; Für die Energie eines Impulses&nbsp; $g(t)$&nbsp; gilt allgemein bzw. bei diesem Beispiel:
:$$E_g  = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g(t)^2 \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t}  = g_0 ^2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\rm{e}}^{ - 2{\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_g } \right)^2 } \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t} .$$
+
:$$E_g  = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g^2(t) \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t}  = g^2_0 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\rm{e}}^{ - 2{\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_g } \right)^2 } \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t} .$$
  
:Diese Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:
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*Diese Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:
 
:$$E_g  = 2 \cdot g_0 ^2  \cdot \int_0^\infty  {{\rm{e}}^{ - \left( {\sqrt {2 \rm{\pi }} /\Delta t_g } \right)^2  \cdot \hspace{0.05cm} t^2 }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}t} .$$
 
:$$E_g  = 2 \cdot g_0 ^2  \cdot \int_0^\infty  {{\rm{e}}^{ - \left( {\sqrt {2 \rm{\pi }} /\Delta t_g } \right)^2  \cdot \hspace{0.05cm} t^2 }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}t} .$$
  
:Mit <i>a</i> = (2&pi;)<sup>1/2</sup>/&Delta;<i>t<sub>g</sub></i> und der angegebenen Formel gilt folgender Zusammenhang:
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*Mit&nbsp; $a = (2\pi)^{1/2}\cdot 1/\Delta t_g$&nbsp; und der angegebenen Formel gilt folgender Zusammenhang:
 
:$$E_g  = 2 \cdot g_0 ^2  \cdot \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a} = \sqrt 2  \cdot g_0 ^2  \cdot \Delta t_g .$$
 
:$$E_g  = 2 \cdot g_0 ^2  \cdot \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a} = \sqrt 2  \cdot g_0 ^2  \cdot \Delta t_g .$$
  
:Löst man diese Gleichung nach <i>g</i><sub>0</sub> auf, so erhält man als Endergebnis:
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*Löst man diese Gleichung nach&nbsp; $g_0$&nbsp; auf, so erhält man als Endergebnis:
 
:$$g_0  = \sqrt {\frac{E_g }{\Delta t_g  \cdot \sqrt 2 }}  = \sqrt {\frac{{0.01\;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{0.001\;{\rm{s}} \cdot 1.414}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 2.659\;{\rm{V}}}.$$
 
:$$g_0  = \sqrt {\frac{E_g }{\Delta t_g  \cdot \sqrt 2 }}  = \sqrt {\frac{{0.01\;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{0.001\;{\rm{s}} \cdot 1.414}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 2.659\;{\rm{V}}}.$$
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Unter der Voraussetzung eines Matched-Filters lautet das S/N-Verhältnis am Ausgang:
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'''(2)'''&nbsp; Unter der Voraussetzung eines Matched&ndash;Filters lautet das S/N-Verhältnis am Ausgang:
 
:$$\rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 10^{ - 2} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{10^{ - 4} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{/Hz}}}} = 200.$$
 
:$$\rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 10^{ - 2} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{10^{ - 4} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{/Hz}}}} = 200.$$
  
:In logarithmischer Darstellung erhält man
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*In logarithmischer Darstellung erhält man folgendes Ergebnis:
 
:$$10 \cdot \lg \rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = 10 \cdot \lg \left( {200} \right) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 23\;{\rm{dB}}}.$$
 
:$$10 \cdot \lg \rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = 10 \cdot \lg \left( {200} \right) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 23\;{\rm{dB}}}.$$
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Ein Vergleich zwischen dem Eingangsimpuls und dem Filterfrequenzgang zeigt, dass bei Anpassung &Delta;<i>f</i><sub>E</sub> = 1/&Delta;<i>t<sub>g</sub></i> gelten muss:
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'''(3)'''&nbsp; Ein Vergleich zwischen dem Eingangsimpuls und dem Filterfrequenzgang zeigt, dass bei Anpassung&nbsp; $\Delta f_{\rm E} = 1/\Delta t_g$&nbsp; gelten muss:
 
:$$\Delta f_{{\rm{E,}}\,{\rm{opt}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 1\;{\rm{kHz}}}.$$
 
:$$\Delta f_{{\rm{E,}}\,{\rm{opt}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 1\;{\rm{kHz}}}.$$
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Eine kleinere Filterbandbreite ist günstig bezüglich Störungen, jedoch ungünstig hinsichtlich des Nutzsignals. Das heißt, der negative Einfluss überwiegt gegenüber dem positiven. Richtig sind also <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
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'''(4)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
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*Eine kleinere Filterbandbreite ist günstig bezüglich Störungen,  
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*jedoch ungünstig hinsichtlich des Nutzsignals.  
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*Der negative Einfluss (kleineres Nutzsignal) überwiegt hier gegenüber dem positiven (weniger Störung).  
 
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Version vom 9. Dezember 2019, 17:36 Uhr

Vorgegebener Gaußimpuls

Am Eingang eines Empfangsfilters liegt ein von weißem Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  $N_0 = 10^{-4}\hspace{0.08cm} \rm V^2 \hspace{-0.1cm}/Hz$  überlagerter Gaußimpuls  $g(t)$  mit der Amplitude  $g_0$  und der äquivalenten Dauer  $\Delta t_g = 1\hspace{0.08cm} \rm ms$  an:

$$g(t) = g_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_g } \right)^2 } .$$

Die Impulsenergie beträgt  $E_g = 0.01\hspace{0.08cm} \rm V^2 s$.  Das Empfangsfilter sei ein akausaler Gaußtiefpass mit dem Frequenzgang

$$H_{\rm E} (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {f/\Delta f_{\rm E} } \right)^2 } .$$

Die dazugehörige Impulsantwort lautet somit:

$$h_{\rm E} (t) = \Delta f_{\rm E} \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta f_{\rm E} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t} \right)^2 } .$$

Die systemtheoretische Filterbandbreite  $\Delta f_{\rm E}$  soll so gewählt werden, dass der Gaußtiefpass optimal an den Eingangsimpuls  $g(t)$  angepasst ist. Man spricht dann von einem Matched-Filter.




Hinweise:

  • Benutzen Sie zur Lösung das folgende bestimmte Integral:
$$\int_0^\infty {{\rm{e}}^{ - a^2 x^2 } {\rm{d}}x = \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a}} .$$



Fragebogen

1

Berechnen Sie die Impulsamplitude.

$g_0 \ = \ $

$\ \rm V$

2

Wie groß ist das maximale S/N–Verhältnis am Filterausgang in  $\rm dB$?

$10 \cdot \lg\ \rho_d(T_\text{D, opt}\hspace{-0.05cm}) \ = \ $

$\ \rm dB$

3

Bei welcher Filterbandbreite wird dieses S/N–Verhältnis erreicht?

$\Delta f_\text{E, opt}\ = \ $

$\ \rm kHz$

4

Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn die Filterbandbreite  $\Delta f_{\rm E}$  kleiner ist als in der Teilaufgabe  (3)  berechnet?

Der Nutzabtastwert  $d_{\rm S}(T_\text{D, opt}\hspace{-0.05cm})$  ist kleiner als bei Anpassung.
Die Störleistung  $\sigma_d^2$  ist größer als bei Anpassung.
Das S/N–Verhältnis ist kleiner als in der Teilaufgabe  (2)  berechnet.


Musterlösung

(1)  Für die Energie eines Impulses  $g(t)$  gilt allgemein bzw. bei diesem Beispiel:

$$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g^2(t) \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t} = g^2_0 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\rm{e}}^{ - 2{\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_g } \right)^2 } \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t} .$$
  • Diese Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:
$$E_g = 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \int_0^\infty {{\rm{e}}^{ - \left( {\sqrt {2 \rm{\pi }} /\Delta t_g } \right)^2 \cdot \hspace{0.05cm} t^2 }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}t} .$$
  • Mit  $a = (2\pi)^{1/2}\cdot 1/\Delta t_g$  und der angegebenen Formel gilt folgender Zusammenhang:
$$E_g = 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a} = \sqrt 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \Delta t_g .$$
  • Löst man diese Gleichung nach  $g_0$  auf, so erhält man als Endergebnis:
$$g_0 = \sqrt {\frac{E_g }{\Delta t_g \cdot \sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{0.01\;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{0.001\;{\rm{s}} \cdot 1.414}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 2.659\;{\rm{V}}}.$$


(2)  Unter der Voraussetzung eines Matched–Filters lautet das S/N-Verhältnis am Ausgang:

$$\rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 10^{ - 2} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{10^{ - 4} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{/Hz}}}} = 200.$$
  • In logarithmischer Darstellung erhält man folgendes Ergebnis:
$$10 \cdot \lg \rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = 10 \cdot \lg \left( {200} \right) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 23\;{\rm{dB}}}.$$


(3)  Ein Vergleich zwischen dem Eingangsimpuls und dem Filterfrequenzgang zeigt, dass bei Anpassung  $\Delta f_{\rm E} = 1/\Delta t_g$  gelten muss:

$$\Delta f_{{\rm{E,}}\,{\rm{opt}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 1\;{\rm{kHz}}}.$$


(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Eine kleinere Filterbandbreite ist günstig bezüglich Störungen,
  • jedoch ungünstig hinsichtlich des Nutzsignals.
  • Der negative Einfluss (kleineres Nutzsignal) überwiegt hier gegenüber dem positiven (weniger Störung).