Aufgaben:Aufgabe 5.7Z: Anwendung der IDFT: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 7. August 2017, 14:31 Uhr

Drei Sätze „A”, „B” und „C” für die Spektralkoeffizienten

Bei der Diskreten Fouriertransformation (DFT) werden aus den Zeitabtastwerten $d(ν)$ mit der Laufvariablen $ν = 0$, ... , $N – 1$ die diskreten Spektralkoeffizienten $D(μ)$ mit $μ = 0$, ... , $N – 1$ wie folgt berechnet:

$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist mit $w$ der komplexe Drehfaktor abgekürzt, der wie folgt definiert ist:

$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend gilt für die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) als Umkehrfunktion der DFT:

$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe sollen für verschiedene komplexwertige Beispielfolgen $D(μ)$ – die in der Tabelle mit „A”, „B” und „C” bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N = 8$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Realisierung von OFDM-Systemen.
Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Diskrete Fouriertransformation im Buch „Signaldarstellung”.
Sie können Ihre Ergebnisse mit dem Interaktionsmodul Diskrete Fouriertransformation kontrollieren.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

1. Wegen $D(μ) = 0$ für μ ≠ 0 sind alle Zeitkoeffizienten $d(ν) = D(0)$. Damit gilt auch: $${\rm Re}\{d(1)\} \hspace{0.15cm}\underline {= 1}, \hspace{0.3cm}{\rm Im}\{d(1)\} \hspace{0.15cm}\underline {= -1}.$$

2. Hier sind alle Spektralkoeffizienten 0 mit Ausnahme von $D_1 = 1 – j$ und $D_7 = 1 + j$. Daraus folgt für alle Zeitkoeffizienten (0 ≤ ν ≤ 7): $$d(\nu) = (1 - {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} +(1 + {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {7\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}.$$ Aufgrund der Periodizität gilt aber auch: $$d(\nu) = (1 - {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} +(1 + {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ +{\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}=$$ $$ = \left[ {\rm{e}}^{ + {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} + {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}\right]+ {\rm{j}} \cdot\left[ {\rm{e}}^{ + {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} - {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}\right].$$ Mit dem Satz von Euler lässt sich dieser Ausdruck wie folgt umformen: $$d(\nu) = 2 \cdot \cos \left( \frac {\pi}{4}\cdot \nu \right)+ 2 \cdot \sin \left( \frac {\pi}{4}\cdot \nu \right).$$ Diese Zeitfunktion d(ν) ist rein reell und kennzeichnet eine harmonische Schwingung mit der Amplitude 2 mal „Wurzel aus 2” und der Phase φ = 45°. Der Zeitkoeffizient mit ν = 1 gibt das Maximum an: $$ {\rm Re}[d(1)] = 2 \cdot \frac {\sqrt{2}}{2}+ 2 \cdot \frac {\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot {\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.828}, \hspace{0.5cm}{\rm Im}[d(1)] \hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$

3. Entsprechend der allgemeinen Gleichung gilt: $$d(1) = \sum\limits_{\mu = 0}^{7} D(\mu)\cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\mu} =$$ $$ = \left[ D(1) + D(7) \right]\cdot \cos \left( {\pi}/{4} \right) + \left[ D(3) + D(5) \right]\cdot \cos \left( {3\pi}/{4} \right)+$$ $$ + {\rm j} \cdot \left[ D(2) - D(6) \right]\cdot \sin \left( {\pi}/{2} \right) + D(4) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}}.$$ Die ersten drei Terme liefern rein reelle Ergebnisse: $${\rm Re}\{d(1)\} = (1+1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}-(3+3) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+ {\rm j} \cdot4{\rm j} \cdot 1 =$$ $$ = -\frac{4}{\sqrt{2}}-4\hspace{0.15cm}\underline { \approx -6.829}.$$ Für den Imaginärteil ergibt sich: $${\rm Im}\{d(1)\} = {\rm Im}\left\{4 \cdot{\rm j} \cdot (-1) \right\} \hspace{0.15cm}\underline {= -4}.$$

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-[[Datei:P_ID1670__Mod_Z_5_7.png|right|]]
+[[Datei:P_ID1670__Mod_Z_5_7.png|right|frame|Drei Sätze „A”, „B” und „C”  für die Spektralkoeffizienten]]
-Bei der Diskreten Fouriertransformation (DFT) werden aus den Zeitabtastwerten $d(ν)$ mit der Laufvariablen ν = 0, ... , N – 1 die diskreten Spektralkoeffizienten D(μ) mit μ = 0, ... , N – 1 wie folgt berechnet:
+Bei der [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]] (DFT) werden aus den Zeitabtastwerten $d(ν)$ mit der Laufvariablen $ν = 0$, ... , $N – 1$ die diskreten Spektralkoeffizienten $D(μ)$ mit $μ = 0$, ... , $N – 1$ wie folgt berechnet:
-$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist mit w der komplexe Drehfaktor abgekürzt, der wie folgt definiert ist:
+Hierbei ist mit $w$ der komplexe Drehfaktor abgekürzt, der wie folgt definiert ist:
-$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$
+:$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$
-Entsprechend gilt für die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) als '''Umkehrfunktion''' der DFT:
+Entsprechend gilt für die [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)#Inverse_Diskrete_Fouriertransformation|Inverse Diskrete Fouriertransformation]] (IDFT) als ''Umkehrfunktion'' der DFT:
-$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
-In dieser Aufgabe sollen für verschiedene komplexwertige Beispielfolgen $D(μ)$ – die in der Tabelle mit „A”, „B” und „C” bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten d(ν) ermittelt werden. Es gilt somit stets N = 8.
+In dieser Aufgabe sollen für verschiedene komplexwertige Beispielfolgen $D(μ)$ – die in der Tabelle mit „A”, „B” und „C” bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N = 8$.
-'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen Kapitel 5.6] dieses Buches und auf das [http://www.lntwww.de/Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT) Kapitel 5.2] des Buches „Signaldarstellung”. Wir verweisen auch auf das Interaktionsmodul
-Diskrete Fouriertransformation
+''Hinweise:''
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen|Realisierung von OFDM-Systemen]].
+*Bezug genommen wird auch  auf das Kapitel  [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation]] im Buch „Signaldarstellung”.
+*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem Interaktionsmodul [[Diskrete Fouriertransformation]] kontrollieren.
+*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.