Aufgabe 5.7: Rechteck-Matched-Filter

Aus LNTwww
Version vom 9. Dezember 2019, 18:07 Uhr von Guenter (Diskussion | Beiträge)
(Unterschied) ← Nächstältere Version | Aktuelle Version (Unterschied) | Nächstjüngere Version → (Unterschied)
Wechseln zu:Navigation, Suche

Nutzimpuls  $g(t)$  und
MF–Impulsantwort  $h(t)$

Am Eingang eines Tiefpasses mit einer rechteckförmigen Impulsantwort  $h(t)$  liegt das Empfangssignal  $r(t)$  an, das sich additiv aus einem impulsförmigen Nutzsignal  $g(t)$  und einem Rauschsignal  $n(t)$  zusammensetzt.  Es gelte:

  • Der Nutzimpuls  $g(t)$  ist rechteckförmig.
  • Die Impulsdauer beträgt  $\Delta t_g = 2 \hspace{0.08cm}\rm µ s$.
  • Die Impulsamplitude ist  $g_0 = 2 \hspace{0.08cm}\rm V$.
  • Die Mitte des Impulses liegt bei  $T_g = 3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$.
  • Das Rauschen  $n(t)$  ist weiß und gaußverteilt.
  • Die Leistungsdichte beträgt  $N_0 = 4 \cdot 10^{-6} \hspace{0.08cm}\rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$  bezogen auf den Widerstand  $1 \hspace{0.08cm}\rm \Omega$.


Die rechteckförmige Impulsantwort des Filters beginnt bei  $t = 0$.

  • Die Impulsantwortdauer  $\Delta t_h$  ist frei wählbar.
  • Die Höhe  $1/\Delta t_h$  der Impulsantwort ist jeweils so angepasst, dass  $H(f = 0) = 1$  gilt.




Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Matched-Filter.
  • Für die Teilfragen  (1)  bis  (6)  gelte stets  $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \hspace{0.05cm}\rm µ s$.


Fragebogen

1

Welche der Aussagen sind unter der Annahme  $\Delta t_h =\Delta t_g$  zutreffend?

Das Filter ist an den Eingangsimpuls  $g(t)$  angepasst.
Es gibt ein anderes Filter mit größerem S/N-Verhältnis.
Das Filter lässt sich als Integrator über die Zeit  $\Delta t_h$  realisieren.

2

Was ist der optimale Detektionszeitpunkt?

$T_\text{D, opt} \ = \ $

$\ \rm µ s$

3

Welchen Wert besitzt hier die Matched–Filter–Konstante?

$K_\text{MF} \ = \ $

$\cdot 10^6 \ \rm 1/Vs$

4

Welches S/N–Verhältnis ergibt sich zum optimalen Detektionszeitpunkt?

$\rho_d(T_\text{D, opt}) \ = \ $

5

Wie groß sind der Nutzabtastwert zum optimalen Zeitpunkt  $T_\text{D, opt}$  und die Störleistung  $\sigma_d^2$  vor dem Detektor?

$d_{\rm S}(T_\text{D, opt}) \ = \ $

$\ \rm V$
$\sigma_d^2 \ = \ $

$\ \rm V^2$

6

Welches S/N–Verhältnis ergibt sich zum Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D} = 3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$?

$\rho_d(T_{\rm D} = 3 \hspace{0.08cm}\rm µ s) \ = \ $

7

Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn  $\Delta t_h =1 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  gilt?    Hinweis:  Im Bereich von  $0$  bis  $1 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  hat die Impulsantwort somit den Wert  $10^6 \ \rm 1/s$.

Jedes  $T_{\rm D}$ im Bereich  $3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ ... $4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  führt zum maximalen SNR.
Der Nutzwert  $d_S(T_\text{D, opt})$  ist kleiner als in Teilaufgabe  (5)  berechnet.
Die Störleistung  $\sigma_d^2$  ist größer als in Teilaufgabe  (5)  berechnet.
Das S/N-Verhältnis ist kleiner als in Teilaufgabe  (3)  berechnet.

8

Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn  $\Delta t_h =3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  gilt?    Hinweis:  Im Bereich von  $0$  bis  $3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  hat die Impulsantwort den Wert  $0.33 \cdot 10^6 \ \rm 1/s$.

Jedes $T_{\rm D}$ im Bereich $3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ ... $4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ führt zum maximalen SNR.
Der Nutzwert  $d_S(T_\text{D, opt})$  ist kleiner als in Teilaufgabe  (5)  berechnet.
Die Störleistung  $\sigma_d^2$  ist größer als in Teilaufgabe  (5)  berechnet.
Das S/N-Verhältnis ist kleiner als in Teilaufgabe  (3)  berechnet.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Bei gleicher Impulsdauer  $(\Delta t_h =\Delta t_g)$  liegt ein Matched-Filter vor, auch wenn sich  $g(t)$  und  $h(t)$  hinsichtlich Amplitude und zeitlicher Lage unterscheiden.
  • Damit gibt es auch kein anderes Filter mit besserem Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis.
  • Das Filter mit rechteckförmiger Impulsantwort lässt sich auch als ein Integrator über die Zeitdauer  $\Delta t_h$  interpretieren.


(2)  Die Impulsantwort des Matched–Filters lautet:   $h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(T_{\rm D} - t).$

  • Der Eingangsimpuls  $g(t)$  ist im Bereich von  $2 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  bis  $4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  ungleich Null, bei Spiegelung im Bereich von  $-4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  bis  $-2 \hspace{0.08cm}\rm µ s$.
  • Durch eine Verschiebung um  $4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  wird erreicht, dass  $g(T_{\rm D} - t)$  wie die Impulsantwort  $h(t)$  zwischen  $0$  und  $2 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  liegt. Daraus folgt:   $T_\text{D, opt}\hspace{0.15cm}\underline{ =4 \hspace{0.08cm}\rm µ s}$.


(3)  Mit  $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm µ s$  und  $g_0 = 2 \hspace{0.08cm}\rm V$  erhält man  $K_{\rm MF} 1/(\Delta t_g \cdot g_0)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.25 \cdot 10^{6}\hspace{0.08cm}\rm (1/Vs)}$.


(4)  Die Energie des Nutzimpulses  $g(t)$  ist  $E_g = g_0^2 \cdot \Delta t_g = 8 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm V^2s$. 

  • Daraus folgt für das maximale S/N–Verhältnis:
$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 8 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 {\rm{s}}}}{{4 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 /{\rm{Hz}}}}\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}.$$


Ausgangsimpuls des Matched–Filters zur Teilaufgabe  (5)

(5)  Der Ausgangsimpuls  $d_{\rm S}(t)$  ist dreieckförmig zwischen  $2 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  und  $6 \hspace{0.05cm}\rm µ s$.

  • Das Maximum  $g_0\hspace{0.15cm}\underline{= 2 \hspace{0.08cm}\rm V}$  liegt bei  $T_\text{D, opt} =4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$.
  • Die Störleistung ergibt sich zu:
$$\sigma _d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\;{\rm{V}}^2} .$$
  • Mit diesen beiden Rechengrößen kann man wiederum das maximale S/N-Verhältnis berechnen:
$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} ) = \frac{{d_{\rm S} (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} )^2}}{\sigma _d ^2 } = \frac{({2\;{\rm{V}})^2 }}{{1\;{\rm{V}}^2 }} = 4.$$


(6)  Aus obiger Skizze erkennt man, dass nun der Nutzabtastwert nur mehr halb so groß ist, nämlich  $1 \hspace{0.08cm}\rm V$.

  • Damit ist für  $T_\text{D, opt} =3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  das S/N–Verhältnis um den Faktor  $4$  kleiner, also  $\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{=1}$.


Ausgangsimpuls des Matched-Filters zur Teilaufgabe  (7)

(7)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

  • Die Skizze zeigt, dass nun der Ausgangsimpuls  $d_{\rm S}(t)$  trapezförmig verläuft.
  • Im Bereich von  $3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  bis  $4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  ist der Nutzabtastwert konstant gleich  $g_0= 2 \hspace{0.08cm}\rm V$
  • Wegen der nur halb so breiten Impulsantwort  $h(t)$  ist der Frequenzgang  $H(f)$  um den Faktor  $2$  breitbandiger und dadurch die Störleistung größer:
$$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h^2 (t)\,{\rm{d}}t} = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = 2\;{\rm{V}}^2 .$$
  • Damit ergibt sich für das S/N–Verhältnis nun der Wert   $\rho_d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} ) \hspace{0.15cm}\underline{= 2}.$


Ausgangsimpuls des Matched-Filters zur Teilaufgabe  (8)

(8)  Richtig sind hier die Lösungsvorschläge 2 und 4:

  • Rechts ist der Ausgangsimpuls  $d_{\rm S}(t)$  für  $\Delta t_h = 3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ skizziert.  Auch dieser ist trapezförmig.
  • Der optimale Detektionszeitpunkt liegt nun im Bereich zwischen  $4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  und  $5 \hspace{0.05cm}\rm µ s$.
  • Das Nutzsignal ist aber nun nur mehr ein Drittel so groß als bei Anpassung:   $d_{\rm S}(T_\text{D, opt}) = 2/3 \hspace{0.08cm}\rm V$.
  • Für die Störleistung gilt nun:
$$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = \frac{2}{3}\;{\rm{V}}^2 .$$
  • Die Störleistung ist somit zwar kleiner (also günstiger) als bei Anpassung entsprechend der Teilaufgabe  (5).
  • Trotzdem ist das S/N–Verhältnis aufgrund des kleineren Nutzabtastwertes noch schlechter als in Teilaufgabe  (7):
$$\rho _d (T_{{\rm{D\hspace{0.05cm},opt}}} ) = \frac{{(2/3\;{\rm{V}})^2 }}{{2/3\;{\rm{V}}^2 }} = {2}/{3}.$$