Aufgaben:Aufgabe 5.7: Rechteck-Matched-Filter: Unterschied zwischen den Versionen
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− | [[Datei:P_ID574__Sto_A_5_7.png|right| | + | [[Datei:P_ID574__Sto_A_5_7.png|right|frame|Nutzimpuls $g(t)$ und <br>MF–Impulsantwort $h(t)$]] |
− | Am Eingang eines Tiefpasses mit | + | Am Eingang eines Tiefpasses mit rechteckförmiger Impulsantwort $h(t)$ liegt das Empfangssignal $r(t)$ an, das sich additiv aus einem impulsförmigen Nutzsignal $g(t)$ und einem Rauschsignal $n(t)$ zusammensetzt. Es gelte: |
− | * Der Nutzimpuls $g(t)$ ist rechteckförmig. | + | * Der Nutzimpuls $g(t)$ ist rechteckförmig. |
− | * Die Impulsdauer beträgt $\Delta t_g = 2 \hspace{0. | + | * Die Impulsdauer beträgt $\Delta t_g = 2 \hspace{0.08cm}\rm µ s$. |
− | * Die Impulsamplitude ist $g_0 = 2 \hspace{0. | + | * Die Impulsamplitude ist $g_0 = 2 \hspace{0.08cm}\rm V$. |
− | * Die Mitte des Impulses $T_g = 3 \hspace{0. | + | * Die Mitte des Impulses liegt bei $T_g = 3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$. |
− | * Das Rauschen $n(t)$ ist weiß und gaußverteilt. | + | * Das Rauschen $n(t)$ ist weiß und gaußverteilt. |
− | * Die | + | * Die Rauschleistungsdichte beträgt $N_0 = 4 \cdot 10^{-6} \hspace{0.08cm}\rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$ bezogen auf den Widerstand $1 \hspace{0.08cm}\rm \Omega$. |
− | Die rechteckförmige Impulsantwort des Filters beginnt bei $t = 0$. Die Impulsantwortdauer $\Delta t_h$ ist frei wählbar. Die Höhe $1/\Delta t_h$ der Impulsantwort ist jeweils so angepasst, dass $H(f = 0) = 1$ gilt. | + | Die rechteckförmige Impulsantwort des Filters beginnt bei $t = 0$. |
+ | *Die Impulsantwortdauer $\Delta t_h$ ist frei wählbar. | ||
+ | *Die Höhe $1/\Delta t_h$ der Impulsantwort ist jeweils so angepasst, dass $H(f = 0) = 1$ gilt. | ||
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− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter|Matched-Filter]]. | + | |
− | *Für die Teilfragen (1) bis (6) gelte stets $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \hspace{0.05cm}\rm | + | |
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+ | Hinweise: | ||
+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter|Matched-Filter]]. | ||
+ | *Für die Teilfragen '''(1)''' bis '''(6)''' gelte stets $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \hspace{0.05cm}\rm µ s$. | ||
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− | {Welche der | + | {Welche der Aussagen sind unter der Annahme $\Delta t_h =\Delta t_g$ zutreffend? |
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− | + Das Filter ist an den Eingangsimpuls $g(t)$ angepasst. | + | + Das Filter ist an den Eingangsimpuls $g(t)$ angepasst. |
- Es gibt ein anderes Filter mit größerem S/N-Verhältnis. | - Es gibt ein anderes Filter mit größerem S/N-Verhältnis. | ||
− | + Das Filter lässt sich als Integrator über die Zeit $\Delta t_h$ realisieren. | + | + Das Filter lässt sich als Integrator über die Zeit $\Delta t_h$ realisieren. |
{Was ist der optimale Detektionszeitpunkt? | {Was ist der optimale Detektionszeitpunkt? | ||
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− | $T_\text{D, opt} \ = $ { 4 3% } $\ \rm | + | $T_\text{D, opt} \ = \ $ { 4 3% } $\ \rm µ s$ |
− | {Welchen Wert besitzt hier die Matched | + | {Welchen Wert besitzt hier die Matched–Filter–Konstante? |
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− | $K_\text{MF} \ = $ { 0.25 3% } $\cdot 10^6 \ \rm 1/Vs$ | + | $K_\text{MF} \ = \ $ { 0.25 3% } $\cdot 10^6 \ \rm 1/Vs$ |
− | {Welches S/N | + | {Welches S/N–Verhältnis ergibt sich zum optimalen Detektionszeitpunkt? |
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− | $\rho_d(T_\text{D, opt}) \ = $ { 4 3% } | + | $\rho_d(T_\text{D, opt}) \ = \ $ { 4 3% } |
− | {Wie groß sind der Nutzabtastwert zum optimalen Zeitpunkt | + | {Wie groß sind der Nutzabtastwert zum optimalen Zeitpunkt $T_\text{D, opt}$ und die Störleistung $\sigma_d^2$ vor dem Detektor? |
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− | $d_{\rm S}(T_\text{D, opt}) \ = $ { 2 3% } $\ \rm V$ | + | $d_{\rm S}(T_\text{D, opt}) \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V$ |
− | $\sigma_d^2 \ = $ { 1 3% } $\ \rm V^2$ | + | $\sigma_d^2 \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V^2$ |
− | {Welches S/N | + | {Welches S/N–Verhältnis ergibt sich zum Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$? |
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− | $\rho_d(T_{\rm D} = 3 \hspace{0. | + | $\rho_d(T_{\rm D} = 3 \hspace{0.08cm}\rm µ s) \ = \ $ { 1 3% } |
− | {Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn $\Delta t_h =1 \hspace{0. | + | {Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn $\Delta t_h =1 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ gilt? Hinweis: Im Bereich von $0$ bis $1 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ hat die Impulsantwort somit den Wert $10^6 \ \rm 1/s$. |
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− | + Jedes $T_{\rm D}$ im Bereich $3 \hspace{0. | + | + Jedes $T_{\rm D}$ im Bereich $3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ ... $4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ führt zum maximalen SNR. |
− | - Der Nutzwert $d_S(T_\text{D, opt})$ ist kleiner als in | + | - Der Nutzwert $d_S(T_\text{D, opt})$ ist kleiner als in Teilaufgabe '''(5)''' berechnet. |
− | + Die Störleistung $\sigma_d^2$ ist größer als in | + | + Die Störleistung $\sigma_d^2$ ist größer als in Teilaufgabe '''(5)''' berechnet. |
− | + Das S/N-Verhältnis ist kleiner als in | + | + Das S/N-Verhältnis ist kleiner als in Teilaufgabe '''(4)''' berechnet. |
− | {Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn $\Delta t_h =3 \hspace{0. | + | {Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn $\Delta t_h =3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ gilt? Hinweis: Im Bereich von $0$ bis $3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ hat die Impulsantwort den Wert $0.33 \cdot 10^6 \ \rm 1/s$. |
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− | - Jedes $T_{\rm D}$ im Bereich $3 \hspace{0.05cm}\rm | + | - Jedes $T_{\rm D}$ im Bereich $3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ ... $4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ führt zum maximalen SNR. |
− | + Der Nutzwert $d_S(T_\text{D, opt})$ ist kleiner als in | + | + Der Nutzwert $d_S(T_\text{D, opt})$ ist kleiner als in Teilaufgabe '''(5)''' berechnet. |
− | - Die Störleistung $\sigma_d^2$ ist größer als in | + | - Die Störleistung $\sigma_d^2$ ist größer als in Teilaufgabe '''(5)''' berechnet. |
− | + Das S/N-Verhältnis ist kleiner als in | + | + Das S/N-Verhältnis ist kleiner als in Teilaufgabe '''(3)''' berechnet. |
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− | '''(1)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>: | + | '''(1)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>: |
− | *Bei gleicher Impulsdauer ( | + | *Bei gleicher Impulsdauer $(\Delta t_h =\Delta t_g)$ liegt ein Matched-Filter vor, auch wenn sich $g(t)$ und $h(t)$ hinsichtlich Amplitude und zeitlicher Lage unterscheiden. |
− | *Damit gibt es auch kein anderes Filter mit besserem Signal | + | *Damit gibt es auch kein anderes Filter mit besserem Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis. |
− | *Das Filter mit rechteckförmiger Impulsantwort lässt sich auch als ein Integrator über die Zeitdauer $\Delta t_h$ interpretieren. | + | *Das Filter mit rechteckförmiger Impulsantwort lässt sich auch als ein Integrator über die Zeitdauer $\Delta t_h$ interpretieren. |
− | '''(2)''' Die Impulsantwort des Matched | + | |
− | *Der Eingangsimpuls $g(t)$ ist im Bereich von $2 \hspace{0.05cm}\rm | + | '''(2)''' Die Impulsantwort des Matched–Filters lautet: $h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(T_{\rm D} - t).$ |
− | *Durch eine Verschiebung um $4 \hspace{0. | + | *Der Eingangsimpuls $g(t)$ ist im Bereich von $2 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ bis $4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ ungleich Null, bei Spiegelung im Bereich von $-4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ bis $-2 \hspace{0.08cm}\rm µ s$. |
+ | *Durch eine Verschiebung um $4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ wird erreicht, dass $g(T_{\rm D} - t)$ wie die Impulsantwort $h(t)$ zwischen $0$ und $2 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ liegt. Daraus folgt: $T_\text{D, opt}\hspace{0.15cm}\underline{ =4 \hspace{0.08cm}\rm µ s}$. | ||
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+ | '''(3)''' Mit $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm µ s$ und $g_0 = 2 \hspace{0.08cm}\rm V$ erhält man $K_{\rm MF} 1/(\Delta t_g \cdot g_0)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.25 \cdot 10^{6}\hspace{0.08cm}\rm (1/Vs)}$. | ||
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− | [[Datei:P_ID575__Sto_A_5_7_f.png|right|Ausgangsimpuls | + | |
− | '''(5)''' Der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ ist dreieckförmig zwischen 2 und 6 | + | '''(4)''' Die Energie des Nutzimpulses $g(t)$ ist $E_g = g_0^2 \cdot \Delta t_g = 8 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm V^2s$. |
+ | *Daraus folgt für das maximale S/N–Verhältnis: | ||
+ | :$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 8 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 {\rm{s}}}}{{4 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 /{\rm{Hz}}}}\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}.$$ | ||
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+ | [[Datei:P_ID575__Sto_A_5_7_f.png|right|frame|MF–Ausgangsimpuls zur Teilaufgabe '''(5)''']] | ||
+ | '''(5)''' Der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ ist dreieckförmig zwischen $2 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ und $6 \hspace{0.05cm}\rm µ s$. | ||
+ | *Das Maximum $g_0\hspace{0.15cm}\underline{= 2 \hspace{0.08cm}\rm V}$ liegt bei $T_\text{D, opt} =4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$. | ||
+ | *Die Störleistung ergibt sich zu: | ||
:$$\sigma _d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\;{\rm{V}}^2} .$$ | :$$\sigma _d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\;{\rm{V}}^2} .$$ | ||
− | Mit diesen beiden Rechengrößen kann man wiederum das maximale S/N-Verhältnis berechnen: | + | *Mit diesen beiden Rechengrößen kann man wiederum das maximale S/N-Verhältnis berechnen: |
− | :$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0. | + | :$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} ) = \frac{{d_{\rm S} (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} )^2}}{\sigma _d ^2 } = \frac{({2\;{\rm{V}})^2 }}{{1\;{\rm{V}}^2 }} = 4.$$ |
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+ | '''(6)''' Aus obiger Skizze erkennt man, dass nun der Nutzabtastwert nur mehr halb so groß ist, nämlich $1 \hspace{0.08cm}\rm V$. | ||
+ | *Damit ist für $T_\text{D, opt} =3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ das S/N–Verhältnis um den Faktor $4$ kleiner, also $\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{=1}$. | ||
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− | [[Datei:P_ID576__Sto_A_5_7_g.png|right|Ausgangsimpuls | + | [[Datei:P_ID576__Sto_A_5_7_g.png|right|frame|MF–Ausgangsimpuls zur Teilaufgabe '''(7)''']] |
− | '''(7)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>: | + | '''(7)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>: |
− | *Die Skizze zeigt, dass nun der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ trapezförmig verläuft. | + | *Die Skizze zeigt, dass nun der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ trapezförmig verläuft. |
− | *Im Bereich von $3 \hspace{0.05cm}\rm | + | *Im Bereich von $3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ bis $4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ ist der Nutzabtastwert konstant gleich $g_0= 2 \hspace{0.08cm}\rm V$ |
− | *Wegen der nur halb so breiten Impulsantwort $h(t)$ ist der Frequenzgang $H(f)$ um den Faktor $2$ breitbandiger | + | *Wegen der nur halb so breiten Impulsantwort $h(t)$ ist der Frequenzgang $H(f)$ um den Faktor $2$ breitbandiger. Dadurch ist die Störleistung größer: |
:$$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h^2 (t)\,{\rm{d}}t} = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = 2\;{\rm{V}}^2 .$$ | :$$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h^2 (t)\,{\rm{d}}t} = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = 2\;{\rm{V}}^2 .$$ | ||
− | *Damit ergibt sich für das S/N | + | *Damit ergibt sich für das S/N–Verhältnis nun der Wert $\rho_d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} ) \hspace{0.15cm}\underline{= 2}.$ |
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− | [[Datei:P_ID577__Sto_A_5_7_h.png|right|Ausgangsimpuls | + | [[Datei:P_ID577__Sto_A_5_7_h.png|right|frame|MF–Ausgangsimpuls zur Teilaufgabe '''(8)''']] |
− | '''(8)''' Richtig sind hier <u>die Lösungsvorschläge 2 und 4</u>: | + | '''(8)''' Richtig sind hier <u>die Lösungsvorschläge 2 und 4</u>: |
− | *Rechts ist der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ für $\Delta t_h = 3 \hspace{0.05cm}\rm | + | *Rechts ist der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ für $\Delta t_h = 3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ skizziert. Auch dieser ist trapezförmig. |
− | *Der optimale Detektionszeitpunkt liegt nun im Bereich zwischen $4 \hspace{0.05cm}\rm | + | *Der optimale Detektionszeitpunkt liegt nun im Bereich zwischen $4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ und $5 \hspace{0.05cm}\rm µ s$. |
− | *Das Nutzsignal ist aber nun nur mehr ein Drittel so groß | + | *Das Nutzsignal ist aber nun nur mehr ein Drittel so groß als bei Anpassung: $d_{\rm S}(T_\text{D, opt}) = 2/3 \hspace{0.08cm}\rm V$. |
*Für die Störleistung gilt nun: | *Für die Störleistung gilt nun: | ||
:$$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = \frac{2}{3}\;{\rm{V}}^2 .$$ | :$$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = \frac{2}{3}\;{\rm{V}}^2 .$$ | ||
− | *Die Störleistung ist zwar kleiner (also günstiger) als bei Anpassung entsprechend der Teilaufgabe (5). | + | *Die Störleistung ist somit zwar kleiner (also günstiger) als bei Anpassung entsprechend der Teilaufgabe '''(5)'''. |
− | *Trotzdem ist das S/N | + | *Trotzdem ist das S/N–Verhältnis aufgrund des kleineren Nutzabtastwertes noch schlechter als in Teilaufgabe '''(7)''': |
:$$\rho _d (T_{{\rm{D\hspace{0.05cm},opt}}} ) = \frac{{(2/3\;{\rm{V}})^2 }}{{2/3\;{\rm{V}}^2 }} = {2}/{3}.$$ | :$$\rho _d (T_{{\rm{D\hspace{0.05cm},opt}}} ) = \frac{{(2/3\;{\rm{V}})^2 }}{{2/3\;{\rm{V}}^2 }} = {2}/{3}.$$ | ||
Aktuelle Version vom 21. Februar 2022, 15:39 Uhr
Am Eingang eines Tiefpasses mit rechteckförmiger Impulsantwort $h(t)$ liegt das Empfangssignal $r(t)$ an, das sich additiv aus einem impulsförmigen Nutzsignal $g(t)$ und einem Rauschsignal $n(t)$ zusammensetzt. Es gelte:
- Der Nutzimpuls $g(t)$ ist rechteckförmig.
- Die Impulsdauer beträgt $\Delta t_g = 2 \hspace{0.08cm}\rm µ s$.
- Die Impulsamplitude ist $g_0 = 2 \hspace{0.08cm}\rm V$.
- Die Mitte des Impulses liegt bei $T_g = 3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$.
- Das Rauschen $n(t)$ ist weiß und gaußverteilt.
- Die Rauschleistungsdichte beträgt $N_0 = 4 \cdot 10^{-6} \hspace{0.08cm}\rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$ bezogen auf den Widerstand $1 \hspace{0.08cm}\rm \Omega$.
Die rechteckförmige Impulsantwort des Filters beginnt bei $t = 0$.
- Die Impulsantwortdauer $\Delta t_h$ ist frei wählbar.
- Die Höhe $1/\Delta t_h$ der Impulsantwort ist jeweils so angepasst, dass $H(f = 0) = 1$ gilt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Matched-Filter.
- Für die Teilfragen (1) bis (6) gelte stets $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \hspace{0.05cm}\rm µ s$.
Fragebogen
Musterlösung
- Bei gleicher Impulsdauer $(\Delta t_h =\Delta t_g)$ liegt ein Matched-Filter vor, auch wenn sich $g(t)$ und $h(t)$ hinsichtlich Amplitude und zeitlicher Lage unterscheiden.
- Damit gibt es auch kein anderes Filter mit besserem Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis.
- Das Filter mit rechteckförmiger Impulsantwort lässt sich auch als ein Integrator über die Zeitdauer $\Delta t_h$ interpretieren.
(2) Die Impulsantwort des Matched–Filters lautet: $h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(T_{\rm D} - t).$
- Der Eingangsimpuls $g(t)$ ist im Bereich von $2 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ bis $4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ ungleich Null, bei Spiegelung im Bereich von $-4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ bis $-2 \hspace{0.08cm}\rm µ s$.
- Durch eine Verschiebung um $4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ wird erreicht, dass $g(T_{\rm D} - t)$ wie die Impulsantwort $h(t)$ zwischen $0$ und $2 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ liegt. Daraus folgt: $T_\text{D, opt}\hspace{0.15cm}\underline{ =4 \hspace{0.08cm}\rm µ s}$.
(3) Mit $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm µ s$ und $g_0 = 2 \hspace{0.08cm}\rm V$ erhält man $K_{\rm MF} 1/(\Delta t_g \cdot g_0)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.25 \cdot 10^{6}\hspace{0.08cm}\rm (1/Vs)}$.
(4) Die Energie des Nutzimpulses $g(t)$ ist $E_g = g_0^2 \cdot \Delta t_g = 8 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm V^2s$.
- Daraus folgt für das maximale S/N–Verhältnis:
- $$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 8 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 {\rm{s}}}}{{4 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 /{\rm{Hz}}}}\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}.$$
(5) Der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ ist dreieckförmig zwischen $2 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ und $6 \hspace{0.05cm}\rm µ s$.
- Das Maximum $g_0\hspace{0.15cm}\underline{= 2 \hspace{0.08cm}\rm V}$ liegt bei $T_\text{D, opt} =4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$.
- Die Störleistung ergibt sich zu:
- $$\sigma _d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\;{\rm{V}}^2} .$$
- Mit diesen beiden Rechengrößen kann man wiederum das maximale S/N-Verhältnis berechnen:
- $$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} ) = \frac{{d_{\rm S} (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} )^2}}{\sigma _d ^2 } = \frac{({2\;{\rm{V}})^2 }}{{1\;{\rm{V}}^2 }} = 4.$$
(6) Aus obiger Skizze erkennt man, dass nun der Nutzabtastwert nur mehr halb so groß ist, nämlich $1 \hspace{0.08cm}\rm V$.
- Damit ist für $T_\text{D, opt} =3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ das S/N–Verhältnis um den Faktor $4$ kleiner, also $\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{=1}$.
(7) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:
- Die Skizze zeigt, dass nun der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ trapezförmig verläuft.
- Im Bereich von $3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ bis $4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ ist der Nutzabtastwert konstant gleich $g_0= 2 \hspace{0.08cm}\rm V$
- Wegen der nur halb so breiten Impulsantwort $h(t)$ ist der Frequenzgang $H(f)$ um den Faktor $2$ breitbandiger. Dadurch ist die Störleistung größer:
- $$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h^2 (t)\,{\rm{d}}t} = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = 2\;{\rm{V}}^2 .$$
- Damit ergibt sich für das S/N–Verhältnis nun der Wert $\rho_d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} ) \hspace{0.15cm}\underline{= 2}.$
(8) Richtig sind hier die Lösungsvorschläge 2 und 4:
- Rechts ist der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ für $\Delta t_h = 3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ skizziert. Auch dieser ist trapezförmig.
- Der optimale Detektionszeitpunkt liegt nun im Bereich zwischen $4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ und $5 \hspace{0.05cm}\rm µ s$.
- Das Nutzsignal ist aber nun nur mehr ein Drittel so groß als bei Anpassung: $d_{\rm S}(T_\text{D, opt}) = 2/3 \hspace{0.08cm}\rm V$.
- Für die Störleistung gilt nun:
- $$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = \frac{2}{3}\;{\rm{V}}^2 .$$
- Die Störleistung ist somit zwar kleiner (also günstiger) als bei Anpassung entsprechend der Teilaufgabe (5).
- Trotzdem ist das S/N–Verhältnis aufgrund des kleineren Nutzabtastwertes noch schlechter als in Teilaufgabe (7):
- $$\rho _d (T_{{\rm{D\hspace{0.05cm},opt}}} ) = \frac{{(2/3\;{\rm{V}})^2 }}{{2/3\;{\rm{V}}^2 }} = {2}/{3}.$$