Aufgaben:Aufgabe 5.6Z: Nochmals Filterdimensionierung

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Mit Hilfe eines nichtrekursiven digitalen Filters erster Ordnung soll eine zeitdiskrete Zufallsgröße $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ generiert werden, die folgende AKF-Werte aufweist:

$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\varphi _0 = 1} & {\rm f\ddot{u}r} & {k = 0} \\ {\varphi _1 } & {\rm f\ddot{u}r} & {\left| k \right| = 1} \\ 0 & {} & {{\rm{sonst}}.} \\ \end{array}} \right.$$

Hierbei bezeichnet $\varphi_1$ einen (in bestimmten Grenzen) frei wählbaren Parameter. Weiter gelte:

• Die zeitdiskreten Eingangswerte $x_\nu$ sind gaußverteilt mit Mittelwert $m_x$ und Streuung $\sigma_x$.
• Für die gesamte Aufgabe gilt $\sigma_x= 1$. Der Mittelert sei zunächst $m_x = 0$. In der Teilaufgabe (4) gelte $m_x = 1$.

Damit lautet das Gleichungssystem zur Bestimmung der Filterkoeffizienten $a_0$ und $a_1$:

$$a_0 ^2 + a_1 ^2 = 1, \hspace{0.5cm} a_0 \cdot a_1 = \varphi _1 .$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Autokorrelationsfunktion.

Fragebogen

1

Wie lauten die Grenzen für $\varphi_1$, damit das Gleichungssystem lösbar ist?

$\varphi_\text{1, max} \ = $

$\varphi_\text{1, min} \ = $

2

Es gelte $\varphi_1= -0.3$. Bestimmen Sie die Filterparameter $a_0$ und $a_1$. Wählen Sie die Lösung mit positivem $a_0$ und $|a_0| > |a_1|$.

$a_0 \ = $

$a_1 \ = $

3

Wie ändert sich die AKF, wenn nun bei gleichen Filterkoeffizienten nun$\sigma_x = 2$ gilt? Wie groß ist insbesondere der AKF–Wert für $k = 1 $?

$\varphi_y(T_{\rm A}) \ = $

4

Wie ändert sich die AKF bei gleichen Filterkoeffizienten und $\sigma_x = 2$ mit einem Gleichanteil $m_x = 1$? Wie groß ist nun der AKF-Wert für $k = 1 $?

$\varphi_y(T_{\rm A}) \ = $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Nach einigen Umformungen kommt man zur Bestimmungsgleichung (mit $u = a_0^2$):

$$a_0 \cdot a_1 = \varphi_1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} a_1 = \varphi_1 /a_0 ,$$

$$a_0^2 + a_1^2 = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} a_0^2 + \varphi_1^2 /a_0^2 -1 = 0,$$

$$u = a_0^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} u + \varphi_1^2 /u -1 = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} u^2 - u + \varphi_1^2 = 0.$$

Dies führt zu den beiden Lösungen:

$$u_{1/2} = 0.5 \pm \sqrt {0.25 - \varphi _1 ^2 } .$$

Reelle Lösungen gibt es nur für $\varphi_1^2 \le 0.25$. Das bedeutet:

$$\hspace{0.15cm}\underline {\varphi _{1,\max } = +0.5}, \quad \hspace{0.15cm}\underline {\varphi _{1,\min } = - 0.5}.$$

(2)  Mit $\varphi_1=-0.3$ erhält man $u_1 = 0.9$ und $u_2 = 0.1$. Daraus ergeben sich folgende Parametersätze:

$$\text{Lösung 1:} \ \ a_0 = \;\;\,\sqrt {0.9} = \;\;\, 0.949,\quad a_1 = - \sqrt {0.1} = - 0.316;$$

$$\text{Lösung 2:} \ \ a_0 = - \sqrt {0.9} = - 0.949,\quad a_1 = \;\;\, \sqrt {0.1} = \;\;\, 0.316;$$

$$\text{Lösung 3:} \ \ a_0 = \;\;\, \sqrt {0.1} = \;\;\, 0.316,\quad a_1 = - \sqrt {0.9} = - 0.949;$$

$$\text{Lösung 4:} \ \ a_0 = - \sqrt {0.1} = - 0.316,\quad a_1 = \;\;\, \sqrt {0.9} = \;\;\, 0.949.$$

Nur der erste Parametersatz erfüllt die angegebene Nebenbedingung: $a_0 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.949}$ und $a_1 \hspace{0.15cm}\underline {= -0.316}$.

(3)  Wird $\sigma_x$ verdoppelt, so erhöhen sich alle AKF-Werte um den Faktor $4$. Insbesondere gilt dann:

$$\varphi _y( {T_{\rm A} } ) = - 0.3 \cdot 4 \hspace{0.15cm}\underline{= - 1.2}.$$

(4)  Der Gleichanteil $m_x = 1$ am Eingang führt zu folgendem Gleichanteil im Ausgangssignal:

$$m_y = m_x \cdot ( {a_0 + a_1 } ) = 0.633.$$

Alle AKF-Werte werden deshalb gegenüber der Teilaufgabe (3) um $m_y^2 \approx 0.4$ vergrößert und man erhält nun:

$$\varphi _y( {T_{\rm A} } )\hspace{0.15cm}\underline{ \approx - 0.8}.$$