Aufgaben:Aufgabe 5.6Z: Nochmals Filterdimensionierung: Unterschied zwischen den Versionen
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− | + | Mit Hilfe eines nichtrekursiven digitalen Filters erster Ordnung soll eine zeitdiskrete Zufallsgröße $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ generiert werden, die folgende AKF-Werte aufweist: | |
:$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\varphi _0 = 1} & {\rm f\ddot{u}r} & {k = 0} \\ {\varphi _1 } & {\rm f\ddot{u}r} & {\left| k \right| = 1} \\ 0 & {} & {{\rm{sonst}}.} \\ \end{array}} \right.$$ | :$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\varphi _0 = 1} & {\rm f\ddot{u}r} & {k = 0} \\ {\varphi _1 } & {\rm f\ddot{u}r} & {\left| k \right| = 1} \\ 0 & {} & {{\rm{sonst}}.} \\ \end{array}} \right.$$ | ||
− | + | Hierbei bezeichnet $\varphi_1$ einen (in bestimmten Grenzen) frei wählbaren Parameter. Weiter gelte: | |
− | + | * Die zeitdiskreten Eingangswerte $x_\nu$ sind gaußverteilt mit Mittelwert $m_x$ und Streuung $\sigma_x$. | |
+ | * Für die gesamte Aufgabe gilt $\sigma_x= 1$. Der Mittelert sei zunächst $m_x = 0$. In der Teilaufgabe (4) gelte $m_x = 1$. | ||
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− | + | Damit lautet das Gleichungssystem zur Bestimmung der Filterkoeffizienten $a_0$ und $a_1$: | |
− | :$$a_0 ^2 + a_1 ^2 = 1, | + | :$$a_0 ^2 + a_1 ^2 = 1, \hspace{0.5cm} |
− | + | a_0 \cdot a_1 = \varphi _1 .$$ | |
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+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_vorgegebener_AKF-Eigenschaften|Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften]]. | ||
+ | *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]]. | ||
+ | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Wie lauten die Grenzen für | + | {Wie lauten die Grenzen für $\varphi_1$, damit das Gleichungssystem lösbar ist? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\ | + | $\varphi_\text{1, max} \ = $ { 0.5 3% } |
− | $\ | + | $\varphi_\text{1, min} \ = $ { -0.515--0.485 } |
− | {Es gelte | + | {Es gelte $\varphi_1= -0.3$. Bestimmen Sie die Filterparameter $a_0$ und $a_1$. Wählen Sie die Lösung mit positivem $a_0$ und $|a_0| > |a_1|$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $a_0$ | + | $a_0 \ = $ { 0.949 3% } |
− | $a_1$ | + | $a_1 \ = ${ -0.326--0.306 } |
− | {Wie ändert sich die AKF, wenn bei gleichen Filterkoeffizienten nun | + | {Wie ändert sich die AKF, wenn nun bei gleichen Filterkoeffizienten nun$\sigma_x = 2$ gilt? Wie groß ist insbesondere der AKF–Wert für $k = 1 $? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\ | + | $\varphi_y(T_{\rm A}) \ = $ { -1.236--1.164 } |
− | {Wie ändert sich die AKF bei gleichen Filterkoeffizienten und | + | {Wie ändert sich die AKF bei gleichen Filterkoeffizienten und $\sigma_x = 2$ mit einem Gleichanteil $m_x = 1$? Wie groß ist nun der AKF-Wert für $k = 1 $? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\ | + | $\varphi_y(T_{\rm A}) \ = $ { -0.82--0.78 } |
Version vom 20. April 2017, 14:21 Uhr
Mit Hilfe eines nichtrekursiven digitalen Filters erster Ordnung soll eine zeitdiskrete Zufallsgröße $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ generiert werden, die folgende AKF-Werte aufweist:
- $$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\varphi _0 = 1} & {\rm f\ddot{u}r} & {k = 0} \\ {\varphi _1 } & {\rm f\ddot{u}r} & {\left| k \right| = 1} \\ 0 & {} & {{\rm{sonst}}.} \\ \end{array}} \right.$$
Hierbei bezeichnet $\varphi_1$ einen (in bestimmten Grenzen) frei wählbaren Parameter. Weiter gelte:
- Die zeitdiskreten Eingangswerte $x_\nu$ sind gaußverteilt mit Mittelwert $m_x$ und Streuung $\sigma_x$.
- Für die gesamte Aufgabe gilt $\sigma_x= 1$. Der Mittelert sei zunächst $m_x = 0$. In der Teilaufgabe (4) gelte $m_x = 1$.
Damit lautet das Gleichungssystem zur Bestimmung der Filterkoeffizienten $a_0$ und $a_1$:
- $$a_0 ^2 + a_1 ^2 = 1, \hspace{0.5cm} a_0 \cdot a_1 = \varphi _1 .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Autokorrelationsfunktion.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Nach einigen Umformungen kommt man zur Bestimmungsgleichung (mit u = a02):
- $$a_0 \cdot a_1 = \varphi_1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} a_1 = \varphi_1 /a_0 ,$$
- $$a_0^2 + a_1^2 = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} a_0^2 + \varphi_1^2 /a_0^2 -1 = 0,$$
- $$u = a_0^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} u + \varphi_1^2 /u -1 = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} u^2 - u + \varphi_1^2 = 0.$$
- Dies führt zu den beiden Lösungen:
- $$u_{1/2} = 0.5 \pm \sqrt {0.25 - \varphi _1 ^2 } .$$
- Reelle Lösungen gibt es nur für φ12 ≤ 0.25. Das bedeutet:
- $$\hspace{0.15cm}\underline {\varphi _{1,\max } = +0.5}, \quad \hspace{0.15cm}\underline {\varphi _{1,\min } = - 0.5}.$$
- 2. Mit φ1 = –0.3 erhält man u1 = 0.9 und u2 = 0.1. Daraus ergeben sich folgende Parametersätze:
- $$a_0 = \;\;\,\sqrt {0.9} = \;\;\, 0.949,\quad a_1 = - \sqrt {0.1} = - 0.316;$$
- $$a_0 = - \sqrt {0.9} = - 0.949,\quad a_1 = \;\;\, \sqrt {0.1} = \;\;\, 0.316;$$
- $$a_0 = \;\;\, \sqrt {0.1} = \;\;\, 0.316,\quad a_1 = - \sqrt {0.9} = - 0.949;$$
- $$a_0 = - \sqrt {0.1} = - 0.316,\quad a_1 = \;\;\, \sqrt {0.9} = \;\;\, 0.949.$$
- Nur der erste Parametersatz erfüllt die angegebene Nebenbedingung: a0 = 0.949 und a1 = –0.316.
- 3. Wird σx verdoppelt, so erhöhen sich alle AKF-Werte um den Faktor 4. Insbesondere gilt dann:
- $$\varphi _y( {T_{\rm A} } ) = - 0.3 \cdot 4 \hspace{0.15cm}\underline{= - 1.2}.$$
- 4. Der Gleichanteil mx = 1 am Eingang führt zu folgendem Gleichanteil im Ausgangssignal:
- $$m_y = m_x \cdot ( {a_0 + a_1 } ) = 0.633.$$
- Alle AKF-Werte werden deshalb gegenüber Punkt (c) um my2 ≈ 0.4 vergrößert und man erhält:
- $$\varphi _y( {T_{\rm A} } )\hspace{0.15cm}\underline{ \approx - 0.8}.$$