Aufgaben:Aufgabe 5.6: Fehlerkorrelationsdauer: Unterschied zwischen den Versionen
| Zeile 20: | Zeile 20: | ||
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) + {\rm Pr}(\rm | B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) + {\rm Pr}(\rm | ||
G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)$$ | G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)$$ | ||
| + | |||
| + | kann für diese geschrieben werden: | ||
| + | :$$\varphi_{e}(k) = | ||
| + | \left\{ \begin{array}{c} p_{\rm M} \\ | ||
| + | p_{\rm M}^2 + A \cdot (1-B)^k \end{array} \right.\quad | ||
| + | \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, | ||
| + | \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k > 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$ | ||
| + | |||
| + | Hierbei handelt es sich um einen Bündelfehlerkanal. Zur quantitativen Beschreibung der statistischen Bindungen verwendet man oft die Korrelationsdauer gemäß der folgenden Definition: | ||
| + | :$$D_{\rm K} = \frac{1}{\varphi_{e0} - p_{\rm M}^2} \cdot \sum_{k = 1 | ||
| + | }^{\infty}\hspace{0.1cm} [\varphi_{e}(k) - p_{\rm | ||
| + | M}^2]\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | |||
| + | Der Bezugswert $\varphi_{e0}$ ergibt sich dabei durch <i>Extrapolation</i> der Fehlerkorrelationsfunktion in den Punkt $k = 0$. Ist wie hier der FKF–Verlauf analytisch gegeben, so kann man $\varphi_{e0}$ auch dadurch berechnen, dass man in die eigentlich nur für $k > 0$ gültige Gleichung den Wert $k = 0$ einsetzt. | ||
| + | |||
| + | ''Hinweis:'' | ||
| + | * Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le| Bündelfehlerkanäle]]. | ||
Version vom 14. November 2017, 12:32 Uhr
Die Grafik zeigt die Fehlerkorrelationsfunktion (FKF) des Gilbert–Elliott–Modells mit den Parametern
- $$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001, \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,$$
- $$ {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.1, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}$$
in logarithmierter Darstellung.
Dieses Modell wird in der Aufgabe Aufgabe Z5.6 ausführlich behandelt. Insbesondere wird in dieser Aufgabe auch die Fehlerkorrelationsfunktion (FKF) berechnet. Mit den Hilfsgrößen
- $$A \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (p_{\rm B}- p_{\rm M}) \cdot (p_{\rm M}- p_{\rm G})\hspace{0.05cm},$$
- $$B\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) + {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)$$
kann für diese geschrieben werden:
- $$\varphi_{e}(k) = \left\{ \begin{array}{c} p_{\rm M} \\ p_{\rm M}^2 + A \cdot (1-B)^k \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k > 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
Hierbei handelt es sich um einen Bündelfehlerkanal. Zur quantitativen Beschreibung der statistischen Bindungen verwendet man oft die Korrelationsdauer gemäß der folgenden Definition:
- $$D_{\rm K} = \frac{1}{\varphi_{e0} - p_{\rm M}^2} \cdot \sum_{k = 1 }^{\infty}\hspace{0.1cm} [\varphi_{e}(k) - p_{\rm M}^2]\hspace{0.05cm}.$$
Der Bezugswert $\varphi_{e0}$ ergibt sich dabei durch Extrapolation der Fehlerkorrelationsfunktion in den Punkt $k = 0$. Ist wie hier der FKF–Verlauf analytisch gegeben, so kann man $\varphi_{e0}$ auch dadurch berechnen, dass man in die eigentlich nur für $k > 0$ gültige Gleichung den Wert $k = 0$ einsetzt.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Bündelfehlerkanäle.
Fragebogen
Musterlösung
