Aufgaben:Aufgabe 5.5Z: AKF nach Filter 1. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen
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− | *Der AKF–Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Varianz (Leistung) $\sigma_y^2$ an und nicht die Streuung (den Effektivwert) $\sigma_y$. | + | *Der AKF–Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Varianz (Leistung) $\sigma_y^2$ an und nicht die Streuung (den Effektivwert) $\sigma_y$. |
− | *Da ein nichtrekursives Filter erster Ordnung vorliegt, sind alle AKF–Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ für $k \ge 2$. | + | *Da ein nichtrekursives Filter erster Ordnung vorliegt, sind alle AKF–Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})= 0$ für $k \ge 2$. |
− | *Der AKF–Wert $\varphi_y(- T_{\rm A})$ ist gleich $\varphi_y(+ T_{\rm A})$. | + | *Der AKF–Wert $\varphi_y(- T_{\rm A})$ ist gleich $\varphi_y(+ T_{\rm A})$. |
− | *Diese beiden AKF-Werte führen zu einer Cosinusfunktion im | + | *Diese beiden AKF-Werte führen zu einer Cosinusfunktion im Leistungsdichtespektrum, zu der sich noch der Gleichanteil $\varphi_y(0)$ hinzuaddiert. |
− | '''(2)''' Die allgemeine Gleichung lautet mit $M = 1$ für $k \in \{0, 1\}$: | + | |
+ | '''(2)''' Die allgemeine Gleichung lautet mit $M = 1$ für $k \in \{0, \ 1\}$: | ||
:$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k} } .$$ | :$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k} } .$$ | ||
− | Daraus erhält man mit $\sigma_x = 1$: | + | *Daraus erhält man mit $\sigma_x = 1$: |
:$$\varphi _y( 0 ) = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.4^2 + 0.3^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25},$$ | :$$\varphi _y( 0 ) = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.4^2 + 0.3^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25},$$ | ||
:$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = a_0 \cdot a_1 = 0.4 \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12}.$$ | :$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = a_0 \cdot a_1 = 0.4 \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12}.$$ | ||
− | '''(3)''' Mit den bisherigen Einstellungen ist die Varianz $\sigma_y^2 = 0.25$ und damit die Streuung $\sigma_y = 0.5$. | + | |
− | *Durch eine Verdoppelung der Koeffizienten erhält man wie gewünscht $\sigma_y = 1$: | + | '''(3)''' Mit den bisherigen Einstellungen ist die Varianz $\sigma_y^2 = 0.25$ und damit die Streuung $\sigma_y = 0.5$. |
+ | *Durch eine Verdoppelung der Koeffizienten erhält man wie gewünscht $\sigma_y = 1$: | ||
:$$\hspace{0.15cm}\underline {a_0 = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1 = 0.6}.$$ | :$$\hspace{0.15cm}\underline {a_0 = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1 = 0.6}.$$ | ||
− | '''(4)''' Die Konstante $K$ hebt die gesamte AKF um $K^2$ an. Mit dem Ergebnis aus '''(2)''' folgt: | + | |
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:$$K^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm}\underline {K = 0.5}.$$ | :$$K^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm}\underline {K = 0.5}.$$ | ||
− | '''(5)''' Alle AKF–Werte sind nun um den konstanten Wert $K^2 = 0.25$ größer. Somit ist | + | |
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:$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = 0.12 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.37},$$ | :$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = 0.12 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.37},$$ | ||
:$$\varphi _y ( { 2T_{\rm A} } ) = 0 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}.$$ | :$$\varphi _y ( { 2T_{\rm A} } ) = 0 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}.$$ | ||
− | '''(6)''' Durch die Konstante $K$ wird die Streuung nicht verändert, das heißt, es gilt weiterhin $\sigma_y = 0.5$. Formal kann diese Größe wie folgt berechnet werden: | + | |
+ | '''(6)''' Durch die Konstante $K$ wird die Streuung nicht verändert, das heißt, es gilt weiterhin $\sigma_y = 0.5$. | ||
+ | *Formal kann diese Größe auch wie folgt berechnet werden: | ||
:$$\sigma _y ^2 = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$ | :$$\sigma _y ^2 = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$ | ||
− | + | *Auch hiermit erhält man wiederum $\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}$. | |
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Version vom 9. Dezember 2019, 14:02 Uhr
Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung $(M = 1)$.
- Die Filterkoeffizienten seien $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$.
- Am Filterausgang wird eine Konstante $K$ hinzuaddiert, die bis einschließlich Teilaufgabe (3) zu Null gesetzt werden soll.
Die einzelnen Elemente der Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$
- sind gaußisch sowie mittelwertfrei, und
- besitzen jeweils die Streuung $\sigma_x = 1$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften.
- Bezug genommen wird auch auf die Kapitel Autokorrelationsfunktion sowie Leistungsdichtespektrum.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Der AKF–Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Varianz (Leistung) $\sigma_y^2$ an und nicht die Streuung (den Effektivwert) $\sigma_y$.
- Da ein nichtrekursives Filter erster Ordnung vorliegt, sind alle AKF–Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})= 0$ für $k \ge 2$.
- Der AKF–Wert $\varphi_y(- T_{\rm A})$ ist gleich $\varphi_y(+ T_{\rm A})$.
- Diese beiden AKF-Werte führen zu einer Cosinusfunktion im Leistungsdichtespektrum, zu der sich noch der Gleichanteil $\varphi_y(0)$ hinzuaddiert.
(2) Die allgemeine Gleichung lautet mit $M = 1$ für $k \in \{0, \ 1\}$:
- $$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k} } .$$
- Daraus erhält man mit $\sigma_x = 1$:
- $$\varphi _y( 0 ) = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.4^2 + 0.3^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25},$$
- $$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = a_0 \cdot a_1 = 0.4 \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12}.$$
(3) Mit den bisherigen Einstellungen ist die Varianz $\sigma_y^2 = 0.25$ und damit die Streuung $\sigma_y = 0.5$.
- Durch eine Verdoppelung der Koeffizienten erhält man wie gewünscht $\sigma_y = 1$:
- $$\hspace{0.15cm}\underline {a_0 = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1 = 0.6}.$$
(4) Die Konstante $K$ hebt die gesamte AKF um $K^2$ an. Mit dem Ergebnis aus (2) folgt:
- $$K^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm}\underline {K = 0.5}.$$
(5) Alle AKF–Werte sind nun um den konstanten Wert $K^2 = 0.25$ größer. Somit ist
- $$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = 0.12 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.37},$$
- $$\varphi _y ( { 2T_{\rm A} } ) = 0 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}.$$
(6) Durch die Konstante $K$ wird die Streuung nicht verändert, das heißt, es gilt weiterhin $\sigma_y = 0.5$.
- Formal kann diese Größe auch wie folgt berechnet werden:
- $$\sigma _y ^2 = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$
- Auch hiermit erhält man wiederum $\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}$.