Aufgaben:Aufgabe 5.5Z: AKF nach Filter 1. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID565__Sto_Z_5_5_neu.png|right|]]
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[[Datei:P_ID565__Sto_Z_5_5_neu.png|right|frame|Nichtrekursives Filter mit zusätzlichem Gleichanteil]]
:Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung (<i>M</i> = 1) mit den Filterkoeffizienten <i>a</i><sub>0</sub> = 0.4 und <i>a</i><sub>1</sub> = 0.3. Am Filterausgang wird eine Konstante <i>K</i> hinzuaddiert, die vorerst (bis einschließlich Teilaufgabe 3) zu Null gesetzt werden soll.
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Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung&nbsp; $(M = 1)$.
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*Die Filterkoeffizienten seien&nbsp; $a_0 = 0.4$&nbsp; und&nbsp; $a_1 = 0.3$.  
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*Am Filterausgang wird eine Konstante&nbsp; $K$&nbsp; hinzuaddiert,&nbsp; die bis einschließlich Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; zu Null gesetzt werden soll.
  
:Das zeitdiskrete Eingangssignal &#9001;<i>x<sub>&nu;</sub></i>&#9002;
 
:* ist gaußisch sowie mittelwertfrei,
 
:* besitzt die Streuung <i>&sigma;<sub>x</sub></i> = 1.</x>
 
  
:<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.3.
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Die einzelnen Elemente der Eingangsfolge&nbsp; $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu  } \hspace{0.05cm}\right\rangle$
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* sind gaußisch sowie mittelwertfrei,&nbsp; und
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* besitzen jeweils die Streuung&nbsp; $\sigma_x = 1$.
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Hinweise:  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_vorgegebener_AKF-Eigenschaften|Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften]].
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*Bezug genommen wird auch auf die Kapitel &nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp; &nbsp; sowie &nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]]&nbsp; $\rm (LDS)$.
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<quiz display=simple>
 
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{Welche Aussagen sind bezüglich der Ausgangs-AKF zutreffend, wenn <nobr><i>K</i> = 0</nobr> gilt? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.
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{Welche Aussagen sind bezüglich der Ausgangs&ndash;AKF zutreffend,&nbsp; wenn&nbsp; $K = 0$&nbsp; gilt?&nbsp; Begründen Sie Ihre Ergebnisse.
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Der AKF-Wert <i>&phi;<sub>y</sub></i>(0) gibt die Streuung <i>&sigma;<sub>y</sub></i> an.
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- Der AKF-Wert&nbsp; $\varphi_y(0)$&nbsp; gibt die Streuung&nbsp; $\sigma_y$&nbsp; an.
+ Alle AKF-Werte <i>&phi;<sub>y</sub></i>(<i>k</i> &middot; <i>T</i><sub>A</sub>) mit <i>k</i> &#8805; 2 sind 0.
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+ Alle AKF-Werte&nbsp; $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$&nbsp; mit&nbsp; $|k| \ge 2$&nbsp; sind Null.
+ Das LDS <i>&Phi;<sub>y</sub></i>(<i>f</i>) verläuft cosinusförmig.
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+ Das Leistungsdichtespektrum (LDS)&nbsp; ${\it \Phi}_y(f)$&nbsp; verläuft cosinusförmig.
  
  
{Berechnen Sie die AKF-Werte <i>&phi;<sub>y</sub></i>(<i>k</i> &middot; <i>T</i><sub>A</sub>) für <i>k</i> = 0 und <i>k</i> = 1.
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{Berechnen Sie die&nbsp; AKF&ndash;Werte&nbsp; $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$&nbsp; für&nbsp; $k = 0$&nbsp; und&nbsp; $k = 1$.
 
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$\phi_y(0)$ = { 0.25 3% }
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$\varphi_y(0) \ = \ $ { 0.25 3% }
$\phi_y(T_A)$ = { 0.12 3% }
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$\varphi_y(T_{\rm A}) \ = $ { 0.12 3% }
  
  
{Welche Werte muss man für die Koeffizienten <i>a</i><sub>0</sub> und <i>a</i><sub>1</sub> einstellen, wenn bei gleicher AKF-Form die Streuung <i>&sigma;<sub>y</sub></i> = 1 betragen soll? Es sei <i>a</i><sub>0</sub> > <i>a</i><sub>1</sub>.
+
{Welche Werte muss man für&nbsp; $a_0$&nbsp; und&nbsp; $a_1$&nbsp; einstellen,&nbsp; wenn bei gleicher AKF&ndash;Form die Streuung&nbsp; $\sigma_y = 1$&nbsp; betragen soll?&nbsp; Es sei&nbsp; $a_0 > a_1$.
 
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$a_0$ = { 0.8 3% }
+
$a_0 \ =  \ $ { 0.8 3% }
$a_1$ = { 0.6 3% }
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$a_1 \ =  \ $ { 0.6 3% }
  
  
{Es gelte wieder <i>a</i><sub>0</sub> = 0.4 und <i>a</i><sub>1</sub> = 0.3. Wie groß ist die Konstante <i>K</i> zu wählen, damit sich <i>&phi;<sub>y</sub></i>(0) = 0.5 ergibt?
+
{Es gelte&nbsp; $a_0 = 0.4$&nbsp; und&nbsp; $a_1 = 0.3$.&nbsp; Wie groß ist die Konstante&nbsp; $K$&nbsp; zu wählen,&nbsp; damit sich&nbsp; $\varphi_y(0)= 0.5$&nbsp; ergibt?
 
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$K$ = { 0.5 3% }
+
$K \ =  \ $ { 0.5 3% }
  
  
{Berechnen Sie mit diesem Wert von <i>K</i> die AKF-Werte für <i>k</i> = 1 und <i>k</i> = 2.
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{Berechnen Sie mit diesem&nbsp; $K$&ndash;Wert die AKF&ndash;Werte für&nbsp; $k = 1$&nbsp; und&nbsp; $k = 2$.
 
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$\phi_y(T_A)$ = { 0.37 3% }
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$\varphi_y(T_{\rm A}) \ =  \ $ { 0.37 3% }
$\phi_y(2T_A)$ = { 0.25 3% }
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$\varphi_y(2 \cdot T_{\rm A}) \ =  \ $ { 0.25 3% }
  
  
{Welcher Wert ergibt sich nun für die Streuung <i>&sigma;<sub>y</sub></i>?
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{Welcher Wert ergibt sich nun für die Streuung&nbsp; $\sigma_y$?
 
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$\sigma_y$ = { 0.5 3% }
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$\sigma_y \ =  \ $ { 0.5 3% }
  
  
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp; Der AKF-Wert <i>&phi;<sub>y</sub></i>(0) gibt die Varianz (Leistung) <i>&sigma;<sub>x</sub></i><sup>2</sup> an, nicht die Streuung (Effektivwert) <i>&sigma;<sub>x</sub></i>. Da ein nichtrekursives Filter erster Ordnung vorliegt, sind alle AKF-Werte <i>&phi;<sub>y</sub></i>(<i>k</i> &middot; <i>T</i><sub>A</sub>) = 0 für <i>k</i> &#8805; 2. Der AKF-Wert <i>&phi;<sub>y</sub></i>(&ndash;<i>T</i><sub>A</sub>) ist gleich <i>&phi;<sub>y</sub></i>(<i>T</i><sub>A</sub>). Diese beiden AKF-Werte führen zu einer Cosinusfunktion im LDS, zu der sich noch der Gleichanteil <i>&phi;<sub>y</sub></i>(0) hinzuaddiert. Richtig sind also <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
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*Der AKF&ndash;Wert&nbsp; $\varphi_y(0)$&nbsp; gibt die Varianz&nbsp; (Leistung)&nbsp; $\sigma_y^2$&nbsp; an und nicht die Streuung&nbsp; (den Effektivwert)&nbsp; $\sigma_y$.  
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*Da ein nichtrekursives Filter erster Ordnung vorliegt,&nbsp; sind alle AKF&ndash;Werte&nbsp; $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})= 0$&nbsp; für $|k| \ge 2$.  
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*Der AKF&ndash;Wert&nbsp; $\varphi_y(- T_{\rm A})$&nbsp; ist gleich&nbsp; $\varphi_y(+ T_{\rm A})$.  
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*Diese beiden AKF-Werte führen zu einer Cosinusfunktion im Leistungsdichtespektrum,&nbsp; zu der sich noch der Gleichanteil&nbsp; $\varphi_y(0)$&nbsp; hinzuaddiert.
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:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp; Die allgemeine Gleichung lautet mit <i>M</i> = 1 für <i>k</i> &#8712; {0, 1}:
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'''(2)'''&nbsp; Die allgemeine Gleichung lautet mit&nbsp; $M = 1$&nbsp; für&nbsp; $k \in \{0, \ 1\}$:
 
:$$\varphi _y ( {k  \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu  = 0}^{M - k} {a_\mu  \cdot a_{\mu  + k} } .$$
 
:$$\varphi _y ( {k  \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu  = 0}^{M - k} {a_\mu  \cdot a_{\mu  + k} } .$$
  
:Daraus erhält man mit <i>&sigma;<sub>x</sub></i> = 1:
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*Daraus erhält man mit&nbsp; $\sigma_x = 1$:
 
:$$\varphi _y( 0 ) = a_0 ^2  + a_1 ^2  = 0.4^2  + 0.3^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25},$$
 
:$$\varphi _y( 0 ) = a_0 ^2  + a_1 ^2  = 0.4^2  + 0.3^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25},$$
 
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:$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = a_0  \cdot a_1  = 0.4 \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12}.$$
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp; Mit den bisherigen Einstellungen ist die Varianz <i>&sigma;<sub>y</sub></i><sup>2</sup> = 0.25 und damit die Streuung <i>&sigma;<sub>y</sub></i> = 0.5. Durch eine Verdoppelung der Koeffizienten erhält man wie gewünscht <i>&sigma;<sub>y</sub></i> = 1:
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'''(3)'''&nbsp; Mit den bisherigen Einstellungen ist die Varianz &nbsp; $\sigma_y^2 = 0.25$ &nbsp; und damit die Streuung&nbsp; $\sigma_y = 0.5$.
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*Durch eine Verdoppelung der Koeffizienten erhält man wie gewünscht&nbsp; $\sigma_y = 1$:
 
:$$\hspace{0.15cm}\underline {a_0  = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1  = 0.6}.$$
 
:$$\hspace{0.15cm}\underline {a_0  = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1  = 0.6}.$$
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Die Konstante <i>K</i> hebt die gesamte AKF um <i>K</i><sup>2</sup> an. Mit dem Ergebnis aus (b) folgt:
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'''(4)'''&nbsp; Die Konstante&nbsp; $K$&nbsp; hebt die gesamte AKF um&nbsp; $K^2$&nbsp; an.&nbsp; Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; folgt:
 
:$$K^2  = 0.5 - 0.25 = 0.25\quad  \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm}\underline {K = 0.5}.$$
 
:$$K^2  = 0.5 - 0.25 = 0.25\quad  \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm}\underline {K = 0.5}.$$
  
:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Alle AKF-Werte sind nun um den konstanten Wert <i>K</i><sup>2</sup> = 0.25 größer. Somit ist
 
:$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } )  =  0.12 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.37},\\
 
\varphi _y ( { 2T_{\rm A} } )  =  0 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}.$$
 
  
:<b>6.</b>&nbsp;&nbsp;Durch die Konstante wird die Streuung nicht verändert, das heißt, es gilt weiterhin <i>&sigma;<sub>y</sub></i> = 0.5. Formal kann diese Größe wie folgt berechnet werden:
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'''(5)'''&nbsp; Alle AKF&ndash;Werte sind nun um den konstanten Wert&nbsp; $K^2 = 0.25$&nbsp; größer.&nbsp; Somit ist
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:$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } )  =  0.12 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.37},$$
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:$$\varphi _y ( { 2T_{\rm A} } )  =  0 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}.$$
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'''(6)'''&nbsp; Durch die Konstante&nbsp; $K$&nbsp; wird die Streuung nicht verändert,&nbsp; das heißt,&nbsp; es gilt weiterhin&nbsp; $\sigma_y = 0.5$.&nbsp;
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*Formal kann diese Größe auch wie folgt berechnet werden:
 
:$$\sigma _y ^2  = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$
 
:$$\sigma _y ^2  = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$
 
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*Auch hiermit erhält man wiederum&nbsp; $\sigma_y  \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}$.
:Auch hiermit erhält man wieder <i>&sigma;<sub>y </sub></i> <u>= 0.5</u>.
 
  
 
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[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^5.3 Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften^]]
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[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^5.3 Filteranpassung an AKF^]]

Aktuelle Version vom 11. Februar 2022, 15:46 Uhr

Nichtrekursives Filter mit zusätzlichem Gleichanteil

Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung  $(M = 1)$.

  • Die Filterkoeffizienten seien  $a_0 = 0.4$  und  $a_1 = 0.3$.
  • Am Filterausgang wird eine Konstante  $K$  hinzuaddiert,  die bis einschließlich Teilaufgabe  (3)  zu Null gesetzt werden soll.


Die einzelnen Elemente der Eingangsfolge  $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$

  • sind gaußisch sowie mittelwertfrei,  und
  • besitzen jeweils die Streuung  $\sigma_x = 1$.



Hinweise:


Fragebogen

1

Welche Aussagen sind bezüglich der Ausgangs–AKF zutreffend,  wenn  $K = 0$  gilt?  Begründen Sie Ihre Ergebnisse.

Der AKF-Wert  $\varphi_y(0)$  gibt die Streuung  $\sigma_y$  an.
Alle AKF-Werte  $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$  mit  $|k| \ge 2$  sind Null.
Das Leistungsdichtespektrum (LDS)  ${\it \Phi}_y(f)$  verläuft cosinusförmig.

2

Berechnen Sie die  AKF–Werte  $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$  für  $k = 0$  und  $k = 1$.

$\varphi_y(0) \ = \ $

$\varphi_y(T_{\rm A}) \ = $

3

Welche Werte muss man für  $a_0$  und  $a_1$  einstellen,  wenn bei gleicher AKF–Form die Streuung  $\sigma_y = 1$  betragen soll?  Es sei  $a_0 > a_1$.

$a_0 \ = \ $

$a_1 \ = \ $

4

Es gelte  $a_0 = 0.4$  und  $a_1 = 0.3$.  Wie groß ist die Konstante  $K$  zu wählen,  damit sich  $\varphi_y(0)= 0.5$  ergibt?

$K \ = \ $

5

Berechnen Sie mit diesem  $K$–Wert die AKF–Werte für  $k = 1$  und  $k = 2$.

$\varphi_y(T_{\rm A}) \ = \ $

$\varphi_y(2 \cdot T_{\rm A}) \ = \ $

6

Welcher Wert ergibt sich nun für die Streuung  $\sigma_y$?

$\sigma_y \ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig sind  die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Der AKF–Wert  $\varphi_y(0)$  gibt die Varianz  (Leistung)  $\sigma_y^2$  an und nicht die Streuung  (den Effektivwert)  $\sigma_y$.
  • Da ein nichtrekursives Filter erster Ordnung vorliegt,  sind alle AKF–Werte  $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})= 0$  für $|k| \ge 2$.
  • Der AKF–Wert  $\varphi_y(- T_{\rm A})$  ist gleich  $\varphi_y(+ T_{\rm A})$.
  • Diese beiden AKF-Werte führen zu einer Cosinusfunktion im Leistungsdichtespektrum,  zu der sich noch der Gleichanteil  $\varphi_y(0)$  hinzuaddiert.


(2)  Die allgemeine Gleichung lautet mit  $M = 1$  für  $k \in \{0, \ 1\}$:

$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k} } .$$
  • Daraus erhält man mit  $\sigma_x = 1$:
$$\varphi _y( 0 ) = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.4^2 + 0.3^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25},$$
$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = a_0 \cdot a_1 = 0.4 \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12}.$$


(3)  Mit den bisherigen Einstellungen ist die Varianz   $\sigma_y^2 = 0.25$   und damit die Streuung  $\sigma_y = 0.5$.

  • Durch eine Verdoppelung der Koeffizienten erhält man wie gewünscht  $\sigma_y = 1$:
$$\hspace{0.15cm}\underline {a_0 = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1 = 0.6}.$$


(4)  Die Konstante  $K$  hebt die gesamte AKF um  $K^2$  an.  Mit dem Ergebnis aus  (2)  folgt:

$$K^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm}\underline {K = 0.5}.$$


(5)  Alle AKF–Werte sind nun um den konstanten Wert  $K^2 = 0.25$  größer.  Somit ist

$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = 0.12 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.37},$$
$$\varphi _y ( { 2T_{\rm A} } ) = 0 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}.$$


(6)  Durch die Konstante  $K$  wird die Streuung nicht verändert,  das heißt,  es gilt weiterhin  $\sigma_y = 0.5$. 

  • Formal kann diese Größe auch wie folgt berechnet werden:
$$\sigma _y ^2 = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$
  • Auch hiermit erhält man wiederum  $\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}$.