Aufgaben:Aufgabe 5.5Z: AKF nach Filter 1. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung ($M = 1$).
 
Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung ($M = 1$).
 
*Die Filterkoeffizienten seien $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$.  
 
*Die Filterkoeffizienten seien $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$.  
*Am Filterausgang wird eine Konstante $K$ hinzuaddiert, die bis einschließlich Teilaufgabe (3) zu Null gesetzt werden soll.
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*Am Filterausgang wird eine Konstante $K$ hinzuaddiert, die bis einschließlich Teilaufgabe '''(3)''' zu Null gesetzt werden soll.
  
Die einzelnen Elemente der Eingangsfolge $\left\langle {x_\nu  } \right\rangle$
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Die einzelnen Elemente der Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu  } \hspace{0.05cm}\right\rangle$
 
* sind gaußisch sowie mittelwertfrei, und
 
* sind gaußisch sowie mittelwertfrei, und
 
* besitzen jeweils die Streuung $\sigma_x = 1$.
 
* besitzen jeweils die Streuung $\sigma_x = 1$.
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{Welche Aussagen sind bezüglich der Ausgangs-AKF zutreffend, wenn$K = 0$ gilt? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.
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- Der AKF-Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Streuung $\sigma_y$ an.
 
- Der AKF-Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Streuung $\sigma_y$ an.
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{Berechnen Sie die AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ für $k = 0$ und $k = 1$.
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{Welche Werte muss man für $a_0$ und $a_1$ einstellen, wenn bei gleicher AKF-Form die Streuung $\sigma_y = 1$ betragen soll? Es sei $a_0 > a_1$.
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{Berechnen Sie mit diesem $K$&ndash;Wert die AKF-Werte für $k = 1$ und $k = 2$.
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{Berechnen Sie mit diesem $K$&ndash;Wert die AKF&ndash;Werte für $k = 1$ und $k = 2$.
 
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$\varphi_y(T_{\rm A}) \ = \ $ { 0.37 3% }
$\varphi_y(2 \cdot T_{\rm A}) \ = $ { 0.25 3% }
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$\varphi_y(2 \cdot T_{\rm A}) \ = \ $ { 0.25 3% }
  
  
 
{Welcher Wert ergibt sich nun für die Streuung $\sigma_y$?
 
{Welcher Wert ergibt sich nun für die Streuung $\sigma_y$?
 
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$\sigma_y \ = $ { 0.5 3% }
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Version vom 25. August 2018, 15:31 Uhr

Nichtrekursives Filter mit Gleichanteil

Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung ($M = 1$).

  • Die Filterkoeffizienten seien $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$.
  • Am Filterausgang wird eine Konstante $K$ hinzuaddiert, die bis einschließlich Teilaufgabe (3) zu Null gesetzt werden soll.


Die einzelnen Elemente der Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$

  • sind gaußisch sowie mittelwertfrei, und
  • besitzen jeweils die Streuung $\sigma_x = 1$.



Hinweise:


Fragebogen

1

Welche Aussagen sind bezüglich der Ausgangs–AKF zutreffend, wenn$K = 0$ gilt? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.

Der AKF-Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Streuung $\sigma_y$ an.
Alle AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ mit $k \ge 2$ sind $0$.
Das LDS ${\it \Phi}_y(f)$ verläuft cosinusförmig.

2

Berechnen Sie die AKF–Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ für $k = 0$ und $k = 1$.

$\varphi_y(0) \ = \ $

$\varphi_y(T_{\rm A}) \ = $

3

Welche Werte muss man für $a_0$ und $a_1$ einstellen, wenn bei gleicher AKF–Form die Streuung $\sigma_y = 1$ betragen soll? Es sei $a_0 > a_1$.

$a_0 \ = \ $

$a_1 \ = \ $

4

Es gelte $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$. Wie groß ist die Konstante $K$ zu wählen, damit sich $\varphi_y(0)= 0.5$ ergibt?

$K \ = \ $

5

Berechnen Sie mit diesem $K$–Wert die AKF–Werte für $k = 1$ und $k = 2$.

$\varphi_y(T_{\rm A}) \ = \ $

$\varphi_y(2 \cdot T_{\rm A}) \ = \ $

6

Welcher Wert ergibt sich nun für die Streuung $\sigma_y$?

$\sigma_y \ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Der AKF-Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Varianz (Leistung) $\sigma_y^2$ an und nicht die Streuung (den Effektivwert) $\sigma_y$.
  • Da ein nichtrekursives Filter erster Ordnung vorliegt, sind alle AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ für $k \ge 2$.
  • Der AKF-Wert $\varphi_y(- T_{\rm A})$ ist gleich $\varphi_y(+ T_{\rm A})$.
  • Diese beiden AKF-Werte führen zu einer Cosinusfunktion im LDS, zu der sich noch der Gleichanteil $\varphi_y(0)$ hinzuaddiert.


(2)  Die allgemeine Gleichung lautet mit $M = 1$ für $k \in \{0, 1\}$:

$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k} } .$$

Daraus erhält man mit $\sigma_x = 1$:

$$\varphi _y( 0 ) = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.4^2 + 0.3^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25},$$
$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = a_0 \cdot a_1 = 0.4 \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12}.$$

(3)  Mit den bisherigen Einstellungen ist die Varianz $\sigma_y^2 = 0.25$ und damit die Streuung $\sigma_y = 0.5$.
Durch eine Verdoppelung der Koeffizienten erhält man wie gewünscht $\sigma_y = 1$:

$$\hspace{0.15cm}\underline {a_0 = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1 = 0.6}.$$

(4)  Die Konstante $K$ hebt die gesamte AKF um $K^2$ an. Mit dem Ergebnis aus (2) folgt:

$$K^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm}\underline {K = 0.5}.$$

(5)  Alle AKF-Werte sind nun um den konstanten Wert $K^2 = 0.25$ größer. Somit ist

$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = 0.12 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.37},$$
$$\varphi _y ( { 2T_{\rm A} } ) = 0 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}.$$

(6)  Durch die Konstante $K$ wird die Streuung nicht verändert, das heißt, es gilt weiterhin $\sigma_y = 0.5$.
Formal kann diese Größe wie folgt berechnet werden:

$$\sigma _y ^2 = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$

Auch hiermit erhält man wiederum $\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}$.