Aufgaben:Aufgabe 5.5Z: AKF nach Filter 1. Ordnung

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Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung ($M = 1$).

• Die Filterkoeffizienten seien $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$.
• Am Filterausgang wird eine Konstante $K$ hinzuaddiert, die bis einschließlich Teilaufgabe (3) zu Null gesetzt werden soll.

Die einzelnen Elemente der Eingangsfolge $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$

• sind gaußisch sowie mittelwertfrei, und
• besitzen jeweils die Streuung $\sigma_x = 1$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften.
• Bezug genommen wird auch auf die Kapitel Autokorrelationsfunktion sowie Leistungsdichtespektrum.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Welche Aussagen sind bezüglich der Ausgangs-AKF zutreffend, wenn$K = 0$ gilt? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.

	Der AKF-Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Streuung $\sigma_y$ an.
	Alle AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ mit $k \ge 2$ sind $0$.
	Das LDS ${\it \Phi}_y(f)$ verläuft cosinusförmig.

2

Berechnen Sie die AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ für $k = 0$ und $k = 1$.

$\varphi_y(0) \ = $

$\varphi_y(T_{\rm A}) \ = $

3

Welche Werte muss man für $a_0$ und $a_1$ einstellen, wenn bei gleicher AKF-Form die Streuung $\sigma_y = 1$ betragen soll? Es sei $a_0 > a_1$.

$a_0 \ = $

$a_1 \ = $

4

Es gelte wieder $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$. Wie groß ist die Konstante $K$ zu wählen, damit sich $\varphi_y(0)= 0.5$ ergibt?

$K \ = $

5

Berechnen Sie mit diesem $K$–Wert die AKF-Werte für $k = 1$ und $k = 2$.

$\varphi_y(T_{\rm A}) \ = $

$\varphi_y(2 \cdot T_{\rm A}) \ = $

6

Welcher Wert ergibt sich nun für die Streuung $\sigma_y$?

$\sigma_y \ = $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Der AKF-Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Varianz (Leistung) $\sigma_y^2$ an und nicht die Streuung (den Effektivwert) $\sigma_y$.
• Da ein nichtrekursives Filter erster Ordnung vorliegt, sind alle AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ für $k \ge 2$.
• Der AKF-Wert $\varphi_y(- T_{\rm A})$ ist gleich $\varphi_y(+ T_{\rm A})$.
• Diese beiden AKF-Werte führen zu einer Cosinusfunktion im LDS, zu der sich noch der Gleichanteil $\varphi_y(0)$ hinzuaddiert.

(2)  Die allgemeine Gleichung lautet mit $M = 1$ für $k \in \{0, 1\}$:

$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k} } .$$

Daraus erhält man mit $\sigma_x = 1$:

$$\varphi _y( 0 ) = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.4^2 + 0.3^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25},$$

$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = a_0 \cdot a_1 = 0.4 \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12}.$$

(3)  Mit den bisherigen Einstellungen ist die Varianz $\sigma_y^2 = 0.25$ und damit die Streuung $\sigma_y = 0.5$.
Durch eine Verdoppelung der Koeffizienten erhält man wie gewünscht $\sigma_y = 1$:

$$\hspace{0.15cm}\underline {a_0 = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1 = 0.6}.$$

(4)  Die Konstante $K$ hebt die gesamte AKF um $K^2$ an. Mit dem Ergebnis aus (2) folgt:

$$K^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm}\underline {K = 0.5}.$$

(5)  Alle AKF-Werte sind nun um den konstanten Wert $K^2 = 0.25$ größer. Somit ist

$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = 0.12 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.37},$$

$$\varphi _y ( { 2T_{\rm A} } ) = 0 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}.$$

(6)  Durch die Konstante $K$ wird die Streuung nicht verändert, das heißt, es gilt weiterhin $\sigma_y = 0.5$.
Formal kann diese Größe wie folgt berechnet werden:

$$\sigma _y ^2 = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$

Auch hiermit erhält man wiederum $\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}$.