Aufgaben:Aufgabe 5.5Z: AKF nach Filter 1. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 5. März 2017, 16:59 Uhr

P ID565 Sto Z 5 5 neu.png
Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung (M = 1) mit den Filterkoeffizienten a0 = 0.4 und a1 = 0.3. Am Filterausgang wird eine Konstante K hinzuaddiert, die vorerst (bis einschließlich Teilaufgabe 3) zu Null gesetzt werden soll.
Das zeitdiskrete Eingangssignal 〈xν
  • ist gaußisch sowie mittelwertfrei,
  • besitzt die Streuung σx = 1.</x>
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.3.


Fragebogen

1

Welche Aussagen sind bezüglich der Ausgangs-AKF zutreffend, wenn <nobr>K = 0</nobr> gilt? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.

Der AKF-Wert φy(0) gibt die Streuung σy an.
Alle AKF-Werte φy(k · TA) mit k ≥ 2 sind 0.
Das LDS Φy(f) verläuft cosinusförmig.

2

Berechnen Sie die AKF-Werte φy(k · TA) für k = 0 und k = 1.

$\phi_y(0)$ =

$\phi_y(T_A)$ =

3

Welche Werte muss man für die Koeffizienten a0 und a1 einstellen, wenn bei gleicher AKF-Form die Streuung σy = 1 betragen soll? Es sei a0 > a1.

$a_0$ =

$a_1$ =

4

Es gelte wieder a0 = 0.4 und a1 = 0.3. Wie groß ist die Konstante K zu wählen, damit sich φy(0) = 0.5 ergibt?

$K$ =

5

Berechnen Sie mit diesem Wert von K die AKF-Werte für k = 1 und k = 2.

$\phi_y(T_A)$ =

$\phi_y(2T_A)$ =

6

Welcher Wert ergibt sich nun für die Streuung σy?

$\sigma_y$ =


Musterlösung

1.   Der AKF-Wert φy(0) gibt die Varianz (Leistung) σx2 an, nicht die Streuung (Effektivwert) σx. Da ein nichtrekursives Filter erster Ordnung vorliegt, sind alle AKF-Werte φy(k · TA) = 0 für k ≥ 2. Der AKF-Wert φy(–TA) ist gleich φy(TA). Diese beiden AKF-Werte führen zu einer Cosinusfunktion im LDS, zu der sich noch der Gleichanteil φy(0) hinzuaddiert. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 3.
2.   Die allgemeine Gleichung lautet mit M = 1 für k ∈ {0, 1}:
$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k} } .$$
Daraus erhält man mit σx = 1:
$$\varphi _y( 0 ) = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.4^2 + 0.3^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25},$$
$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = a_0 \cdot a_1 = 0.4 \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12}.$$
3.   Mit den bisherigen Einstellungen ist die Varianz σy2 = 0.25 und damit die Streuung σy = 0.5. Durch eine Verdoppelung der Koeffizienten erhält man wie gewünscht σy = 1:
$$\hspace{0.15cm}\underline {a_0 = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1 = 0.6}.$$
4.  Die Konstante K hebt die gesamte AKF um K2 an. Mit dem Ergebnis aus (b) folgt:
$$K^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm}\underline {K = 0.5}.$$
5.  Alle AKF-Werte sind nun um den konstanten Wert K2 = 0.25 größer. Somit ist
$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = 0.12 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.37},\\ \varphi _y ( { 2T_{\rm A} } ) = 0 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}.$$
6.  Durch die Konstante wird die Streuung nicht verändert, das heißt, es gilt weiterhin σy = 0.5. Formal kann diese Größe wie folgt berechnet werden:
$$\sigma _y ^2 = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$
Auch hiermit erhält man wieder σy = 0.5.