Aufgaben:Aufgabe 5.5: Fehlerfolge und Fehlerabstandsfolge: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine jede Fehlerfolge $〈e_{\nu}〉$ kann man auch als die Folge $〈a_n〉$ der Fehlerabstände angeben.  Ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit nicht zu groß, dann ergibt sich so ein geringerer Speicherbedarf als bei Speicherung der Fehlerfolge. Für den Vergleich in dieser Aufgabe soll von den folgenden Voraussetzungen ausgegangen werden:
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Eine jede Fehlerfolge  $〈e_{\nu}〉$  kann man auch als die Folge  $〈a_n〉$  der Fehlerabstände angeben.  Ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit nicht zu groß, dann ergibt sich so ein geringerer Speicherbedarf als bei Speicherung der Fehlerfolge. Für den Vergleich in dieser Aufgabe soll von den folgenden Voraussetzungen ausgegangen werden:
* Abgespeichert werden soll jeweils eine Fehlerfolge mit der Länge $N = 10^6$ Elementen.
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* Abgespeichert werden soll jeweils eine Fehlerfolge der Länge  $N = 10^6$  Elementen.
* Für die Speicherung von $〈e_{\nu}〉$ soll die speichereffizienteste Methode (1 Bit pro Fehler) verwendet werden.
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* Für die Speicherung von  $〈e_{\nu}〉$  soll die speichereffizienteste Methode (ein Bit pro Fehler) verwendet werden.
 
* Jeder Fehlerabstand wird durch 4 Byte (32 Bit) dargestellt.
 
* Jeder Fehlerabstand wird durch 4 Byte (32 Bit) dargestellt.
  
  
Ist das zugrundeliegende Kanalmodell erneuernd wie zum Beispiel das BSC–Modell, so können zur Generierung der Fehlerfolge $〈e_{\nu}〉$ auf einem Digitalrechner zwei unterschiedliche Methoden angewandt werden:
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Ist das zugrundeliegende Kanalmodell erneuernd wie zum Beispiel das BSC–Modell, so können zur Generierung der Fehlerfolge  $〈e_{\nu}〉$  auf einem Digitalrechner zwei unterschiedliche Methoden angewandt werden:
* die symbolweise Erzeugung der Fehler, beim BSC–Modell gemäß den Wahrscheinlichkeiten $p$ (Fehler) und $1–p$ (kein Fehler),
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* die symbolweise Erzeugung der Fehler, beim BSC–Modell gemäß den Wahrscheinlichkeiten  $p$  (Fehler) und  $1-p$  (kein Fehler),
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* Bei den folgenden Fragen gibt $G_e$ die erforderliche Dateigröße (in Byte) zur Abspeicherung der Fehlerfolge $〈e_{\nu}〉$ und $G_a$ (ebenfalls in Byte) die Dateigröße bei Abspeicherung der Fehlerabstände an.
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* Bei den folgenden Fragen gibt  $G_e$  die erforderliche Dateigröße (in Byte) zur Abspeicherung der Fehlerfolge  $〈e_{\nu}〉$  und  $G_a$  (ebenfalls in Byte) die Dateigröße bei Abspeicherung der Fehlerabstandsfolge  $〈a_n〉$ an.
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
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{Wieviel Speicherplatz (in Byte) wird benötigt, wenn man eine Fehlerfolge der Länge $N = 10^6$ direkt abspeichert?
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$G_e \ = \ ${ 0.125 3% } $\ \cdot 10^6 \ \rm Byte$
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{Wie groß wird die Datei bei Speicherung der Fehlerabstände mit $p_{\rm M} = 0.5$?
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{Wie groß wird die Datei bei Speicherung der Fehlerabstände mit&nbsp; $p_{\rm M} = 0.5$?
 
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$G_a \ = \ ${ 2000 3% } $\ \rm kByte$
  
{Geben Sie die Grenze $p_{\rm M, \ max}$ der BSC&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit an, bei der die Speicherung als Fehlerabstandsfolge sinnvoll ist.
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{Geben Sie die Grenze&nbsp; $p_{\rm M, \ max}$&nbsp; der BSC&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit an, bei der die Speicherung als Fehlerabstandsfolge sinnvoll ist.
 
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$p_{\rm M, \ max} \ = \ ${ 3.125 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;2} $
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$p_{\rm M, \ max} \ = \ ${ 3.125 3% } $\ \% $
 
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===Musterlösung===
 
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'''(1)'''&nbsp; Pro Element $e_{\nu}$ der Fehlerfolge benötigt man genau ein Bit. Die Multiplikation mit $N$ ergibt $10^6$ Bit entsprechend $G_e \ \underline {= 125000 \ \rm Byte}$.  
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'''(1)'''&nbsp; Pro Element $e_{\nu}$ der Fehlerfolge benötigt man genau ein $\rm Bit$.  
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*Die Multiplikation mit $N$ ergibt $10^6 \ \rm Bit$ entsprechend $G_e \ \underline {= 125  \ \rm kByte}$.
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'''(2)'''&nbsp; Mit $N = 10^6$ und $p_{\rm M} = 10^{&ndash;3}$ sind ca. $1000$ Fehlerabstände abzuspeichern, jeder einzelne mit $4 \ \rm Byte$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $G_a \ \underline {= 4  \rm kByte}$.
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*Im Gegensatz zur Speicherung der Fehlerfolge wird dieser Wert leicht variieren, da in einer Fehlerfolge der (begrenzten) Länge $N = 10^6$ nicht immer exakt $1000$ Fehler auftreten werden.
  
  
'''(2)'''&nbsp; Mit $N = 10^6$ und $p_{\rm M} = 10^{&ndash;}$ sind ca. $1000$ Fehlerabstände abzuspeichern, jeder einzelne mit $4 \ \rm Byte$ &#8658; $G_a \ \underline {= 4000 \ \rm Byte}$. Im Gegensatz zur Speicherung der Fehlerfolge wird dieser Wert leicht variieren, da in einer Fehlerfolge der (begrenzten) Länge $N = 10^6$ nicht immer exakt $1000$ Fehler auftreten werden.
 
  
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'''(3)'''&nbsp; Nun werden im Mittel $0.5 \cdot 10^6$ Fehler auftreten &nbsp; &#8658; &nbsp; $G_a \ \underline {= 2000 \ \rm KByte}$.
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*Daraus ist ersichtlich, dass die Speicherung der Fehlerabstände nur sinnvoll ist, wenn die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit nicht zu groß ist.
  
'''(3)'''&nbsp; Nun werden im Mittel $0.5 \cdot 10^6$ Fehler auftreten &#8658; $G_a \ \underline {= 2 \ \rm Millionen Byte}$. Daraus ist ersichtlich, dass die Speicherung der Fehlerabstände nur sinnvoll ist, wenn die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit nicht zu groß ist.
 
  
  
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:$$N \cdot p_{\rm M} \cdot 4 < {N}/{8} \Rightarrow
 
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\hspace{0.3cm}p_{\rm M, \hspace{0.05cm}max} = {1}/{32} \hspace{0.15cm}\underline {=
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Dieses Ergebnis ist unabhängig von der Folgenlänge $N$.
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*Dieses Ergebnis ist unabhängig von der Folgenlänge $N$.
 
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[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^5.2 Binary Symmetric Channel (BSC)^]]
 
[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^5.2 Binary Symmetric Channel (BSC)^]]

Aktuelle Version vom 25. März 2019, 15:59 Uhr

Fehlerfolge (oben, blau) und Fehlerabstandsfolge (unten, rot)

Eine jede Fehlerfolge  $〈e_{\nu}〉$  kann man auch als die Folge  $〈a_n〉$  der Fehlerabstände angeben. Ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit nicht zu groß, dann ergibt sich so ein geringerer Speicherbedarf als bei Speicherung der Fehlerfolge. Für den Vergleich in dieser Aufgabe soll von den folgenden Voraussetzungen ausgegangen werden:

  • Abgespeichert werden soll jeweils eine Fehlerfolge der Länge  $N = 10^6$  Elementen.
  • Für die Speicherung von  $〈e_{\nu}〉$  soll die speichereffizienteste Methode (ein Bit pro Fehler) verwendet werden.
  • Jeder Fehlerabstand wird durch 4 Byte (32 Bit) dargestellt.


Ist das zugrundeliegende Kanalmodell erneuernd wie zum Beispiel das BSC–Modell, so können zur Generierung der Fehlerfolge  $〈e_{\nu}〉$  auf einem Digitalrechner zwei unterschiedliche Methoden angewandt werden:

  • die symbolweise Erzeugung der Fehler, beim BSC–Modell gemäß den Wahrscheinlichkeiten  $p$  (Fehler) und  $1-p$  (kein Fehler),
  • die Erzeugung der Fehlerabstände, beim BSC–Modell entsprechend der  Binomialverteilung.




Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels  Binary Symmetric Channel (BSC).
  • Bei den folgenden Fragen gibt  $G_e$  die erforderliche Dateigröße (in Byte) zur Abspeicherung der Fehlerfolge  $〈e_{\nu}〉$  und  $G_a$  (ebenfalls in Byte) die Dateigröße bei Abspeicherung der Fehlerabstandsfolge  $〈a_n〉$ an.



Fragebogen

1

Wieviel Speicherplatz (in Byte) wird benötigt, wenn man eine Fehlerfolge der Länge  $N = 10^6$  direkt abspeichert?

$G_e \ = \ $

$\ \rm kByte$

2

Wie groß wird die Dateigröße in etwa bei Speicherung der Fehlerabstände? Es gelte  $p_{\rm M} = 10^{-3}$.

$G_a \ = \ $

$\ \rm kByte$

3

Wie groß wird die Datei bei Speicherung der Fehlerabstände mit  $p_{\rm M} = 0.5$?

$G_a \ = \ $

$\ \rm kByte$

4

Geben Sie die Grenze  $p_{\rm M, \ max}$  der BSC–Fehlerwahrscheinlichkeit an, bei der die Speicherung als Fehlerabstandsfolge sinnvoll ist.

$p_{\rm M, \ max} \ = \ $

$\ \% $


Musterlösung

(1)  Pro Element $e_{\nu}$ der Fehlerfolge benötigt man genau ein $\rm Bit$.

  • Die Multiplikation mit $N$ ergibt $10^6 \ \rm Bit$ entsprechend $G_e \ \underline {= 125 \ \rm kByte}$.


(2)  Mit $N = 10^6$ und $p_{\rm M} = 10^{–3}$ sind ca. $1000$ Fehlerabstände abzuspeichern, jeder einzelne mit $4 \ \rm Byte$   ⇒   $G_a \ \underline {= 4 \rm kByte}$.

  • Im Gegensatz zur Speicherung der Fehlerfolge wird dieser Wert leicht variieren, da in einer Fehlerfolge der (begrenzten) Länge $N = 10^6$ nicht immer exakt $1000$ Fehler auftreten werden.


(3)  Nun werden im Mittel $0.5 \cdot 10^6$ Fehler auftreten   ⇒   $G_a \ \underline {= 2000 \ \rm KByte}$.

  • Daraus ist ersichtlich, dass die Speicherung der Fehlerabstände nur sinnvoll ist, wenn die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit nicht zu groß ist.


(4)  Aus den Erklärungen zu den oberen Teilaufgaben folgt:

$$N \cdot p_{\rm M} \cdot 4 < {N}/{8} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm M, \hspace{0.05cm}max} = {1}/{32} \hspace{0.15cm}\underline {= 3.125\%}\hspace{0.05cm}.$$
  • Dieses Ergebnis ist unabhängig von der Folgenlänge $N$.