Aufgaben:Aufgabe 5.5: Fast-Fouriertransformation: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID1177__Sig_A_5_5_neu.png|250px|right|FFT-Algorithmus (Aufgabe A5.5)]]
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[[Datei:P_ID1177__Sig_A_5_5_neu.png|right|frame|FFT-Algorithmus für  $N=8$]]
  
Die Grafik zeigt den Signalflussplan der DFT für N = 8. Aus den Zeitkoeffizienten d(0), ... , d(7) werden die dazugehörigen Spektralkoeffizienten D(0), ... , D(7) ermittelt.
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Die Grafik zeigt den Signalflussplan der Fast-Fouriertransformation  $\rm (FFT)$  für  $N = 8$. 
Für diese gilt mit 0 ≤ μ ≤ 7:
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Aus den Zeitkoeffizienten  $d(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, d(7)$  werden die dazugehörigen Spektralkoeffizienten  $D(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , D(7)$  ermittelt. Für diese gilt mit  $0 ≤ μ ≤ 7$:
 
   
 
   
$$D(\mu) =  \frac{1}{N}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
+
:$$D(\mu) =  \frac{1}{N}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
  d(\nu) \cdot  {w}^{\nu \hspace{0.03cm} \cdot
+
  d(\nu) \cdot  {w}^{\hspace{0.03cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot
 
  \hspace{0.05cm}\mu}\hspace{0.05cm},$$
 
  \hspace{0.05cm}\mu}\hspace{0.05cm},$$
  
wobei der komplexe Drehfaktor w = exp(–j2π/N) zu verwenden ist, also exp(–jπ/4) für N = 8.
+
wobei der komplexe Drehfaktor  $w = \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot
Am Eingang wird die alternierende ±1–Folge 〈d(ν)angelegt. Nach der Bitumkehroperation ergibt sich daraus die Folge 〈b(κ).
+
\hspace{0.05cm}2\pi /N}$  zu verwenden ist, also  $w = \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot
Es gilt b(κ) = d(ν), wenn man ν als Dualzahl darstellt und die resultierenden 3 Bit als κ in umgekehrter Reihenfolge geschrieben werden. Beispielsweise
+
\hspace{0.05cm}\pi /4}$  für  $N = 8$.
folgt aus ν = 1 (binär 001) die Position κ = 4 (binär 100),
+
 
verbleibt d(2) an der gleichen Position 2 (binär 010).
+
*Am Eingang wird die alternierende $±1$–Folge  $\langle\hspace{0.05cm} d(ν)\hspace{0.05cm}\rangle$  angelegt.  
Der eigentliche FFT–Algorithmus geschieht für das Beispiel N = 8 in log2 N = 3 Stufen, die mit L = 1, 2 und 3 bezeichnet werden. Weiter gilt:
+
*Nach der Bitumkehroperation ergibt sich daraus die Folge  $\langle \hspace{0.05cm}b(\kappa)\hspace{0.05cm}\rangle$.
In jeder Stufe sind vier Basisoperationen – sog. Butterflies – durchzuführen sind.
+
 
Die Werte am Ausgang der ersten Stufe werden in dieser Aufgabe mit X(0), ... , X(7) bezeichnet, die der zweiten mit Y(0), ... , Y(7).
+
 
Nach der dritten und letzten Stufe sind alle Werte noch durch N zu dividieren.
+
Es gilt  $b(κ) = d(ν)$, wenn man  $ν$  als Dualzahl darstellt und die resultierenden drei Bit als  $κ$  in umgekehrter Reihenfolge geschrieben werden. Beispielsweise
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil zu Kapitel 5.5.
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* folgt aus  $ν = 1$  $($binär  $001)$  die Position  $κ = 4$  $($binär  $100)$,
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* verbleibt  $d(2)$  an der gleichen Position  $2$  $($binär  $010)$.
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Der eigentliche FFT–Algorithmus geschieht für das Beispiel  $N = 8$  in  $\log_2 N = 3$  Stufen, die mit  $L = 1$,  $L =2$  und  $L = 3$  bezeichnet werden.  Weiter gilt:
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* In jeder Stufe sind vier Basisoperationen – so genannte '''Butterflies''' – durchzuführen.
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* Die Werte am Ausgang der ersten Stufe werden in dieser Aufgabe mit&nbsp; $X(0),\hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , X(7)$&nbsp; bezeichnet, <br>die der zweiten mit&nbsp; $Y(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm}  , Y(7)$.
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* Nach der dritten und letzten Stufe sind alle Werte noch durch&nbsp; $N$&nbsp; zu dividieren.&nbsp; Hier liegt dann das endgültige Ergebnis&nbsp; $D(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm}  , D(7)$&nbsp; vor.
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''Hinweis:''
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fast-Fouriertransformation_(FFT)|Fast-Fouriertransformation (FFT)]].
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
  
{Berechnen Sie den DFT–Koeffizienten D(3).
+
{Berechnen Sie den DFT–Koeffizienten&nbsp; $D(\mu=3)$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$D(3) =$ { 0 }
+
$D(\mu=3) \ = \ $ { 0. }
  
{Berechnen Sie den DFT–Koeffizienten D(4).
+
{Berechnen Sie den DFT–Koeffizienten&nbsp; $D(\mu=4)$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$D(4) =$ { 1 }
+
$D(\mu=4) \ = \ $ { 1 3% }
  
{Ermitteln Sie die Ausgangswerte X(0), ... , X(7) der ersten Stufe. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
+
{Ermitteln Sie die Ausgangswerte&nbsp; $X(0)$, ... , $X(7)$&nbsp; der ersten Stufe.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Alle Werte mit geradzahligen Indizes sind gleich 2.
+
- Alle&nbsp; $X$&ndash;Werte mit geradzahligen Indizes sind gleich&nbsp; $2$.
+ Alle Werte mit ungeradzahligen Indizes sind gleich 0.
+
+ Alle&nbsp; $X$&ndash;Werte mit ungeradzahligen Indizes sind gleich&nbsp; $0$.
  
{Ermitteln Sie die Ausgangswerte Y(0), ... , Y(7) der zweiten Stufe. Geben Sie zur Kontrolle die Werte Y(0) und Y(4) ein.
+
{Ermitteln Sie die Ausgangswerte&nbsp; $Y(0)$, ... , $Y(7)$&nbsp; der zweiten Stufe.&nbsp; Geben Sie zur Kontrolle die Werte&nbsp; $Y(0)$&nbsp; und&nbsp; $Y(4)$&nbsp; ein.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$Y(0) =$ { 4 }
+
$Y(0) \ = \ $ { 4 3% }
$Y(4) =$ { -4 }
+
$Y(4) \ = \ $ { -4.12--3.88 }
  
{Berechnen Sie alle N Spektralwerte D(μ), insbesondere
+
{Berechnen Sie alle&nbsp; $N$&nbsp; Spektralwerte&nbsp; $D(\mu)$, insbesondere
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$D(\mu = 4) =$ { 4 }
+
$D(\mu = 3) \ = \ $ { 0. 3% }
$D(\mu \neq 4) =$ { 0 }
+
$D(\mu = 4) \ = \ $ { 1 }
  
{Welche Spektralkoeffizienten würden sich für d(ν = 4) = 1 und d(ν 4) = 0 ergeben? Geben Sie zur Kontrolle die Werte D(3) und D(4) ein:
+
{Welche Spektralkoeffizienten würden sich für&nbsp; $d(ν = 4) = 1$&nbsp; und&nbsp; $d(ν \neq 4) = 0$&nbsp; ergeben? <br>Geben Sie zur Kontrolle die Werte&nbsp; $D(\mu=3)$&nbsp; und&nbsp; $D(\mu=4)$&nbsp; ein.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$D(\mu = 3) =$ { -1 }
+
$D(\mu = 3) \ = \ $ { -1.03--0.97 }
$D(\mu = 4) =$ { 1 }
+
$D(\mu = 4) \ = \ $ { 1 3% }
  
  
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{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.''' a)  Entsprechend der auf dem Angabenblatt gegebenen allgemeinen DFT–Gleichung gilt mit w = exp(–jπ/4) unter Berücksichtigung der alternierenden Zeitkoeffizienten:
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'''(1)'''&nbsp; Entsprechend der auf dem Angabenblatt gegebenen allgemeinen DFT–Gleichung gilt mit&nbsp; $w = \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot
 +
\hspace{0.05cm}\pi /4}$&nbsp; unter Berücksichtigung der alternierenden Zeitkoeffizienten:
 
   
 
   
$$8 \cdot D(3) & = w^0 - w^3 + w^6- w^9+ w^{12}- w^{15}+ w^{18}-
+
:$$8 \cdot D(3) =   w^0 - w^3 + w^6- w^9+ w^{12}- w^{15}+ w^{18}-
w^{21}= \\ & = &  w^0 - w^3 + w^2- w^1+ w^{4}- w^{7}+ w^{6}-
+
w^{21} =   w^0 - w^3 + w^2- w^1+ w^{4}- w^{7}+ w^{6}-
 
w^{5}\hspace{0.05cm}.$$
 
w^{5}\hspace{0.05cm}.$$
  
Hierbei ist berücksichtigt, dass aufgrund der Periodizität w9 = w1, w12 = w4, w15 = w7, w18 = w2 und w21 = w5 ist. Nach Umsortieren gilt in gleicher Weise
+
*Hierbei ist berücksichtigt, dass aufgrund der Periodizität&nbsp; $w_9 = w_1$,&nbsp; $w_{12} = w_4$,&nbsp; $w_{15} = w_7$,&nbsp; $w_{18} = w_2$&nbsp; und&nbsp; $w_{21} = w_5$&nbsp; ist.  
 +
*Nach Umsortieren gilt in gleicher Weise:
 
   
 
   
$$8 \cdot D(3) & = &   (w^0 + w^4) - (w^1 + w^5)+ (w^2 + w^6) - (w^3 + w^7) = \\
+
:$$8 \cdot D(3) =  (w^0 + w^4) - (w^1 + w^5)+ (w^2 + w^6) - (w^3 + w^7) =  (1 + w + w^2+ w^3) \cdot (w^0 + w^4)\hspace{0.05cm}.$$
& = &   (1 + w + w^2+ w^3) \cdot (w^0 + w^4)\hspace{0.05cm}.$$
+
 
 +
*Wegen&nbsp; $w_0 = 1$&nbsp; und&nbsp; $w_4 = \text{e}^{-\text{j}\pi } = \hspace{0.08cm} - \hspace{-0.08cm}1$&nbsp; erhält man somit&nbsp; $\underline {D(\mu=3) = 0}$.
 +
 
  
Wegen w0 = 1 und w4 = exp(–j · π) = –1 erhält man somit D(3) = 0.
+
'''(2)'''&nbsp; In analoger Weise zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; ergibt sich nun:
b) In analoger Weise zu a) ergibt sich nun:
 
 
   
 
   
$$8 \cdot D(4) & = w^0 - w^4 + w^8- w^{12}+ w^{16}- w^{20}+
+
:$$ 8 \cdot D(4) =   w^0 - w^4 + w^8- w^{12}+ w^{16}- w^{20}+
w^{24}- w^{28}= \\ & = &  4 \cdot (w^0 - w^4)= 8 \hspace{0.3cm}
+
w^{24}- w^{28}=   4 \cdot (w^0 - w^4)= 8 \hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{D(4) = 1}\hspace{0.05cm}.$$
+
\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{D(\mu=4) = 1}\hspace{0.05cm}.$$
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[[Datei:P_ID1178__Sig_A_5_5c_neu.png|250px|right|Beispiel für den FFT-Algorithmus (ML zu Aufgabe A5.5)]]
+
[[Datei:P_ID1178__Sig_A_5_5c_neu.png|right|frame|Beispiel für den FFT-Algorithmus]]
 +
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 +
*Der Term&nbsp; $w^0 = 1$&nbsp; muss nicht berücksichtigt werden.
 +
*Alle Ausgangswerte mit ungeraden Indizes sind durch die Subtraktion zweier identischer Eingangswerte Null.
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*Die erste Aussage trifft nicht zu: &nbsp; Es gilt&nbsp; $X(0) = X(2) = +2$&nbsp; und&nbsp; $X(4) = X(6) = - 2$.  
  
c)  Der Term w0 = 1 muss nicht berücksichtigt werden. Alle Ausgangswerte mit ungeraden Indizes sind somit durch die Subtraktion zweier identischer Eingangswerte gleich 0.
 
Die erste Aussage trifft dagegen nicht zu: Es gilt X(0) = X(2) = +2 und X(4) = X(6) = –2  ⇒  Lösungsvorschlag 2.
 
  
  
d) Auf die Multiplikation mit w2 = –j kann verzichtet werden, da im Signalflussplan die entsprechenden Eingangsgrößen 0 sind.
+
'''(4)'''&nbsp; Auf die Multiplikation mit&nbsp; $w^{2} = -{\rm j}$&nbsp; kann verzichtet werden, da im Signalflussplan die entsprechenden Eingangsgrößen Null sind.
Man erhält somit Y(0) = 4 und Y(4) = –4. Alle anderen Werte sind 0.  
+
*Man erhält somit&nbsp; $Y(0) \;\underline{= 4}$&nbsp; und&nbsp; $Y(4) \;\underline{= - \hspace{-0.03cm}4}$.
 +
*Alle anderen Werte sind Null.  
  
  
e) Wegen Y(5) = Y(6) =Y(7) = 0 spielen auch in der dritten Stufe die Multiplikationen mit w, w2 und w3 keine Rolle. Alle Spektralkoeffizienten D(μ) ergeben sich zu 0 mit Ausnahme von
+
 
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'''(5)'''&nbsp; Wegen&nbsp; $Y(5) = Y(6) =Y(7) = 0$&nbsp; spielen auch in der dritten Stufe die Multiplikationen mit&nbsp; $w$,&nbsp; $w^2$&nbsp; und&nbsp; $w^3$&nbsp; keine Rolle.&nbsp; Alle Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; ergeben sich deshalb zu Null mit Ausnahme von
 
   
 
   
$$\hspace{0.15 cm}\underline{D(4)} =  {1}/{N}\cdot \left[Y(0) - Y(4) \right ] \hspace{0.15 cm}\underline{= 1}
+
:$$\hspace{0.15 cm}\underline{D(\mu= 4)} =  {1}/{N}\cdot \left[Y(0) - Y(4) \right ] \hspace{0.15 cm}\underline{= 1}
 +
\hspace{0.05cm},$$
 +
:$$\hspace{0.15 cm}\underline{D(\mu =3)} =  D(\mu \ne 4) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Dieses Ergebnis stimmt mit den Ergebnissen aus a) und b) überein.  
+
Dieses Ergebnis stimmt mit den Ergebnissen aus&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; überein.
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'''(6)'''&nbsp; Nachdem sowohl die Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(ν)$&nbsp; als auch alle Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; rein reell sind, besteht kein Unterschied zwischen der FFT und der IFFT.
 +
*Das bedeutet gleichzeitig:&nbsp; Die Eingangs– und Ausgangswerte können vertauscht werden.
  
f)  Nachdem sowohl die Zeitkoeffizienten d(ν) als auch alle Spektralkoeffizienten D(μ) rein reell sind, besteht kein Unterschied zwischen der FFT und der IFFT. Das bedeutet gleichzeitig: die Eingangs– und Ausgangswerte können vertauscht werden.
+
*Die Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; hat das folgende Ergebnis geliefert:
Die Teilaufgabe e) hat das folgende Ergebnis geliefert:
 
 
   
 
   
$$d({\rm gerades}\hspace{0.15cm}\nu) =  +1, \hspace{0.2cm}d({\rm
+
:$$d({\rm gerades}\hspace{0.15cm}\nu) =  +1, \hspace{0.2cm}d({\rm
ungerades}\hspace{0.15cm}\nu)=  -1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow
+
ungerades}\hspace{0.15cm}\nu)=  -1$$
 +
:$$\Rightarrow
 
\hspace{0.3cm}D(\mu = 4)= 1,\hspace{0.2cm}D(\mu \ne 4)= 0.$$
 
\hspace{0.3cm}D(\mu = 4)= 1,\hspace{0.2cm}D(\mu \ne 4)= 0.$$
  
Durch Vertauschen der Eingangs– und Ausgangswerte kommt man zur Aufgabenstellung von (f):
+
*Durch Vertauschen der Eingangs– und Ausgangswerte kommt man zur Aufgabenstellung&nbsp; '''(6)''':
 
   
 
   
$$d(\nu = 4)= 1, \hspace{0.2cm}d(\nu \ne 4)= 0 \hspace{0.3cm}
+
:$$d(\nu = 4)= 1, \hspace{0.2cm}d(\nu \ne 4)= 0 \hspace{0.3cm}
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm}D({\rm gerades}\hspace{0.15cm}\mu) = +1,
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm}D({\rm gerades}\hspace{0.15cm}\mu) = +1,
 
\hspace{0.2cm}D({\rm ungerades}\hspace{0.15cm}\mu)=  -1
 
\hspace{0.2cm}D({\rm ungerades}\hspace{0.15cm}\mu)=  -1
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Insbesondere würde sich D(3) = –1 und D(4) = +1 ergeben.
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*Insbesondere ergibt sich sich&nbsp; $D(\mu=3) \; \underline{= -1}$&nbsp; und&nbsp; $D(\mu=4) \; \underline{= +1}$.
 
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{{ML-Fuß}}
  
 
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdisktrete Signaldarstellung^]]
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]

Aktuelle Version vom 21. Mai 2021, 17:03 Uhr

FFT-Algorithmus für  $N=8$

Die Grafik zeigt den Signalflussplan der Fast-Fouriertransformation  $\rm (FFT)$  für  $N = 8$. 

Aus den Zeitkoeffizienten  $d(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, d(7)$  werden die dazugehörigen Spektralkoeffizienten  $D(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , D(7)$  ermittelt. Für diese gilt mit  $0 ≤ μ ≤ 7$:

$$D(\mu) = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu) \cdot {w}^{\hspace{0.03cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu}\hspace{0.05cm},$$

wobei der komplexe Drehfaktor  $w = \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2\pi /N}$  zu verwenden ist, also  $w = \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\pi /4}$  für  $N = 8$.

  • Am Eingang wird die alternierende $±1$–Folge  $\langle\hspace{0.05cm} d(ν)\hspace{0.05cm}\rangle$  angelegt.
  • Nach der Bitumkehroperation ergibt sich daraus die Folge  $\langle \hspace{0.05cm}b(\kappa)\hspace{0.05cm}\rangle$.


Es gilt  $b(κ) = d(ν)$, wenn man  $ν$  als Dualzahl darstellt und die resultierenden drei Bit als  $κ$  in umgekehrter Reihenfolge geschrieben werden. Beispielsweise

  • folgt aus  $ν = 1$  $($binär  $001)$  die Position  $κ = 4$  $($binär  $100)$,
  • verbleibt  $d(2)$  an der gleichen Position  $2$  $($binär  $010)$.


Der eigentliche FFT–Algorithmus geschieht für das Beispiel  $N = 8$  in  $\log_2 N = 3$  Stufen, die mit  $L = 1$,  $L =2$  und  $L = 3$  bezeichnet werden.  Weiter gilt:

  • In jeder Stufe sind vier Basisoperationen – so genannte Butterflies – durchzuführen.
  • Die Werte am Ausgang der ersten Stufe werden in dieser Aufgabe mit  $X(0),\hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , X(7)$  bezeichnet,
    die der zweiten mit  $Y(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , Y(7)$.
  • Nach der dritten und letzten Stufe sind alle Werte noch durch  $N$  zu dividieren.  Hier liegt dann das endgültige Ergebnis  $D(0), \hspace{0.03cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , D(7)$  vor.



Hinweis:



Fragebogen

1

Berechnen Sie den DFT–Koeffizienten  $D(\mu=3)$.

$D(\mu=3) \ = \ $

2

Berechnen Sie den DFT–Koeffizienten  $D(\mu=4)$.

$D(\mu=4) \ = \ $

3

Ermitteln Sie die Ausgangswerte  $X(0)$, ... , $X(7)$  der ersten Stufe.  Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Alle  $X$–Werte mit geradzahligen Indizes sind gleich  $2$.
Alle  $X$–Werte mit ungeradzahligen Indizes sind gleich  $0$.

4

Ermitteln Sie die Ausgangswerte  $Y(0)$, ... , $Y(7)$  der zweiten Stufe.  Geben Sie zur Kontrolle die Werte  $Y(0)$  und  $Y(4)$  ein.

$Y(0) \ = \ $

$Y(4) \ = \ $

5

Berechnen Sie alle  $N$  Spektralwerte  $D(\mu)$, insbesondere

$D(\mu = 3) \ = \ $

$D(\mu = 4) \ = \ $

6

Welche Spektralkoeffizienten würden sich für  $d(ν = 4) = 1$  und  $d(ν \neq 4) = 0$  ergeben?
Geben Sie zur Kontrolle die Werte  $D(\mu=3)$  und  $D(\mu=4)$  ein.

$D(\mu = 3) \ = \ $

$D(\mu = 4) \ = \ $


Musterlösung

(1)  Entsprechend der auf dem Angabenblatt gegebenen allgemeinen DFT–Gleichung gilt mit  $w = \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\pi /4}$  unter Berücksichtigung der alternierenden Zeitkoeffizienten:

$$8 \cdot D(3) = w^0 - w^3 + w^6- w^9+ w^{12}- w^{15}+ w^{18}- w^{21} = w^0 - w^3 + w^2- w^1+ w^{4}- w^{7}+ w^{6}- w^{5}\hspace{0.05cm}.$$
  • Hierbei ist berücksichtigt, dass aufgrund der Periodizität  $w_9 = w_1$,  $w_{12} = w_4$,  $w_{15} = w_7$,  $w_{18} = w_2$  und  $w_{21} = w_5$  ist.
  • Nach Umsortieren gilt in gleicher Weise:
$$8 \cdot D(3) = (w^0 + w^4) - (w^1 + w^5)+ (w^2 + w^6) - (w^3 + w^7) = (1 + w + w^2+ w^3) \cdot (w^0 + w^4)\hspace{0.05cm}.$$
  • Wegen  $w_0 = 1$  und  $w_4 = \text{e}^{-\text{j}\pi } = \hspace{0.08cm} - \hspace{-0.08cm}1$  erhält man somit  $\underline {D(\mu=3) = 0}$.


(2)  In analoger Weise zur Teilaufgabe  (1)  ergibt sich nun:

$$ 8 \cdot D(4) = w^0 - w^4 + w^8- w^{12}+ w^{16}- w^{20}+ w^{24}- w^{28}= 4 \cdot (w^0 - w^4)= 8 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{D(\mu=4) = 1}\hspace{0.05cm}.$$


Beispiel für den FFT-Algorithmus

(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Der Term  $w^0 = 1$  muss nicht berücksichtigt werden.
  • Alle Ausgangswerte mit ungeraden Indizes sind durch die Subtraktion zweier identischer Eingangswerte Null.
  • Die erste Aussage trifft nicht zu:   Es gilt  $X(0) = X(2) = +2$  und  $X(4) = X(6) = - 2$.


(4)  Auf die Multiplikation mit  $w^{2} = -{\rm j}$  kann verzichtet werden, da im Signalflussplan die entsprechenden Eingangsgrößen Null sind.

  • Man erhält somit  $Y(0) \;\underline{= 4}$  und  $Y(4) \;\underline{= - \hspace{-0.03cm}4}$.
  • Alle anderen Werte sind Null.


(5)  Wegen  $Y(5) = Y(6) =Y(7) = 0$  spielen auch in der dritten Stufe die Multiplikationen mit  $w$,  $w^2$  und  $w^3$  keine Rolle.  Alle Spektralkoeffizienten  $D(\mu)$  ergeben sich deshalb zu Null mit Ausnahme von

$$\hspace{0.15 cm}\underline{D(\mu= 4)} = {1}/{N}\cdot \left[Y(0) - Y(4) \right ] \hspace{0.15 cm}\underline{= 1} \hspace{0.05cm},$$
$$\hspace{0.15 cm}\underline{D(\mu =3)} = D(\mu \ne 4) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0} \hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis stimmt mit den Ergebnissen aus  (1)  und  (2)  überein.


(6)  Nachdem sowohl die Zeitkoeffizienten  $d(ν)$  als auch alle Spektralkoeffizienten  $D(\mu)$  rein reell sind, besteht kein Unterschied zwischen der FFT und der IFFT.

  • Das bedeutet gleichzeitig:  Die Eingangs– und Ausgangswerte können vertauscht werden.
  • Die Teilaufgabe  (5)  hat das folgende Ergebnis geliefert:
$$d({\rm gerades}\hspace{0.15cm}\nu) = +1, \hspace{0.2cm}d({\rm ungerades}\hspace{0.15cm}\nu)= -1$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}D(\mu = 4)= 1,\hspace{0.2cm}D(\mu \ne 4)= 0.$$
  • Durch Vertauschen der Eingangs– und Ausgangswerte kommt man zur Aufgabenstellung  (6):
$$d(\nu = 4)= 1, \hspace{0.2cm}d(\nu \ne 4)= 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}D({\rm gerades}\hspace{0.15cm}\mu) = +1, \hspace{0.2cm}D({\rm ungerades}\hspace{0.15cm}\mu)= -1 \hspace{0.05cm}.$$
  • Insbesondere ergibt sich sich  $D(\mu=3) \; \underline{= -1}$  und  $D(\mu=4) \; \underline{= +1}$.