Aufgabe 5.5: AKF-äquivalente Filter

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P ID558 Sto A 5 5 neu.png
Wir betrachten die beiden skizzierten digitalen Filter:
  • Die Eingangswerte 〈xν〉 sind in beiden Fällen jeweils statistisch voneinander unabhängig und gleichverteilt zwischen –1 und +1.
  • Daraus folgt direkt für den Mittelwert und die Varianz:
$$m_x = 0,\quad \sigma _x^2 = {1}/{3}.$$
Die beiden Verzögerungszeiten von Filter 1 sind jeweils gleich TA = 1 μs. Die Verzögerungen von Filter 2 sind doppelt so lang.
Die Koeffizienten a0 und a1 sollen so eingestellt werden, dass die Autokorrelationsfunktionen (AKF) von 〈yν〉 und von 〈zν〉 vollständig übereinstimmen.Wählen Sie bitte bei mehreren Lösungen diejenige mit |a0| > |a1|.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die Theorieteil von Kapitel 5.3.


Fragebogen

1

Welche Aussagen sind bezüglich Filter 1 zutreffend?

Es handelt sich um ein nichtrekursives Filter.
Die Ordnung des Filters ist M = 2.
Der Filterkoeffizient a0 ist gleich 1.

2

Berechnen Sie die Streuung der Ausgangsfolge 〈yν〉.

$\sigma_y$ =

3

Berechnen Sie die AKF-Werte φy(k · TA) für k = 1 und k = 2.

$\phi_y(T_A)$ =

$\phi_y(2T_A)$ = -

4

Bestimmen Sie die Koeffizienten des zweiten Filters so, dass 〈zν〉 und 〈yν〉 die gleiche AKF besitzen. Wie lautet der Quotient a1/a0 für |a0| > |a1|?

$a_1/a_0$ = -

5

Welche Aussagen treffen für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen zu?

fy(y) und fz(z) sind identisch.
fy(y) und fz(z) sind unterschiedlich.
Bei Gaußscher Eingangsgröße wären fy(y) und fz(z) gleich.


Musterlösung

1.  Es ist ein nichtrekursives Filter zweiter Ordnung mit den Koeffizienten α0 = –1, α1 = 0.707 und α2 = 1. Richtig sind somit die beiden ersten Lösungsvorschläge.
2.  Die Varianz der Ausgangswerte ist gleich dem AKF-Wert für k = 0. Für diesen erhält man:
$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 ^2 + \alpha _1 ^2 + \alpha _2 ^2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( {1 + {1}/{2} + 1} \right) = 0.833.$$
Damit ergibt sich für die Streuung (für den Effektivwert):
$$\sigma _y = \sqrt {\varphi _y (0)} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.913}.$$
Hinweis: Die Koeffizienten von Filter 1 sind hier mit α0, α1, α2 („alphas”) bezeichnet.
3.  Diese beiden AKF-Werte können wie folgt berechnet werden:
$$\varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _1 + \alpha _1 \cdot \alpha _2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( { - 1 \cdot 0.707 + 0.707 \cdot 1} \right) \hspace{0.15cm} \underline{= 0},$$
$$\varphi _y ( {2T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _2 } \right) \hspace{0.15cm} \underline{ = - {1}/{3}}.$$
4.  Da φy(TA) = 0 ist, kann bei geeigneter Wahl von a0 und a1 erreicht werden, dass die AKF am Ausgang von Filter 2 identisch ist mit der unter Punkt c) berechneten AKF. Mit TA' = 2 · TA gilt:
$$\varphi _z (0) = {1}/{3} \cdot \left( {a_0 ^2 + a_1 ^2 } \right) = 0.833\quad \Rightarrow \quad a_0 ^2 + a_1 ^2 = 2.5, $$
$$\varphi _z( {T_A '} ) = {1}/{3}\left( {a_0 \cdot a_1 } \right) = - {1}/{3}\quad \;\;\, \Rightarrow \quad a_0 \cdot a_1 = - 1.$$
Mit der Hilfsgröße H = a02 führt dies zu der Bestimmungsgleichung
$$H + {1}/{H} = 2.5\quad \Rightarrow \quad H^2 - 2.5 \cdot H + 1 = 0$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{1/2} = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm \sqrt {2.5^2 - 4} } \right) = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm 1.5} \right).$$
Die beiden Lösungen sind H1 = 2 und H2 = 0.5. Daraus erhält man vier mögliche Lösungen:
$$a_0 = \sqrt 2 ,\quad \;\;\, a_1 = - {1}/{\sqrt 2 }, \hspace{2cm} a_0 = - \sqrt 2 ,\quad a_1 = {1}/{\sqrt 2 },$$
$$a_0 = {1}/{\sqrt 2 },\quad \;\,\, a_1 = - \sqrt 2 , \hspace{2cm} a_0 = - {1}/{\sqrt 2 },\quad a_1 = \sqrt 2 .$$
Bei den beiden letzten Lösungspaaren ist die Bedingung |a0| > |a1| nicht erfüllt. Bei den beiden oberen Gleichungen gilt dagegen in beiden Fällen:
$$ \hspace{0.15cm} \underline{a_1 /a_0 = - 0.5}.$$
5.  Im allgemeinen (auch bei gleichverteilter Eingangsgröße x) sind die Dichtefunktionen fy(y) und fz(z) unterschiedlich. fz(z) ergibt sich aus der Faltung zweier verschieden breiter Rechtecke; sie ist also trapezförmig. Zur Berechnung von fy(y) müssen drei Rechtecke miteinander gefaltet werden.
Bei Gaußscher Eingangsgröße x sind auch y und z gaußverteilt, und wegen my = mz und σy = σz gilt auch fz(z) = fy(y). Richtig sind demnach die Lösungsvorschläge 2 und 3.