Aufgaben:Aufgabe 5.5: AKF-äquivalente Filter: Unterschied zwischen den Versionen

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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
 
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
*Es ist ein nichtrekursives Filter zweiter Ordnung mit den Koeffizienten $\alpha_0 = -1$, $\alpha_1 = +0.707$ und $\alpha_2 = +1$.
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*Es ist ein nichtrekursives Filter zweiter Ordnung mit den Koeffizienten&nbsp; $\alpha_0 = -1$,&nbsp; $\alpha_1 = +0.707$&nbsp; und&nbsp; $\alpha_2 = +1$.
*Die Koeffizienten von $\text{Filter 1}$ werden hier mit $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ (&bdquo;alphas&rdquo;) bezeichnet.   
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*Die Koeffizienten von&nbsp; $\text{Filter 1}$&nbsp; werden hier mit&nbsp; $\alpha_0$,&nbsp; $\alpha_1$,&nbsp; $\alpha_2$&nbsp; (&bdquo;alphas&rdquo;) bezeichnet.   
  
  
'''(2)'''&nbsp; Die Varianz der Ausgangswerte ist gleich dem AKF&ndash;Wert für $k = 0$. Für diesen erhält man:
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:$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2  \cdot \left( {\alpha _0 ^2  + \alpha _1 ^2  + \alpha _2 ^2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( {1 + {1}/{2} + 1} \right) = 0.833.$$
 
:$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2  \cdot \left( {\alpha _0 ^2  + \alpha _1 ^2  + \alpha _2 ^2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( {1 + {1}/{2} + 1} \right) = 0.833.$$
  
Damit ergibt sich für die Streuung (bzw. den Effektivwert):
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*Damit ergibt sich für die Streuung (bzw. den Effektivwert):
 
:$$\sigma _y  = \sqrt {\varphi _y (0)}  \hspace{0.15cm} \underline{= 0.913}.$$
 
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'''(4)'''&nbsp; Wegen $\varphi _y ( {T_{\rm A} } )= 0$ ist es bei geeigneter Wahl von $a_0$ und $a_1$ möglich, dass die AKF am Ausgang von $\text{Filter 2}$ identisch ist mit der in '''(3)''' berechneten AKF.  
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*Mit $T_{\rm A}\hspace{0.05cm}' = 2 \cdot T_{\rm A}$ gilt:
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'''(4)'''&nbsp; Wegen&nbsp; $\varphi _y ( {T_{\rm A} } )= 0$&nbsp; ist es bei geeigneter Wahl von&nbsp; $a_0$&nbsp; und&nbsp; $a_1$&nbsp; möglich, dass die AKF am Ausgang von&nbsp; $\text{Filter 2}$&nbsp; identisch ist mit der in&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechneten AKF.  
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*Mit&nbsp; $T_{\rm A}\hspace{0.05cm}' = 2 \cdot T_{\rm A}$&nbsp; gilt:
 
:$$\varphi _z (0) = {1}/{3} \cdot \left( {a_0 ^2  + a_1 ^2 } \right) = 0.833\quad  \Rightarrow \quad a_0 ^2  + a_1 ^2  = 2.5, $$
 
:$$\varphi _z (0) = {1}/{3} \cdot \left( {a_0 ^2  + a_1 ^2 } \right) = 0.833\quad  \Rightarrow \quad a_0 ^2  + a_1 ^2  = 2.5, $$
 
:$$\varphi _z( {T_{\rm A} \hspace{0.05cm}'} ) = {1}/{3}\left( {a_0  \cdot a_1 } \right) =  - {1}/{3}\quad \;\;\, \Rightarrow \quad a_0  \cdot a_1  =  - 1.$$
 
:$$\varphi _z( {T_{\rm A} \hspace{0.05cm}'} ) = {1}/{3}\left( {a_0  \cdot a_1 } \right) =  - {1}/{3}\quad \;\;\, \Rightarrow \quad a_0  \cdot a_1  =  - 1.$$
  
*Mit der Hilfsgröße $H = a_0^2$ führt dies zu der Bestimmungsgleichung
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*Mit der Hilfsgröße&nbsp; $H = a_0^2$&nbsp; führt dies zu der Bestimmungsgleichung
 
:$$H + {1}/{H} = 2.5\quad  \Rightarrow \quad H^2  - 2.5 \cdot H + 1 = 0$$
 
:$$H + {1}/{H} = 2.5\quad  \Rightarrow \quad H^2  - 2.5 \cdot H + 1 = 0$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{1/2}  = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm \sqrt {2.5^2  - 4} } \right) = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm 1.5} \right).$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{1/2}  = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm \sqrt {2.5^2  - 4} } \right) = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm 1.5} \right).$$
  
*Die beiden Lösungen sind $H_1 = 2$ und $H_2 = 1/2$. Daraus erhält man vier mögliche Lösungen:
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*Die beiden Lösungen sind&nbsp; $H_1 = 2$&nbsp; und&nbsp; $H_2 = 1/2$.&nbsp; Daraus erhält man vier mögliche Lösungen:
 
:$$a_0  = \sqrt 2 ,\quad \;\;\, a_1  =  - {1}/{\sqrt 2 },
 
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\hspace{2cm} a_0  =  - {1}/{\sqrt 2 },\quad a_1  = \sqrt 2 .$$
 
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*Bei den beiden letzten Lösungspaaren ist die Bedingung $|a_1| < |a_0|$ nicht erfüllt. Bei den oberen Gleichungen gilt dagegen in beiden Fällen:
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*Bei den beiden letzten Lösungspaaren ist die Bedingung&nbsp; $|a_1| < |a_0|$&nbsp; nicht erfüllt.&nbsp; Bei den oberen Gleichungen gilt dagegen in beiden Fällen:
 
:$$ \hspace{0.15cm} \underline{a_1 /a_0  =  - 0.5}.$$
 
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'''(5)'''&nbsp; Richtig sind  <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 
'''(5)'''&nbsp; Richtig sind  <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
*Im allgemeinen (auch bei gleichverteilter Eingangsgröße $x$) sind die Dichtefunktionen $f_y(y)$ und $f_z(z)$  unterschiedlich.  
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*Im allgemeinen&nbsp; $($auch bei gleichverteilter Eingangsgröße&nbsp; $x)$&nbsp; sind die Dichtefunktionen&nbsp; $f_y(y)$&nbsp; und&nbsp; $f_z(z)$&nbsp; unterschiedlich.  
*$f_z(z)$ ergibt sich aus der Faltung zweier verschieden breiter Rechtecke; sie ist also trapezförmig.  
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*$f_z(z)$&nbsp; ergibt sich in diesem Fall aus der Faltung zweier verschieden breiter Rechtecke; sie ist also trapezförmig.  
*Zur Berechnung von $f_y(y)$ müssen dagegen drei Rechtecke miteinander gefaltet werden.
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*Zur Berechnung von&nbsp; $f_y(y)$&nbsp; müssten dagegen drei Rechtecke miteinander gefaltet werden.
*Bei Gaußscher Eingangsgröße $x$ sind auch $y$ und $z$ gaußverteilt, und wegen $m_y = m_z$  und $\sigma_y = \sigma_z$ gilt auch $f_z(z) = f_y(y)$.  
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*Bei Gaußscher Eingangsgröße&nbsp; $x$&nbsp; sind auch&nbsp; $y$&nbsp; und&nbsp; $z$&nbsp; gaußverteilt, und wegen&nbsp; $m_y = m_z$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_y = \sigma_z$&nbsp; gilt auch&nbsp; $f_z(z) = f_y(y)$.  
 
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Version vom 9. Dezember 2019, 12:43 Uhr

Zwei AKF–äquivalente Filter

Wir betrachten die beiden skizzierten digitalen Filter:

  • Die einzelnen Elemente der Eingangsfolge  $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$  sind in beiden Fällen jeweils statistisch voneinander unabhängig und gleichverteilt zwischen  $-1$  und  $+1$.
  • Daraus folgt direkt für den Mittelwert und die Varianz:
$$m_x = 0,\quad \sigma _x^2 = {1}/{3}.$$

Die Verzögerungszeiten von  $\text{Filter 1}$  sind jeweils gleich  $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm µ s$.  Die Verzögerungen von  $\text{Filter 2}$  sind doppelt so lang.

Die Koeffizienten  $a_0$  und  $a_1$  von  $\text{Filter 2}$  sollen so eingestellt werden, dass die Autokorrelationsfunktionen (AKF) von  $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$  und von  $\left\langle {z_\nu } \right\rangle$  exakt übereinstimmen.  Wählen Sie bitte bei mehreren Lösungen diejenige mit  $|a_1| < |a_0|$.





Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften.
  • Die Koeffizienten von  $\text{Filter 1}$  werden in den Fragen mit  $\alpha_0$,  $\alpha_1$,  $\alpha_2$  („alphas”) bezeichnet.


Fragebogen

1

Welche Aussagen sind bezüglich  $\text{Filter 1}$  zutreffend?

Es handelt sich um ein nichtrekursives Filter.
Die Ordnung des Filters ist  $M = 2$.
Der obere Filterkoeffizient ist gleich  $\alpha_0 =+1$.

2

Berechnen Sie die Streuung der Ausgangsfolge  $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$.

$\sigma_y \ = \ $

3

Berechnen Sie die AKF–Werte  $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$  für  $k = 1$  und  $k = 2$.

$\varphi_y(T_{\rm A}) \ = \ $

$\varphi_y(2T_{\rm A}) \ = \ $

4

Bestimmen Sie die Koeffizienten von  $\text{Filter 2}$  derart, dass  $\left\langle {z_\nu } \right\rangle$  und  $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$  die gleiche AKF besitzen.  Wie lautet der Quotient  $a_1/a_0$  für  $|a_1| < |a_0|$?

$a_1/a_0 \ = \ $

5

Welche Aussagen treffen für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen zu?

$f_y(y)$  und  $f_z(z)$  sind identisch.
$f_y(y)$  und  $f_z(z)$  sind im allgemeinen unterschiedlich.
Bei Gaußscher Eingangsgröße wären  $f_y(y)$  und  $f_z(z)$  gleich.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge:

  • Es ist ein nichtrekursives Filter zweiter Ordnung mit den Koeffizienten  $\alpha_0 = -1$,  $\alpha_1 = +0.707$  und  $\alpha_2 = +1$.
  • Die Koeffizienten von  $\text{Filter 1}$  werden hier mit  $\alpha_0$,  $\alpha_1$,  $\alpha_2$  („alphas”) bezeichnet.


(2)  Die Varianz der Ausgangswerte ist gleich dem AKF–Wert für  $k = 0$.  Für diesen erhält man:

$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 ^2 + \alpha _1 ^2 + \alpha _2 ^2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( {1 + {1}/{2} + 1} \right) = 0.833.$$
  • Damit ergibt sich für die Streuung (bzw. den Effektivwert):
$$\sigma _y = \sqrt {\varphi _y (0)} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.913}.$$


(3)  Diese beiden AKF–Werte können wie folgt berechnet werden:

$$\varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _1 + \alpha _1 \cdot \alpha _2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( { - 1 \cdot 0.707 + 0.707 \cdot 1} \right) \hspace{0.15cm} \underline{= 0},$$
$$\varphi _y ( {2T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _2 } \right) = -1/3\hspace{0.15cm} \underline{\approx - 0.333}.$$


(4)  Wegen  $\varphi _y ( {T_{\rm A} } )= 0$  ist es bei geeigneter Wahl von  $a_0$  und  $a_1$  möglich, dass die AKF am Ausgang von  $\text{Filter 2}$  identisch ist mit der in  (3)  berechneten AKF.

  • Mit  $T_{\rm A}\hspace{0.05cm}' = 2 \cdot T_{\rm A}$  gilt:
$$\varphi _z (0) = {1}/{3} \cdot \left( {a_0 ^2 + a_1 ^2 } \right) = 0.833\quad \Rightarrow \quad a_0 ^2 + a_1 ^2 = 2.5, $$
$$\varphi _z( {T_{\rm A} \hspace{0.05cm}'} ) = {1}/{3}\left( {a_0 \cdot a_1 } \right) = - {1}/{3}\quad \;\;\, \Rightarrow \quad a_0 \cdot a_1 = - 1.$$
  • Mit der Hilfsgröße  $H = a_0^2$  führt dies zu der Bestimmungsgleichung
$$H + {1}/{H} = 2.5\quad \Rightarrow \quad H^2 - 2.5 \cdot H + 1 = 0$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{1/2} = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm \sqrt {2.5^2 - 4} } \right) = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm 1.5} \right).$$
  • Die beiden Lösungen sind  $H_1 = 2$  und  $H_2 = 1/2$.  Daraus erhält man vier mögliche Lösungen:
$$a_0 = \sqrt 2 ,\quad \;\;\, a_1 = - {1}/{\sqrt 2 }, \hspace{2cm} a_0 = - \sqrt 2 ,\quad a_1 = {1}/{\sqrt 2 },$$
$$a_0 = {1}/{\sqrt 2 },\quad \;\,\, a_1 = - \sqrt 2 , \hspace{2cm} a_0 = - {1}/{\sqrt 2 },\quad a_1 = \sqrt 2 .$$
  • Bei den beiden letzten Lösungspaaren ist die Bedingung  $|a_1| < |a_0|$  nicht erfüllt.  Bei den oberen Gleichungen gilt dagegen in beiden Fällen:
$$ \hspace{0.15cm} \underline{a_1 /a_0 = - 0.5}.$$


(5)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Im allgemeinen  $($auch bei gleichverteilter Eingangsgröße  $x)$  sind die Dichtefunktionen  $f_y(y)$  und  $f_z(z)$  unterschiedlich.
  • $f_z(z)$  ergibt sich in diesem Fall aus der Faltung zweier verschieden breiter Rechtecke; sie ist also trapezförmig.
  • Zur Berechnung von  $f_y(y)$  müssten dagegen drei Rechtecke miteinander gefaltet werden.
  • Bei Gaußscher Eingangsgröße  $x$  sind auch  $y$  und  $z$  gaußverteilt, und wegen  $m_y = m_z$  und  $\sigma_y = \sigma_z$  gilt auch  $f_z(z) = f_y(y)$.