Aufgaben:Aufgabe 5.5: AKF-äquivalente Filter: Unterschied zwischen den Versionen

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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_vorgegebener_AKF-Eigenschaften|Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften]].
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_vorgegebener_AKF-Eigenschaften|Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften]].
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*Die Koeffizienten von $\text{Filter 1}$ werden in den Fragen mit $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ („alphas”) bezeichnet.
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  
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+ Es handelt sich um ein nichtrekursives Filter.
 
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+ Die Ordnung des Filters ist $M = 2$.
 
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- Der obere Filterkoeffizient  ist gleich $a_0 =+1$.
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- Der obere Filterkoeffizient  ist gleich $\alpha_0 =+1$.
  
  
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{Berechnen Sie die AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A}) für $k = 1$ und $k = 2$.
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{Berechnen Sie die AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ für $k = 1$ und $k = 2$.
 
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$\varphi_y(T_{\rm A}) \ = $ { 0. }
 
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===Musterlösung===
 
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Es ist ein nichtrekursives Filter zweiter Ordnung mit den Koeffizienten <i>&alpha;</i><sub>0</sub> = &ndash;1, <i>&alpha;</i><sub>1</sub> = 0.707 und <i>&alpha;</i><sub>2</sub> = 1. Richtig sind somit <u>die beiden ersten Lösungsvorschläge</u>.
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind somit <u>die beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
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*Es ist ein nichtrekursives Filter zweiter Ordnung mit den Koeffizienten $\alpha_0 = -1$, $\alpha_1 = +0.707$ und $\alpha_2 = +1$.
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*Die Koeffizienten von $\text{Filter 1}$ werden hier mit $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ (&bdquo;alphas&rdquo;) bezeichnet.
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Die Varianz der Ausgangswerte ist gleich dem AKF-Wert für <i>k</i> = 0. Für diesen erhält man:
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'''(2)'''&nbsp; Die Varianz der Ausgangswerte ist gleich dem AKF-Wert für $k = 0$. Für diesen erhält man:
 
:$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2  \cdot \left( {\alpha _0 ^2  + \alpha _1 ^2  + \alpha _2 ^2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( {1 + {1}/{2} + 1} \right) = 0.833.$$
 
:$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2  \cdot \left( {\alpha _0 ^2  + \alpha _1 ^2  + \alpha _2 ^2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( {1 + {1}/{2} + 1} \right) = 0.833.$$
  
:Damit ergibt sich für die Streuung (für den Effektivwert):
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Damit ergibt sich für die Streuung (bzw. den Effektivwert):
 
:$$\sigma _y  = \sqrt {\varphi _y (0)}  \hspace{0.15cm} \underline{= 0.913}.$$
 
:$$\sigma _y  = \sqrt {\varphi _y (0)}  \hspace{0.15cm} \underline{= 0.913}.$$
  
:<span style="font-style: italic;">
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'''(3)'''&nbsp; Diese beiden AKF-Werte können wie folgt berechnet werden:
:Hinweis</span>: Die Koeffizienten von Filter 1 sind hier mit <i>&alpha;</i><sub>0</sub>, <i>&alpha;</i><sub>1</sub>, <i>&alpha;</i><sub>2</sub> (&bdquo;alphas&rdquo;) bezeichnet.
 
 
 
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Diese beiden AKF-Werte können wie folgt berechnet werden:
 
 
:$$\varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2  \cdot \left( {\alpha _0  \cdot \alpha _1  + \alpha _1  \cdot \alpha _2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( { - 1 \cdot 0.707 + 0.707 \cdot 1} \right)  \hspace{0.15cm} \underline{= 0},$$
 
:$$\varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2  \cdot \left( {\alpha _0  \cdot \alpha _1  + \alpha _1  \cdot \alpha _2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( { - 1 \cdot 0.707 + 0.707 \cdot 1} \right)  \hspace{0.15cm} \underline{= 0},$$
:$$\varphi _y ( {2T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2  \cdot \left( {\alpha _0  \cdot \alpha _2 } \right) \hspace{0.15cm} \underline{ = - {1}/{3}}.$$
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:$$\varphi _y ( {2T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2  \cdot \left( {\alpha _0  \cdot \alpha _2 } \right) = -1/3\hspace{0.15cm} \underline{\approx - 0.333}.$$
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Da <i>&phi;<sub>y</sub></i>(<i>T</i><sub>A</sub>) = 0 ist, kann bei geeigneter Wahl von <i>a</i><sub>0</sub> und <i>a</i><sub>1</sub> erreicht werden, dass die AKF am Ausgang von Filter 2 identisch ist mit der unter Punkt c) berechneten AKF. Mit <i>T</i><sub>A</sub>' = 2 &middot; <i>T</i><sub>A</sub> gilt:
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'''(4)'''&nbsp; Da $\varphi _y ( {T_{\rm A} } )= 0$ ist, kann bei geeigneter Wahl von $a_0$ und $a_1$ erreicht werden, dass die AKF am Ausgang von $\text{Filter 2}$ identisch ist mit der in der Teilaufgabe (3) berechneten AKF. Mit $T_{\rm A}' = 2 \cdot T_{\rm A}$ gilt:
 
:$$\varphi _z (0) = {1}/{3} \cdot \left( {a_0 ^2  + a_1 ^2 } \right) = 0.833\quad  \Rightarrow \quad a_0 ^2  + a_1 ^2  = 2.5, $$
 
:$$\varphi _z (0) = {1}/{3} \cdot \left( {a_0 ^2  + a_1 ^2 } \right) = 0.833\quad  \Rightarrow \quad a_0 ^2  + a_1 ^2  = 2.5, $$
 
:$$\varphi _z( {T_A '} ) = {1}/{3}\left( {a_0  \cdot a_1 } \right) =  - {1}/{3}\quad \;\;\, \Rightarrow \quad a_0  \cdot a_1  =  - 1.$$
 
:$$\varphi _z( {T_A '} ) = {1}/{3}\left( {a_0  \cdot a_1 } \right) =  - {1}/{3}\quad \;\;\, \Rightarrow \quad a_0  \cdot a_1  =  - 1.$$
  
:Mit der Hilfsgröße <i>H</i> = <i>a</i><sub>0</sub><sup>2</sup> führt dies zu der Bestimmungsgleichung
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Mit der Hilfsgröße $H = a_0^2$ führt dies zu der Bestimmungsgleichung
 
:$$H + {1}/{H} = 2.5\quad  \Rightarrow \quad H^2  - 2.5 \cdot H + 1 = 0$$
 
:$$H + {1}/{H} = 2.5\quad  \Rightarrow \quad H^2  - 2.5 \cdot H + 1 = 0$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{1/2}  = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm \sqrt {2.5^2  - 4} } \right) = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm 1.5} \right).$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{1/2}  = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm \sqrt {2.5^2  - 4} } \right) = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm 1.5} \right).$$
  
:Die beiden Lösungen sind <i>H</i><sub>1</sub> = 2 und <i>H</i><sub>2</sub> = 0.5. Daraus erhält man vier mögliche Lösungen:
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Die beiden Lösungen sind $H_1 = 2$ und $H_2 = 1/2$. Daraus erhält man vier mögliche Lösungen:
 
:$$a_0  = \sqrt 2 ,\quad \;\;\, a_1  =  - {1}/{\sqrt 2 },
 
:$$a_0  = \sqrt 2 ,\quad \;\;\, a_1  =  - {1}/{\sqrt 2 },
 
\hspace{2cm} a_0  =  - \sqrt 2 ,\quad a_1  = {1}/{\sqrt 2 },$$
 
\hspace{2cm} a_0  =  - \sqrt 2 ,\quad a_1  = {1}/{\sqrt 2 },$$
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\hspace{2cm} a_0  =  - {1}/{\sqrt 2 },\quad a_1  = \sqrt 2 .$$
 
\hspace{2cm} a_0  =  - {1}/{\sqrt 2 },\quad a_1  = \sqrt 2 .$$
  
:Bei den beiden letzten Lösungspaaren ist die Bedingung |<i>a</i><sub>0</sub>| &gt; |<i>a</i><sub>1</sub>| nicht erfüllt. Bei den beiden oberen Gleichungen gilt dagegen in beiden Fällen:
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Bei den beiden letzten Lösungspaaren ist die Bedingung $|a_1| < |a_0|$ nicht erfüllt. Bei den oberen Gleichungen gilt dagegen in beiden Fällen:
 
:$$ \hspace{0.15cm} \underline{a_1 /a_0  =  - 0.5}.$$
 
:$$ \hspace{0.15cm} \underline{a_1 /a_0  =  - 0.5}.$$
  
:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Im allgemeinen (auch bei gleichverteilter Eingangsgröße <i>x</i>) sind die Dichtefunktionen <i>f<sub>y</sub></i>(<i>y</i>) und <i>f<sub>z</sub></i>(<i>z</i>)  unterschiedlich. <i>f<sub>z</sub></i>(<i>z</i>) ergibt sich aus der Faltung zweier verschieden breiter Rechtecke; sie ist also trapezförmig. Zur Berechnung von <i>f<sub>y</sub></i>(<i>y</i>) müssen drei Rechtecke miteinander gefaltet werden.
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'''(5)'''&nbsp; Richtig sind  <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 
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*Im allgemeinen (auch bei gleichverteilter Eingangsgröße $x$) sind die Dichtefunktionen $f_y(y)$ und $f_z(z)$ unterschiedlich.  
:Bei Gaußscher Eingangsgröße <i>x</i> sind auch <i>y</i> und <i>z</i> gaußverteilt, und wegen <i>m<sub>y</sub></i> = <i>m<sub>z</sub></i> und <i>&sigma;<sub>y</sub></i> = <i>&sigma;<sub>z</sub></i> gilt auch <i>f<sub>z</sub></i>(<i>z</i>) = <i>f<sub>y</sub></i>(<i>y</i>). Richtig sind demnach <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.
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*$f_z(z)$ ergibt sich aus der Faltung zweier verschieden breiter Rechtecke; sie ist also trapezförmig. Zur Berechnung von $f_y(y)$ müssen dagegen drei Rechtecke miteinander gefaltet werden.
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*Bei Gaußscher Eingangsgröße $x$ sind auch $y$ und $z$ gaußverteilt, und wegen $m_y = m_z$  und $\sigma_y = \sigma_z$ gilt auch $f_z(z) = f_y(y)$.  
 
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Version vom 20. April 2017, 10:42 Uhr

Zwei AKF-äquivalente Filter

Wir betrachten die beiden skizzierten digitalen Filter:

  • Die einzelnen Elemente der Eingangsfolge $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$ sind in beiden Fällen jeweils statistisch voneinander unabhängig und gleichverteilt zwischen $-1$ und $+1$.
  • Daraus folgt direkt für den Mittelwert und die Varianz:
$$m_x = 0,\quad \sigma _x^2 = {1}/{3}.$$

Die beiden Verzögerungszeiten von $\text{Filter 1}$ sind jeweils gleich $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm \mu s$. Die Verzögerungen von $\text{Filter 2}$ sind doppelt so lang.

Die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ von $\text{Filter 2}$ sollen so eingestellt werden, dass die Autokorrelationsfunktionen (AKF) von $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ und von $\left\langle {z_\nu } \right\rangle$ vollständig übereinstimmen. Wählen Sie bitte bei mehreren Lösungen diejenige mit $|a_1| < |a_0|$.


Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften.
  • Die Koeffizienten von $\text{Filter 1}$ werden in den Fragen mit $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ („alphas”) bezeichnet.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.


Fragebogen

1

Welche Aussagen sind bezüglich $\text{Filter 1}$ zutreffend?

Es handelt sich um ein nichtrekursives Filter.
Die Ordnung des Filters ist $M = 2$.
Der obere Filterkoeffizient ist gleich $\alpha_0 =+1$.

2

Berechnen Sie die Streuung der Ausgangsfolge $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$.

$\sigma_y \ = $

3

Berechnen Sie die AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ für $k = 1$ und $k = 2$.

$\varphi_y(T_{\rm A}) \ = $

$\varphi_y(2T_{\rm A}) \ = $

4

Bestimmen Sie die Koeffizienten von $\text{Filter 2}$ so, dass $\left\langle {z_\nu } \right\rangle$ und $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ die gleiche AKF besitzen. Wie lautet der Quotient $a_1/a_0$ für $|a_1| < |a_0|$?

$a_1/a_0 \ = $

5

Welche Aussagen treffen für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen zu?

$f_y(y)$ und $f_z(z)$ sind identisch.
$f_y(y)$ und $f_z(z)$ sind im Allgemeinen unterschiedlich.
Bei Gaußscher Eingangsgröße wären $f_y(y)$ und $f_z(z)$ gleich.


Musterlösung

(1)  Richtig sind somit die beiden ersten Lösungsvorschläge:

  • Es ist ein nichtrekursives Filter zweiter Ordnung mit den Koeffizienten $\alpha_0 = -1$, $\alpha_1 = +0.707$ und $\alpha_2 = +1$.
  • Die Koeffizienten von $\text{Filter 1}$ werden hier mit $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ („alphas”) bezeichnet.


(2)  Die Varianz der Ausgangswerte ist gleich dem AKF-Wert für $k = 0$. Für diesen erhält man:

$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 ^2 + \alpha _1 ^2 + \alpha _2 ^2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( {1 + {1}/{2} + 1} \right) = 0.833.$$

Damit ergibt sich für die Streuung (bzw. den Effektivwert):

$$\sigma _y = \sqrt {\varphi _y (0)} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.913}.$$

(3)  Diese beiden AKF-Werte können wie folgt berechnet werden:

$$\varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _1 + \alpha _1 \cdot \alpha _2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( { - 1 \cdot 0.707 + 0.707 \cdot 1} \right) \hspace{0.15cm} \underline{= 0},$$
$$\varphi _y ( {2T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _2 } \right) = -1/3\hspace{0.15cm} \underline{\approx - 0.333}.$$

(4)  Da $\varphi _y ( {T_{\rm A} } )= 0$ ist, kann bei geeigneter Wahl von $a_0$ und $a_1$ erreicht werden, dass die AKF am Ausgang von $\text{Filter 2}$ identisch ist mit der in der Teilaufgabe (3) berechneten AKF. Mit $T_{\rm A}' = 2 \cdot T_{\rm A}$ gilt:

$$\varphi _z (0) = {1}/{3} \cdot \left( {a_0 ^2 + a_1 ^2 } \right) = 0.833\quad \Rightarrow \quad a_0 ^2 + a_1 ^2 = 2.5, $$
$$\varphi _z( {T_A '} ) = {1}/{3}\left( {a_0 \cdot a_1 } \right) = - {1}/{3}\quad \;\;\, \Rightarrow \quad a_0 \cdot a_1 = - 1.$$

Mit der Hilfsgröße $H = a_0^2$ führt dies zu der Bestimmungsgleichung

$$H + {1}/{H} = 2.5\quad \Rightarrow \quad H^2 - 2.5 \cdot H + 1 = 0$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{1/2} = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm \sqrt {2.5^2 - 4} } \right) = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm 1.5} \right).$$

Die beiden Lösungen sind $H_1 = 2$ und $H_2 = 1/2$. Daraus erhält man vier mögliche Lösungen:

$$a_0 = \sqrt 2 ,\quad \;\;\, a_1 = - {1}/{\sqrt 2 }, \hspace{2cm} a_0 = - \sqrt 2 ,\quad a_1 = {1}/{\sqrt 2 },$$
$$a_0 = {1}/{\sqrt 2 },\quad \;\,\, a_1 = - \sqrt 2 , \hspace{2cm} a_0 = - {1}/{\sqrt 2 },\quad a_1 = \sqrt 2 .$$

Bei den beiden letzten Lösungspaaren ist die Bedingung $|a_1| < |a_0|$ nicht erfüllt. Bei den oberen Gleichungen gilt dagegen in beiden Fällen:

$$ \hspace{0.15cm} \underline{a_1 /a_0 = - 0.5}.$$

(5)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Im allgemeinen (auch bei gleichverteilter Eingangsgröße $x$) sind die Dichtefunktionen $f_y(y)$ und $f_z(z)$ unterschiedlich.
  • $f_z(z)$ ergibt sich aus der Faltung zweier verschieden breiter Rechtecke; sie ist also trapezförmig. Zur Berechnung von $f_y(y)$ müssen dagegen drei Rechtecke miteinander gefaltet werden.
  • Bei Gaußscher Eingangsgröße $x$ sind auch $y$ und $z$ gaußverteilt, und wegen $m_y = m_z$ und $\sigma_y = \sigma_z$ gilt auch $f_z(z) = f_y(y)$.