Aufgaben:Aufgabe 5.4Z: Zum Hanning-Fenster: Unterschied zwischen den Versionen

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In dieser Aufgabe sollen wichtige Eigenschaften des häufig verwendeten Hanning–Fensters hergeleitet werden. Die zeitkontinuierliche Darstellung im Intervall von $-T_{\rm P}/2$ bis $+T_{\rm P}/2$ lautet hier wie folgt:
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In dieser Aufgabe sollen wichtige Eigenschaften des häufig verwendeten Hanning–Fensters hergeleitet werden.  
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*Die zeitkontinuierliche Darstellung im Intervall von  $-T_{\rm P}/2$  bis  $+T_{\rm P}/2$  lautet hier wie folgt:
 
:$$w(t)= {\rm cos}^2(\pi \cdot
 
:$$w(t)= {\rm cos}^2(\pi \cdot
{t}/{T_{\rm P}})=  0.5\cdot \left(1 + {\rm cos}(2\pi \cdot
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{t}/{T_{\rm P}})=  0.5\cdot \big(1 + {\rm cos}(2\pi \cdot
{t}/{T_{\rm P}}) \right )
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{t}/{T_{\rm P}}) \big )
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
Außerhalb des symmetrischen Zeitbereichs der Dauer $T_{\rm P}$ ist $w(t) \equiv 0$.
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*Außerhalb des symmetrischen Zeitbereichs der Dauer  $T_{\rm P}$  ist $w (t) \equiv 0$.
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Die obere Grafik zeigt die zeitdiskrete Darstellung $w(\nu) = w({\nu}  \cdot T_{\rm A})$, wobei $T_{\rm A}$ um den Faktor $N = 32$ kleiner ist als $T_{\rm P}$. Der Definitionsbereich der diskreten Zeitvariablen $ν$  reicht von $-16$ bis $+15$.
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Die obere Grafik zeigt die zeitdiskrete Darstellung  $w(\nu) = w({\nu}  \cdot T_{\rm A})$, wobei  $T_{\rm A}$  um den Faktor  $N = 32$  kleiner ist als  $T_{\rm P}$.  Der Definitionsbereich der diskreten Zeitvariablen  $ν$  reicht von  $-16$  bis  $+15$.
  
In der unteren Grafik ist die Fouriertransformierte $W(f)$ der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion $w(t)$ logarithmisch dargestellt. Die Abszisse ist hierbei auf $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$ normiert ist. Man erkennt:
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In der unteren Grafik ist die Fouriertransformierte  $W(f)$  der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion  $w(t)$  logarithmisch dargestellt.  Die Abszisse ist hierbei auf  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$  normiert ist.  Man erkennt:
*Die äquidistanten Werte $W({\mu}  \cdot f_{\rm A})$ sind $0$ mit Ausnahme von $μ = 0$ und $μ = ±1$.  
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*Die äquidistanten Werte  $W({\mu}  \cdot f_{\rm A})$  sind Null mit Ausnahme von  $μ = 0$  und  $μ = ±1$.  
*Die Hauptkeule erstreckt sich somit auf den Frequenzbereich $|f| ≤ 2 · f_{\rm A}$.  
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*Die Hauptkeule erstreckt sich somit auf den Frequenzbereich  $|f| ≤ 2 · f_{\rm A}$.  
*$W(f)$ ist außerhalb der Hauptkeule betragsmäßig für $f = ±2.5 · f_{\rm A}$ am größten.  
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*$W(f)$  ist außerhalb der Hauptkeule betragsmäßig für  $f = ±2.5 · f_{\rm A}$  am größten.  
 
*Somit gilt hier für den minimalen Abstand zwischen Haupt– und Seitenkeulen:
 
*Somit gilt hier für den minimalen Abstand zwischen Haupt– und Seitenkeulen:
  
 
:$$A_{\rm H/S} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}
 
:$$A_{\rm H/S} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}
 
  \frac{|W(0)|}{|W(2.5 \cdot f_{\rm A})|} \hspace{0.15cm}{\rm (in}\hspace{0.1cm}{\rm dB)}\hspace{0.05cm}.$$  
 
  \frac{|W(0)|}{|W(2.5 \cdot f_{\rm A})|} \hspace{0.15cm}{\rm (in}\hspace{0.1cm}{\rm dB)}\hspace{0.05cm}.$$  
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''Hinweise:''  
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]].
*Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung $f_{\rm A}$ gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters $T_{\rm P}$ ist.  
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*Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung  $f_{\rm A}$  gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters  $T_{\rm P}$  ist.  
 
   
 
   
  
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<quiz display=simple>
 
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{Geben Sie die zeitdiskreten Koeffizienten $w(ν)$ des Hanning–Fensters analytisch an. <br>Welche Zahlenwerte ergeben sich für $ν = 0$, $ν = 1$ und $ν =  -\hspace{0.05cm}8$?
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{Geben Sie die zeitdiskreten Koeffizienten&nbsp; $w(ν)$&nbsp; des Hanning–Fensters analytisch an. <br>Welche Zahlenwerte ergeben sich für &nbsp; $ν = 0$, &nbsp; $ν = 1$&nbsp; und &nbsp; $ν =  -\hspace{0.05cm}8$?
 
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$w(ν = 0) \hspace{0.37cm} = \ $ { 1 1% }  
 
$w(ν = 0) \hspace{0.37cm} = \ $ { 1 1% }  
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$w(ν =  -8) \hspace{0.03cm} = \ $ { 0.5 1% }  
 
$w(ν =  -8) \hspace{0.03cm} = \ $ { 0.5 1% }  
  
{Berechnen Sie die Spektralfunktion $W(f)$ allgemein. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend??
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{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; $W(f)$&nbsp; allgemein.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend??
 
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- $W(f)$ liefert für spezielle Frequenzwerte komplexe Ergebnisse.
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- $W(f)$&nbsp; liefert für spezielle Frequenzwerte komplexe Ergebnisse.
+ $W(f)$ ist bezüglich $f$ gerade, das heißt, es gilt stets $W(-f) = W(+f)$.
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+ $W(f)$&nbsp; ist bezüglich&nbsp; $f$&nbsp; gerade, das heißt, es gilt stets&nbsp; $W(-f) = W(+f)$.
+ Der Spektralwert $W(f = 0)$ ist gleich $0.5/f_{\rm A}$ und somit reell.
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+ Der Spektralwert&nbsp; $W(f = 0)$&nbsp; ist gleich&nbsp; $0.5/f_{\rm A}$&nbsp; und somit reell.
  
{Wie groß sind $W(f = ±f_{\rm A})$ und die auf $f_{\rm A}$ normierte $\text{6 dB}$–Bandbreite?
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{Wie groß sind&nbsp; $W(f = ±f_{\rm A})$&nbsp; und die auf&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; normierte $\text{6 dB}$–Bandbreite?
 
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$W(±f_{\rm A})  \hspace{0.15cm} = \ $ { 0.25 1% } $\ \cdot \ 1/f_{\rm A}$
 
$W(±f_{\rm A})  \hspace{0.15cm} = \ $ { 0.25 1% } $\ \cdot \ 1/f_{\rm A}$
 
$B_{\rm 6\hspace{0.05cm}dB}\hspace{-0.05cm}/\hspace{-0.05cm}f_{\rm A}  \hspace{0.2cm} = \ $ { 2 1% }  
 
$B_{\rm 6\hspace{0.05cm}dB}\hspace{-0.05cm}/\hspace{-0.05cm}f_{\rm A}  \hspace{0.2cm} = \ $ { 2 1% }  
 
 
{Wie groß ist der minimale Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeule.
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{Wie groß ist der minimale logarithmische Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeule.
 
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$A_{\rm H/S} \ = \ $ { 32.3 1% } $\ \rm dB$
 
$A_{\rm H/S} \ = \ $ { 32.3 1% } $\ \rm dB$
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{t}/{T_{\rm P}}) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm
 
{t}/{T_{\rm P}}) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm
 
cos}(2\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}})\hspace{0.05cm}.$$
 
cos}(2\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}})\hspace{0.05cm}.$$
Nach Zeitdiskretisierung mit $ν = t/T_{\rm A}$ und $T_{\rm P}/T_{\rm A} = N = 32$ erhält man für das zeitdiskrete Fenster:
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*Nach Zeitdiskretisierung mit&nbsp; $ν = t/T_{\rm A}$&nbsp; und&nbsp; $T_{\rm P}/T_{\rm A} = N = 32$&nbsp; erhält man für das zeitdiskrete Fenster:
 
:$$w(\nu)  =  w(\nu \cdot T_{\rm A}) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm
 
:$$w(\nu)  =  w(\nu \cdot T_{\rm A}) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm
 
cos}(2\pi \cdot {\nu}/{N})\hspace{0.8cm}
 
cos}(2\pi \cdot {\nu}/{N})\hspace{0.8cm}
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0.5\cdot {\rm cos}( \frac{-\pi}{2}) \hspace{0.15 cm}\underline{=
 
0.5\cdot {\rm cos}( \frac{-\pi}{2}) \hspace{0.15 cm}\underline{=
 
0.5}\hspace{0.05cm}.$$
 
0.5}\hspace{0.05cm}.$$
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'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
*Die periodische Fortsetzung von $w(t)$ entsprechend der Periodendauer $T_{\rm P}$ liefert ein (periodisches) Signal mit einem Gleich– und einem Cosinusanteil. Daraus folgt mit $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$:
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*Die periodische Fortsetzung von&nbsp; $w(t)$&nbsp; entsprechend der Periodendauer&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; liefert ein (periodisches) Signal mit einem Gleich– und einem Cosinusanteil.  
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*Daraus folgt mit&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$:
 
:$${\rm P}\{w(t)\} = 0.5+0.5\cdot {\rm
 
:$${\rm P}\{w(t)\} = 0.5+0.5\cdot {\rm
 
cos}(2\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t)
 
cos}(2\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t)
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\hspace{0.2cm}0.5\cdot {\rm \delta}(f) + 0.25\cdot {\rm
 
\hspace{0.2cm}0.5\cdot {\rm \delta}(f) + 0.25\cdot {\rm
 
\delta}(f \pm f_{\rm A}))\hspace{0.05cm}.$$
 
\delta}(f \pm f_{\rm A}))\hspace{0.05cm}.$$
*Das zeitbegrenzte Signal $w(t)$ ergibt sich aus ${\rm P}\{w(t)\}$ durch Multiplikation mit einem Rechteck der Amplitude $1$ und der Dauer $T_{\rm P}$.  
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*Das zeitbegrenzte Signal&nbsp; $w(t)$&nbsp; ergibt sich aus&nbsp; ${\rm P}\{w(t)\}$&nbsp; durch Multiplikation mit einem Rechteck der Amplitude&nbsp; $1$&nbsp; und der Dauer&nbsp; $T_{\rm P}$.  
*Dessen Spektrum $W(f)$ erhält man somit aus der Faltung der obigen Spektralfunktion mit der Funktion $T_{\rm P} · {\rm si}(π \cdot f \cdot T_{\rm P}) = 1/f_{\rm A} · {\rm si}(π \cdot f/f_{\rm A})$:
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*Dessen Spektrum&nbsp; $W(f)$&nbsp; erhält man somit aus der Faltung der obigen Spektralfunktion mit der Funktion&nbsp; $T_{\rm P} · {\rm si}(π \cdot f \cdot T_{\rm P}) = 1/f_{\rm A} · {\rm si}(π \cdot f/f_{\rm A})$:
 
:$$w(t)
 
:$$w(t)
 
\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,
 
\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,
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\frac{f-f_{\rm A}}{f_{\rm A}})+ \frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm
 
\frac{f-f_{\rm A}}{f_{\rm A}})+ \frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm
 
si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$
 
si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$
*Diese Spektralfunktion ist gerade und für alle Frequenzen $f$ auch reell. Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ergibt die Fensterfläche:
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*Diese Spektralfunktion ist gerade und für alle Frequenzen&nbsp; $f$&nbsp; auch reell.&nbsp; Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ergibt die Fensterfläche:
 
:$$W(f=0) =
 
:$$W(f=0) =
 
\frac{0.5}{f_{\rm A}}=
 
\frac{0.5}{f_{\rm A}}=
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'''(3)'''&nbsp; Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' folgt auch:
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:$$W(f = ±fA) = W(0)/2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.25} \cdot 1/{f_{\rm A}}.$$  
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'''(3)'''&nbsp; Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; folgt auch:
*Aufgrund des monotonen Verlaufs im Bereich $|f| < f_{\rm A}$ ist die Betragsfunktion $|W(f)|$ genau bei $± f_{\rm A}$ zum ersten Mal auf die Hälfte des Maximums abgefallen.  
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:$$W(f = ±f_{\rm A}) = W(0)/2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.25} \cdot 1/{f_{\rm A}}.$$  
*Damit gilt $B_{\rm 6\hspace{0.05cm}dB}\hspace{-0.05cm}/\hspace{-0.05cm}f_{\rm A} \;\underline{=2}$.
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*Aufgrund des monotonen Verlaufs im Bereich&nbsp; $|f| < f_{\rm A}$&nbsp; ist die Betragsfunktion&nbsp; $|W(f)|$&nbsp; genau bei&nbsp; $± f_{\rm A}$&nbsp; zum ersten Mal auf die Hälfte des Maximums abgefallen.  
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*Damit gilt&nbsp; $B_{\rm 6\hspace{0.05cm}dB}\hspace{-0.05cm}/\hspace{-0.05cm}f_{\rm A} \;\underline{=2}$.
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'''(4)'''&nbsp; Der größte Spektralbetrag außerhalb der Hauptkeule tritt bei $f = ±2.5 f_{\rm A}$ auf. Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' gilt:
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'''(4)'''&nbsp; Der größte Spektralbetrag außerhalb der Hauptkeule tritt bei&nbsp; $f = ±2.5 f_{\rm A}$&nbsp; auf.&nbsp; Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gilt:
 
:$$W(f = 2.5 \cdot f_{\rm A}) = \frac{0.5}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(2.5 \pi )
 
:$$W(f = 2.5 \cdot f_{\rm A}) = \frac{0.5}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(2.5 \pi )
 
  +\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(1.5 \pi )+\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(3.5 \pi )=  \frac{0.25}{\pi \cdot f_{\rm A}}\left[ \frac{2}{2.5}-\frac{1}{1.5}-\frac{1}{3.5}\right] \approx -\frac{0.0121}{ f_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
 
  +\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(1.5 \pi )+\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(3.5 \pi )=  \frac{0.25}{\pi \cdot f_{\rm A}}\left[ \frac{2}{2.5}-\frac{1}{1.5}-\frac{1}{3.5}\right] \approx -\frac{0.0121}{ f_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
Damit erhält man für den minimalen Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen:
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*Damit erhält man für den minimalen Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen:
 
:$$A_{\rm H/S} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}
 
:$$A_{\rm H/S} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}
 
  \frac{|W(0)|}{|W(2.5 \cdot f_{\rm A})|} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}
 
  \frac{|W(0)|}{|W(2.5 \cdot f_{\rm A})|} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}

Aktuelle Version vom 19. Mai 2021, 16:31 Uhr

Charakterisierung des Hanning-Fensters

In dieser Aufgabe sollen wichtige Eigenschaften des häufig verwendeten Hanning–Fensters hergeleitet werden.

  • Die zeitkontinuierliche Darstellung im Intervall von  $-T_{\rm P}/2$  bis  $+T_{\rm P}/2$  lautet hier wie folgt:
$$w(t)= {\rm cos}^2(\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}})= 0.5\cdot \big(1 + {\rm cos}(2\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}}) \big ) \hspace{0.05cm}.$$
  • Außerhalb des symmetrischen Zeitbereichs der Dauer  $T_{\rm P}$  ist $w (t) \equiv 0$.


Die obere Grafik zeigt die zeitdiskrete Darstellung  $w(\nu) = w({\nu} \cdot T_{\rm A})$, wobei  $T_{\rm A}$  um den Faktor  $N = 32$  kleiner ist als  $T_{\rm P}$.  Der Definitionsbereich der diskreten Zeitvariablen  $ν$  reicht von  $-16$  bis  $+15$.

In der unteren Grafik ist die Fouriertransformierte  $W(f)$  der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion  $w(t)$  logarithmisch dargestellt.  Die Abszisse ist hierbei auf  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$  normiert ist.  Man erkennt:

  • Die äquidistanten Werte  $W({\mu} \cdot f_{\rm A})$  sind Null mit Ausnahme von  $μ = 0$  und  $μ = ±1$.
  • Die Hauptkeule erstreckt sich somit auf den Frequenzbereich  $|f| ≤ 2 · f_{\rm A}$.
  • $W(f)$  ist außerhalb der Hauptkeule betragsmäßig für  $f = ±2.5 · f_{\rm A}$  am größten.
  • Somit gilt hier für den minimalen Abstand zwischen Haupt– und Seitenkeulen:
$$A_{\rm H/S} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{|W(0)|}{|W(2.5 \cdot f_{\rm A})|} \hspace{0.15cm}{\rm (in}\hspace{0.1cm}{\rm dB)}\hspace{0.05cm}.$$





Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Spektralanalyse.
  • Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung  $f_{\rm A}$  gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters  $T_{\rm P}$  ist.



Fragebogen

1

Geben Sie die zeitdiskreten Koeffizienten  $w(ν)$  des Hanning–Fensters analytisch an.
Welche Zahlenwerte ergeben sich für   $ν = 0$,   $ν = 1$  und   $ν = -\hspace{0.05cm}8$?

$w(ν = 0) \hspace{0.37cm} = \ $

$w(ν = 1) \hspace{0.37cm} = \ $

$w(ν = -8) \hspace{0.03cm} = \ $

2

Berechnen Sie die Spektralfunktion  $W(f)$  allgemein.  Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend??

$W(f)$  liefert für spezielle Frequenzwerte komplexe Ergebnisse.
$W(f)$  ist bezüglich  $f$  gerade, das heißt, es gilt stets  $W(-f) = W(+f)$.
Der Spektralwert  $W(f = 0)$  ist gleich  $0.5/f_{\rm A}$  und somit reell.

3

Wie groß sind  $W(f = ±f_{\rm A})$  und die auf  $f_{\rm A}$  normierte $\text{6 dB}$–Bandbreite?

$W(±f_{\rm A}) \hspace{0.15cm} = \ $

$\ \cdot \ 1/f_{\rm A}$
$B_{\rm 6\hspace{0.05cm}dB}\hspace{-0.05cm}/\hspace{-0.05cm}f_{\rm A} \hspace{0.2cm} = \ $

4

Wie groß ist der minimale logarithmische Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeule.

$A_{\rm H/S} \ = \ $

$\ \rm dB$


Musterlösung

(1)  Nach trigonometrischer Umformung ergibt sich für die zeitkontinuierliche Fensterfunktion:

$$w(t) = {\rm cos}^2(\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}}) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}})\hspace{0.05cm}.$$
  • Nach Zeitdiskretisierung mit  $ν = t/T_{\rm A}$  und  $T_{\rm P}/T_{\rm A} = N = 32$  erhält man für das zeitdiskrete Fenster:
$$w(\nu) = w(\nu \cdot T_{\rm A}) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot {\nu}/{N})\hspace{0.8cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}w(\nu = 0) \hspace{0.15 cm}\underline{= 1},$$
$$w(\nu = 1) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm cos}( \frac{\pi}{16})\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.99}, $$
$$w(\nu = -8)=0.5+ 0.5\cdot {\rm cos}( \frac{-\pi}{2}) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5}\hspace{0.05cm}.$$


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Die periodische Fortsetzung von  $w(t)$  entsprechend der Periodendauer  $T_{\rm P}$  liefert ein (periodisches) Signal mit einem Gleich– und einem Cosinusanteil.
  • Daraus folgt mit  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$:
$${\rm P}\{w(t)\} = 0.5+0.5\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}0.5\cdot {\rm \delta}(f) + 0.25\cdot {\rm \delta}(f \pm f_{\rm A}))\hspace{0.05cm}.$$
  • Das zeitbegrenzte Signal  $w(t)$  ergibt sich aus  ${\rm P}\{w(t)\}$  durch Multiplikation mit einem Rechteck der Amplitude  $1$  und der Dauer  $T_{\rm P}$.
  • Dessen Spektrum  $W(f)$  erhält man somit aus der Faltung der obigen Spektralfunktion mit der Funktion  $T_{\rm P} · {\rm si}(π \cdot f \cdot T_{\rm P}) = 1/f_{\rm A} · {\rm si}(π \cdot f/f_{\rm A})$:
$$w(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, W(f) = \frac{0.5}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}( \frac{\pi f}{f_{\rm A}})+ \frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f-f_{\rm A}}{f_{\rm A}})+ \frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$
  • Diese Spektralfunktion ist gerade und für alle Frequenzen  $f$  auch reell.  Der Spektralwert bei der Frequenz  $f = 0$  ergibt die Fensterfläche:
$$W(f=0) = \frac{0.5}{f_{\rm A}}= \int_{-\infty}^{+\infty}w(t)\hspace{0.05cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe  (2)  folgt auch:

$$W(f = ±f_{\rm A}) = W(0)/2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.25} \cdot 1/{f_{\rm A}}.$$
  • Aufgrund des monotonen Verlaufs im Bereich  $|f| < f_{\rm A}$  ist die Betragsfunktion  $|W(f)|$  genau bei  $± f_{\rm A}$  zum ersten Mal auf die Hälfte des Maximums abgefallen.
  • Damit gilt  $B_{\rm 6\hspace{0.05cm}dB}\hspace{-0.05cm}/\hspace{-0.05cm}f_{\rm A} \;\underline{=2}$.


(4)  Der größte Spektralbetrag außerhalb der Hauptkeule tritt bei  $f = ±2.5 f_{\rm A}$  auf.  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (2)  gilt:

$$W(f = 2.5 \cdot f_{\rm A}) = \frac{0.5}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(2.5 \pi ) +\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(1.5 \pi )+\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(3.5 \pi )= \frac{0.25}{\pi \cdot f_{\rm A}}\left[ \frac{2}{2.5}-\frac{1}{1.5}-\frac{1}{3.5}\right] \approx -\frac{0.0121}{ f_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Damit erhält man für den minimalen Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen:
$$A_{\rm H/S} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{|W(0)|}{|W(2.5 \cdot f_{\rm A})|} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{0.5}{0.0121}\hspace{0.15 cm}\underline{\approx 32.3\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$