Aufgaben:Aufgabe 5.4Z: Zum Hanning-Fenster: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
(Die Seite wurde neu angelegt: „ {{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Spektralanalyse }} 250px|right|Beispiel für die Spektralanalyse Gegeben sei…“)
 
 
(14 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 3: Zeile 3:
 
}}
 
}}
  
[[Datei:P_ID1166__Sig_A_5_4_neu.png|250px|right|Beispiel für die Spektralanalyse]]
+
[[Datei:P_ID1168__Sig_Z_5_4.png|250px|right|frame|Charakterisierung des Hanning-Fensters]]
  
Gegeben sei der prinzipielle Zeitverlauf eines periodischen Signals:  
+
In dieser Aufgabe sollen wichtige Eigenschaften des häufig verwendeten Hanning–Fensters hergeleitet werden.
+
 
$$x(t)   =   A_1 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_1 \cdot t+  A_2 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_2 \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
+
*Die zeitkontinuierliche Darstellung im Intervall von  $-T_{\rm P}/2$  bis  $+T_{\rm P}/2$  lautet hier wie folgt:
 +
:$$w(t)= {\rm cos}^2(\pi \cdot
 +
{t}/{T_{\rm P}})= 0.5\cdot \big(1 + {\rm cos}(2\pi \cdot
 +
{t}/{T_{\rm P}}) \big )
 +
\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Außerhalb des symmetrischen Zeitbereichs der Dauer  $T_{\rm P}$  ist $w (t) \equiv 0$.
 +
 
 +
 
 +
Die obere Grafik zeigt die zeitdiskrete Darstellung  $w(\nu) = w({\nu}  \cdot T_{\rm A})$, wobei  $T_{\rm A}$  um den Faktor  $N = 32$  kleiner ist als  $T_{\rm P}$.  Der Definitionsbereich der diskreten Zeitvariablen  $ν$  reicht von  $-16$  bis  $+15$.
  
Unbekannt und damit zu schätzen seien dessen Parameter $A_1$, $f_1$, $A_2$ und $f_2$.
+
In der unteren Grafik ist die Fouriertransformierte  $W(f)$  der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion  $w(t)$  logarithmisch dargestellt.  Die Abszisse ist hierbei auf  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$  normiert ist.  Man erkennt:
 +
*Die äquidistanten Werte  $W({\mu}  \cdot f_{\rm A})$  sind Null mit Ausnahme von  $μ = 0$  und  $μ = ±1$.
 +
*Die Hauptkeule erstreckt sich somit auf den Frequenzbereich  $|f| ≤ 2 · f_{\rm A}$.
 +
*$W(f)$  ist außerhalb der Hauptkeule betragsmäßig für  $f = ±2.5 · f_{\rm A}$  am größten.  
 +
*Somit gilt hier für den minimalen Abstand zwischen Haupt– und Seitenkeulen:
  
Nach Gewichtung des Signals mit der Fensterfunktion $w(t)$ wird das Produkt $y(t) = x(t) \cdot w(t)$ einer [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]] (DFT) mit den Parametern $N = 512$ und $T_{\rm P}$ unterworfen. Die Zeitdauer $T_{\rm P}$ des zu analysierenden  Signalausschnitts kann vom Benutzer beliebig eingestellt werden.
+
:$$A_{\rm H/S} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}
 +
\frac{|W(0)|}{|W(2.5 \cdot f_{\rm A})|} \hspace{0.15cm}{\rm (in}\hspace{0.1cm}{\rm dB)}\hspace{0.05cm}.$$  
  
Für die Fensterung stehen folgende Funktionen zur Verfügung, die jeweils für $|t| > T_{\rm P}/2$ identisch 0 sind:
 
*Das Rechteckfenster:
 
 
$${w} (\nu)  = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\
 
0 \\  \end{array} \right.\quad
 
\begin{array}{*{10}c}    {\rm{f\ddot{u}r}}
 
\\    \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
 
-N/2 \le \nu < N/2 \hspace{0.05cm}, \\
 
{\rm sonst} \hspace{0.05cm}, \\
 
\end{array}$$
 
 
$$W(f) ={1}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot
 
{f}/{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm},$$
 
  
*das Hanning–Fenster:
 
 
$${w} (\nu)  = \left\{ \begin{array}{c} 0.5 + 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot {\nu}/{N}) \\
 
0 \\  \end{array} \right.\quad
 
\begin{array}{*{10}c}    {\rm{f\ddot{u}r}}
 
\\    \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
 
-N/2 \le \nu < N/2 \hspace{0.05cm}, \\
 
{\rm sonst} \hspace{0.05cm}, \\
 
\end{array}$$
 
  
$$W(f) ={0.5}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot
 
\frac{f}{f_{\rm A}})+ {0.25}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi
 
\cdot \frac{f-f_{\rm A}}{f_{\rm A}})+ {0.5}/{f_{\rm A}}\cdot
 
{\rm si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$
 
  
Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung $f_{\rm A}$ gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters $T_{\rm P}$ ist. $W(f)$ ist die Fouriertransformierte der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion $w(t)$, während die oben angegebene Funktion $w(ν)$ die zeitdiskrete Gewichtungsfunktion angibt.
 
  
Im Laufe der Aufgabe wird auf verschiedene Spektralfunktionen $Y(f)$ Bezug genommen, zum Beispiel auf
 
 
$$Y_{\rm A}(f) = 1\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm  1\,\,{\rm kHz})+
 
0.5\,\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm  1.125\,\,{\rm kHz})
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
  
In der obigen Grafik sind zwei weitere Spektralfunktionen $Y_{\rm B}(f)$ und $Y_{\rm C}(f)$ abgebildet, die sich ergeben, wenn ein $1 \ \text{kHz}$–Signal mittels DFT analysiert wird und der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$ ungünstig gewählt ist.
 
  
Für eines der Bilder ist das Rechteckfenster zugrundegelegt, für das andere das Hanning–Fenster. Nicht angegeben wird, welche Spektralfunktion zu welchem Fenster gehört.
 
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]].
+
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
+
*Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; ist.  
 +
 +
 
 +
 
  
  
Zeile 63: Zeile 45:
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
  
{Welche der folgenden Aussagen treffen mit Sicherheit zu, wenn die DFT das Ausgangsspektrum $Y_{\rm A}(f)$ anzeigt?
+
{Geben Sie die zeitdiskreten Koeffizienten&nbsp; $w(ν)$&nbsp; des Hanning–Fensters analytisch an. <br>Welche Zahlenwerte ergeben sich für &nbsp; $ν = 0$, &nbsp; $ν = 1$&nbsp; und &nbsp; $ν =  -\hspace{0.05cm}8$?
 +
|type="{}"}
 +
$w(ν = 0) \hspace{0.37cm} = \ $ { 1 1% }
 +
$w(ν = 1) \hspace{0.37cm} = \ $ { 0.99 1% }
 +
$w(ν =  -8) \hspace{0.03cm} = \ $ { 0.5 1% }
 +
 
 +
{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; $W(f)$&nbsp; allgemein.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend??
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Zur Gewichtung wurde das Rechteckfenster verwendet.
+
- $W(f)$&nbsp; liefert für spezielle Frequenzwerte komplexe Ergebnisse.
- Zur Gewichtung wurde das Hanning–Fenster verwendet.
+
+ $W(f)$&nbsp; ist bezüglich&nbsp; $f$&nbsp; gerade, das heißt, es gilt stets&nbsp; $W(-f) = W(+f)$.
- Es wurde der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 4\ \text{ms}$ verwendet.
+
+ Der Spektralwert&nbsp; $W(f = 0)$&nbsp; ist gleich&nbsp; $0.5/f_{\rm A}$&nbsp; und somit reell.
+ Das DFT–Spektrum $Y_{\rm A}(f)$ ist identisch mit dem Spektrum $X(f)$.
 
  
{Wie lautet $Y(f)$ bei Verwendung des Hanning–Fensters und  $T_{\rm P} = 8 \ \text{ms}$, wenn das Eingangsspektrum $X(f) = Y_{\rm A}(f)$ anliegt? Geben Sie die Gewichte der Diraclinien bei $f_1= 1\ \text{kHz}$ und $f_2 = 1.125\ \text{kHz}$ an.
+
{Wie groß sind&nbsp; $W(f = ±f_{\rm A})$&nbsp; und die auf&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; normierte $\text{6 dB}$–Bandbreite?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$G(f_1 = 1 \ \text{kHz}) &nbsp;=$ { 0.625 3% } &nbsp;$\text{V}$
+
$W(±f_{\rm A})  \hspace{0.15cm} = \ $ { 0.25 1% } $\ \cdot \ 1/f_{\rm A}$
$G(f_1 = 1.125 \ \text{kHz})  &nbsp;=$ { 0.5 3% } &nbsp;$\text{V}$
+
$B_{\rm 6\hspace{0.05cm}dB}\hspace{-0.05cm}/\hspace{-0.05cm}f_{\rm A}  \hspace{0.2cm} = \ $ { 2 1% }
 +
 +
{Wie groß ist der minimale logarithmische Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeule.
 +
|type="{}"}
 +
$A_{\rm H/S} \ = \ $ { 32.3 1% } $\ \rm dB$
  
{Wir betrachten das $1\ \text{kHz}$–Cosinussignal $x(t)$. Welches Spektrum - $Y_{\rm B}(f)$ oder $Y_{\rm C}(f)$ – ergibt sich mit dem Rechteck– bzw. dem Hanning–Fenster, wenn der DFT-Parameter  $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$ ungünstig gewählt ist?
 
|type="[]"}
 
- $Y_{\rm B}(f)$ergibt sich bei Rechteckfensterung.
 
+ $Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich mit dem Hanning-Fenster.
 
  
 
</quiz>
 
</quiz>
Zeile 84: Zeile 71:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
+
'''(1)'''&nbsp; Nach trigonometrischer Umformung ergibt sich für die zeitkontinuierliche Fensterfunktion:
*Bei Verwendung des Hanning–Fensters müssten selbst dann drei Diracfunktionen zu erkennen sein, auch wenn $x(t)$ nur eine Frequenz beinhaltet &nbsp; ⇒ &nbsp; es wurde das Rechteckfenster verwendet.
+
:$$w(t) = {\rm cos}^2(\pi \cdot
*Mit $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ ergibt sich für die Frequenzauflösung $f_{\rm A}= 1/T_{\rm P} = 0.25 \ \text{kHz}$ Damit liegt die Frequenz $f_2$ nicht im vorgegebenen Raster und $Y(f)$ würde sich aus sehr vielen Diraclinien zusammensetzen. Das heißt: die dritte Aussage ist falsch.
+
{t}/{T_{\rm P}}) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm
*Wie aus der nachfolgenden Grafik hervorgeht, hat $x(t)$ die Periodendauer $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$. Wählt man den DFT–Parameter gleich $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ (oder ein ganzzahliges Vielfaches davon), so stimmt die periodische Fortsetzung ${\rm P}\{ x(t)\} $ im Intervall $|t| \leq T_{\rm P}/2$ mit $x(t)$ überein, so dass sich die Gewichtungsfunktion $w(t)$ nicht störend auswirkt: Das DFT–Spektrum $Y(f)$ stimmt somit mit dem tatsächlichen Spektrum überein.
+
cos}(2\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}})\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Nach Zeitdiskretisierung mit&nbsp; $ν = t/T_{\rm A}$&nbsp; und&nbsp; $T_{\rm P}/T_{\rm A} = N = 32$&nbsp; erhält man für das zeitdiskrete Fenster:
 +
:$$w(\nu) =  w(\nu \cdot T_{\rm A}) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm
 +
cos}(2\pi \cdot {\nu}/{N})\hspace{0.8cm}
 +
\Rightarrow \hspace{0.3cm}w(\nu = 0) \hspace{0.15 cm}\underline{= 1},$$
 +
:$$w(\nu = 1) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm cos}(
 +
\frac{\pi}{16})\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.99}, $$
 +
:$$w(\nu = -8)=0.5+
 +
0.5\cdot {\rm cos}( \frac{-\pi}{2}) \hspace{0.15 cm}\underline{=
 +
0.5}\hspace{0.05cm}.$$
  
[[Datei:P_ID1167__Sig_A_5_4a.png|Beispielsignal 1 zur Spektralanalyse]]
 
  
 +
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 +
*Die periodische Fortsetzung von&nbsp; $w(t)$&nbsp; entsprechend der Periodendauer&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; liefert ein (periodisches) Signal mit einem Gleich– und einem Cosinusanteil.
 +
*Daraus folgt mit&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$:
 +
:$${\rm P}\{w(t)\} = 0.5+0.5\cdot {\rm
 +
cos}(2\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t)
 +
\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,
 +
\hspace{0.2cm}0.5\cdot {\rm \delta}(f) + 0.25\cdot {\rm
 +
\delta}(f \pm f_{\rm A}))\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Das zeitbegrenzte Signal&nbsp; $w(t)$&nbsp; ergibt sich aus&nbsp; ${\rm P}\{w(t)\}$&nbsp; durch Multiplikation mit einem Rechteck der Amplitude&nbsp; $1$&nbsp; und der Dauer&nbsp; $T_{\rm P}$.
 +
*Dessen Spektrum&nbsp; $W(f)$&nbsp; erhält man somit aus der Faltung der obigen Spektralfunktion mit der Funktion&nbsp; $T_{\rm P} · {\rm si}(π \cdot f \cdot T_{\rm P}) = 1/f_{\rm A} · {\rm si}(π \cdot f/f_{\rm A})$:
 +
:$$w(t)
 +
\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,
 +
W(f) = \frac{0.5}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}( \frac{\pi f}{f_{\rm
 +
A}})+ \frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot
 +
\frac{f-f_{\rm A}}{f_{\rm A}})+ \frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm
 +
si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Diese Spektralfunktion ist gerade und für alle Frequenzen&nbsp; $f$&nbsp; auch reell.&nbsp; Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ergibt die Fensterfläche:
 +
:$$W(f=0) =
 +
\frac{0.5}{f_{\rm A}}=
 +
\int_{-\infty}^{+\infty}w(t)\hspace{0.05cm}{\rm
 +
d}t\hspace{0.05cm}.$$
  
'''2.'''  Wegen $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$ setzt sich das Hanning–Spektrum $W(f)$ aus drei Diracfunktionen bei positiven Frequenzen und drei dazu achsensymmetrischen Diracs bei negativen Frequenzen zusammen. Für die positiven Frequenzen lautet die Spektralfunktion:
 
 
$$W(f) =0.5\cdot {\rm \delta}(f) + 0.25\cdot {\rm \delta}(f-f_{\rm A})+ 0.25\cdot {\rm \delta}(f+f_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$
 
  
Das Ausgangsspektrum ergibt sich aus der Faltung zwischen $X(f)$ und $W(f)$. Bei positiven Frequenzen ergeben sich nun vier Diracs mit folgenden Gewichten:
 
 
$$\begin{align*} G(f = 0.875\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.25 = 0.250\, {\rm
 
V}, \\
 
G(f = f_1 = 1.000\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.5 + 0.5\, {\rm V}\cdot 0.25 \hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.625\, {\rm
 
V}}, \\
 
G(f = f_2 = 1.125\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.25 + 0.5\, {\rm V}\cdot 0.5  \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.500\, {\rm
 
V}}, \\
 
G(f = 1.250\,{\rm kHz}) & = 0.5\, {\rm V}\cdot 0.25 = 0.125\, {\rm
 
V}
 
\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$
 
  
Die folgende Grafik zeigt die Abschwächung der Ränder durch die Gewichtungsfunktion $w(t)$ des Hanning–Fensters.
+
'''(3)'''&nbsp; Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; folgt auch:
 +
:$$W(f = ±f_{\rm A}) = W(0)/2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.25} \cdot 1/{f_{\rm A}}.$$
 +
*Aufgrund des monotonen Verlaufs im Bereich&nbsp; $|f| < f_{\rm A}$&nbsp; ist die Betragsfunktion&nbsp; $|W(f)|$&nbsp; genau bei&nbsp; $± f_{\rm A}$&nbsp; zum ersten Mal auf die Hälfte des Maximums abgefallen.
 +
*Damit gilt&nbsp; $B_{\rm 6\hspace{0.05cm}dB}\hspace{-0.05cm}/\hspace{-0.05cm}f_{\rm A} \;\underline{=2}$.
 +
 
 +
 
  
[[Datei:P_ID1169__Sig_A_5_4b.png|Beispielsignal 2 zur Spektralanalyse]]
+
'''(4)'''&nbsp; Der größte Spektralbetrag außerhalb der Hauptkeule tritt bei&nbsp; $f = ±2.5 f_{\rm A}$&nbsp; auf.&nbsp; Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gilt:
 +
:$$W(f = 2.5 \cdot f_{\rm A}) = \frac{0.5}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(2.5 \pi )
 +
+\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(1.5 \pi )+\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(3.5 \pi )=  \frac{0.25}{\pi \cdot f_{\rm A}}\left[ \frac{2}{2.5}-\frac{1}{1.5}-\frac{1}{3.5}\right] \approx -\frac{0.0121}{ f_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Damit erhält man für den minimalen Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen:
 +
:$$A_{\rm H/S} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}
 +
\frac{|W(0)|}{|W(2.5 \cdot f_{\rm A})|} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}
 +
\frac{0.5}{0.0121}\hspace{0.15 cm}\underline{\approx 32.3\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
  
'''3.''' Das Rechteck–Fenster liefert dann ein sehr stark verfälschtes Ergebnis, wenn die Fensterbreite $T_{\rm P}$ (wie hier) nicht an die Frequenz des Cosinussignals angepasst ist. In diesem Fall ist das Hanning–Fenster besser geeignet. Daraus folgt: Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
 
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
 
__NOEDITSECTION__
 
__NOEDITSECTION__
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdisktrete Signaldarstellung^]]
+
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]

Aktuelle Version vom 19. Mai 2021, 16:31 Uhr

Charakterisierung des Hanning-Fensters

In dieser Aufgabe sollen wichtige Eigenschaften des häufig verwendeten Hanning–Fensters hergeleitet werden.

  • Die zeitkontinuierliche Darstellung im Intervall von  $-T_{\rm P}/2$  bis  $+T_{\rm P}/2$  lautet hier wie folgt:
$$w(t)= {\rm cos}^2(\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}})= 0.5\cdot \big(1 + {\rm cos}(2\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}}) \big ) \hspace{0.05cm}.$$
  • Außerhalb des symmetrischen Zeitbereichs der Dauer  $T_{\rm P}$  ist $w (t) \equiv 0$.


Die obere Grafik zeigt die zeitdiskrete Darstellung  $w(\nu) = w({\nu} \cdot T_{\rm A})$, wobei  $T_{\rm A}$  um den Faktor  $N = 32$  kleiner ist als  $T_{\rm P}$.  Der Definitionsbereich der diskreten Zeitvariablen  $ν$  reicht von  $-16$  bis  $+15$.

In der unteren Grafik ist die Fouriertransformierte  $W(f)$  der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion  $w(t)$  logarithmisch dargestellt.  Die Abszisse ist hierbei auf  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$  normiert ist.  Man erkennt:

  • Die äquidistanten Werte  $W({\mu} \cdot f_{\rm A})$  sind Null mit Ausnahme von  $μ = 0$  und  $μ = ±1$.
  • Die Hauptkeule erstreckt sich somit auf den Frequenzbereich  $|f| ≤ 2 · f_{\rm A}$.
  • $W(f)$  ist außerhalb der Hauptkeule betragsmäßig für  $f = ±2.5 · f_{\rm A}$  am größten.
  • Somit gilt hier für den minimalen Abstand zwischen Haupt– und Seitenkeulen:
$$A_{\rm H/S} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{|W(0)|}{|W(2.5 \cdot f_{\rm A})|} \hspace{0.15cm}{\rm (in}\hspace{0.1cm}{\rm dB)}\hspace{0.05cm}.$$





Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Spektralanalyse.
  • Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung  $f_{\rm A}$  gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters  $T_{\rm P}$  ist.



Fragebogen

1

Geben Sie die zeitdiskreten Koeffizienten  $w(ν)$  des Hanning–Fensters analytisch an.
Welche Zahlenwerte ergeben sich für   $ν = 0$,   $ν = 1$  und   $ν = -\hspace{0.05cm}8$?

$w(ν = 0) \hspace{0.37cm} = \ $

$w(ν = 1) \hspace{0.37cm} = \ $

$w(ν = -8) \hspace{0.03cm} = \ $

2

Berechnen Sie die Spektralfunktion  $W(f)$  allgemein.  Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend??

$W(f)$  liefert für spezielle Frequenzwerte komplexe Ergebnisse.
$W(f)$  ist bezüglich  $f$  gerade, das heißt, es gilt stets  $W(-f) = W(+f)$.
Der Spektralwert  $W(f = 0)$  ist gleich  $0.5/f_{\rm A}$  und somit reell.

3

Wie groß sind  $W(f = ±f_{\rm A})$  und die auf  $f_{\rm A}$  normierte $\text{6 dB}$–Bandbreite?

$W(±f_{\rm A}) \hspace{0.15cm} = \ $

$\ \cdot \ 1/f_{\rm A}$
$B_{\rm 6\hspace{0.05cm}dB}\hspace{-0.05cm}/\hspace{-0.05cm}f_{\rm A} \hspace{0.2cm} = \ $

4

Wie groß ist der minimale logarithmische Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeule.

$A_{\rm H/S} \ = \ $

$\ \rm dB$


Musterlösung

(1)  Nach trigonometrischer Umformung ergibt sich für die zeitkontinuierliche Fensterfunktion:

$$w(t) = {\rm cos}^2(\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}}) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}})\hspace{0.05cm}.$$
  • Nach Zeitdiskretisierung mit  $ν = t/T_{\rm A}$  und  $T_{\rm P}/T_{\rm A} = N = 32$  erhält man für das zeitdiskrete Fenster:
$$w(\nu) = w(\nu \cdot T_{\rm A}) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot {\nu}/{N})\hspace{0.8cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}w(\nu = 0) \hspace{0.15 cm}\underline{= 1},$$
$$w(\nu = 1) = 0.5+ 0.5\cdot {\rm cos}( \frac{\pi}{16})\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.99}, $$
$$w(\nu = -8)=0.5+ 0.5\cdot {\rm cos}( \frac{-\pi}{2}) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5}\hspace{0.05cm}.$$


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Die periodische Fortsetzung von  $w(t)$  entsprechend der Periodendauer  $T_{\rm P}$  liefert ein (periodisches) Signal mit einem Gleich– und einem Cosinusanteil.
  • Daraus folgt mit  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$:
$${\rm P}\{w(t)\} = 0.5+0.5\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}0.5\cdot {\rm \delta}(f) + 0.25\cdot {\rm \delta}(f \pm f_{\rm A}))\hspace{0.05cm}.$$
  • Das zeitbegrenzte Signal  $w(t)$  ergibt sich aus  ${\rm P}\{w(t)\}$  durch Multiplikation mit einem Rechteck der Amplitude  $1$  und der Dauer  $T_{\rm P}$.
  • Dessen Spektrum  $W(f)$  erhält man somit aus der Faltung der obigen Spektralfunktion mit der Funktion  $T_{\rm P} · {\rm si}(π \cdot f \cdot T_{\rm P}) = 1/f_{\rm A} · {\rm si}(π \cdot f/f_{\rm A})$:
$$w(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, W(f) = \frac{0.5}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}( \frac{\pi f}{f_{\rm A}})+ \frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f-f_{\rm A}}{f_{\rm A}})+ \frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$
  • Diese Spektralfunktion ist gerade und für alle Frequenzen  $f$  auch reell.  Der Spektralwert bei der Frequenz  $f = 0$  ergibt die Fensterfläche:
$$W(f=0) = \frac{0.5}{f_{\rm A}}= \int_{-\infty}^{+\infty}w(t)\hspace{0.05cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe  (2)  folgt auch:

$$W(f = ±f_{\rm A}) = W(0)/2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.25} \cdot 1/{f_{\rm A}}.$$
  • Aufgrund des monotonen Verlaufs im Bereich  $|f| < f_{\rm A}$  ist die Betragsfunktion  $|W(f)|$  genau bei  $± f_{\rm A}$  zum ersten Mal auf die Hälfte des Maximums abgefallen.
  • Damit gilt  $B_{\rm 6\hspace{0.05cm}dB}\hspace{-0.05cm}/\hspace{-0.05cm}f_{\rm A} \;\underline{=2}$.


(4)  Der größte Spektralbetrag außerhalb der Hauptkeule tritt bei  $f = ±2.5 f_{\rm A}$  auf.  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (2)  gilt:

$$W(f = 2.5 \cdot f_{\rm A}) = \frac{0.5}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(2.5 \pi ) +\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(1.5 \pi )+\frac{0.25}{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(3.5 \pi )= \frac{0.25}{\pi \cdot f_{\rm A}}\left[ \frac{2}{2.5}-\frac{1}{1.5}-\frac{1}{3.5}\right] \approx -\frac{0.0121}{ f_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Damit erhält man für den minimalen Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen:
$$A_{\rm H/S} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{|W(0)|}{|W(2.5 \cdot f_{\rm A})|} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{0.5}{0.0121}\hspace{0.15 cm}\underline{\approx 32.3\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$