Aufgaben:Aufgabe 5.4: Walsh–Funktionen (PKKF, PAKF): Unterschied zwischen den Versionen
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| − | [[Datei:P_ID1889__Mod_A_5_4.png|right|frame|Hadamard–Matrix | + | [[Datei:P_ID1889__Mod_A_5_4.png|right|frame|Hadamard–Matrix ${\mathbf{H}_{8}}$]] |
| − | Häufig verwendet man zur Bandspreizung und Bandstauchung so genannte | + | Häufig verwendet man zur Bandspreizung und Bandstauchung so genannte "Walsh–Funktionen", die mittels der Hadamard–Matrix konstruiert werden können. Ausgehend von der Matrix |
:$${\mathbf{H}_{2}} = \left[ \begin{array}{ccc} +1 & +1 \\ +1 & -1 \end{array} \right] $$ | :$${\mathbf{H}_{2}} = \left[ \begin{array}{ccc} +1 & +1 \\ +1 & -1 \end{array} \right] $$ | ||
| − | lassen sich durch folgende | + | lassen sich durch folgende Rekursion die weiteren Hadamard–Matrizen $ {\mathbf{H}_{4}}$, $ {\mathbf{H}_{8}}$, usw. herleiten: |
:$$ {\mathbf{H}_{2J}} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{H}_J & \mathbf{H}_J \\ \mathbf{H}_J & -\mathbf{H}_J \end{array} \right] \hspace{0.05cm}.$$ | :$$ {\mathbf{H}_{2J}} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{H}_J & \mathbf{H}_J \\ \mathbf{H}_J & -\mathbf{H}_J \end{array} \right] \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Die Grafik zeigt die Matrix $ {\mathbf{H}_{8}}$ für den Spreizfaktor $J = 8$. Daraus lassen sich die Spreizfolgen | + | Die Grafik zeigt die Matrix $ {\mathbf{H}_{8}}$ für den Spreizfaktor $J = 8$. Daraus lassen sich die Spreizfolgen |
:$$ \langle w_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ | :$$ \langle w_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$ \langle w_\nu^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ | :$$ \langle w_\nu^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$...$$ | :$$...$$ | ||
| − | :$$\langle w_\nu^{(7)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{ | + | :$$\langle w_\nu^{(7)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}$$ |
| − | für sieben CDMA–Teilnehmer ablesen. Die Spreizfolge $ \langle w_\nu^{(0)}\rangle$ entsprechend der ersten Zeile in der Hadamard–Matrix wird meistens nicht vergeben, da sie nicht spreizt. | + | für sieben CDMA–Teilnehmer ablesen. Die Spreizfolge $ \langle w_\nu^{(0)}\rangle$ entsprechend der ersten Zeile in der Hadamard–Matrix wird meistens nicht vergeben, da sie nicht spreizt. |
| − | Die Fragen beziehen sich meist auf den Spreizfaktor $J = 4$. Damit können entsprechend mit den Spreizfolgen $ \langle w_\nu^{(1)}\rangle$, $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$ maximal drei CDMA–Teilnehmer versorgt werden, die sich aus der zweiten, dritten und vierten Zeile der Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ergeben. | + | Die Fragen zu dieser Aufgabe beziehen sich meist auf den Spreizfaktor $J = 4$. Damit können entsprechend mit den Spreizfolgen $ \langle w_\nu^{(1)}\rangle$, $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$ maximal drei CDMA–Teilnehmer versorgt werden, die sich aus der zweiten, dritten und vierten Zeile der Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ergeben. |
Hinsichtlich der Korrelationsfunktionen soll in dieser Aufgabe folgende Nomenklatur gelten: | Hinsichtlich der Korrelationsfunktionen soll in dieser Aufgabe folgende Nomenklatur gelten: | ||
| − | * Die [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische Kreuzkorrelationsfunktion]] (PKKF) zwischen den Folgen $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$ | + | * Die [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische Kreuzkorrelationsfunktion]] $\rm (PKKF)$ zwischen den Folgen $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(j)}\rangle$ wird mit $φ_{ij}(λ)$ bezeichnet. Hierbei gilt: |
:$${\it \varphi}_{ij}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(j)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$ | :$${\it \varphi}_{ij}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(j)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | * Ist | + | * Ist $φ_{ij} \equiv 0$ $($das heißt: $φ_{ij}(λ) = 0$ für alle Werte von $λ)$, so stören sich die CDMA–Teilnehmer nicht, auch wenn diese unterschiedliche Laufzeiten aufweisen. |
| − | * Gilt zumindest $φ_{ij}({\it λ} = 0) = 0$, so kommt es zumindest bei synchronem CDMA–Betrieb (keine oder gleiche Laufzeiten aller Teilnehmer) zu keinen Interferenzen. | + | * Gilt zumindest $φ_{ij}({\it λ} = 0) = 0$, so kommt es zumindest bei synchronem CDMA–Betrieb $($keine oder gleiche Laufzeiten aller Teilnehmer$)$ zu keinen Interferenzen. |
| − | * Die [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische Autokorrelationsfunktion]] (PAKF) der Walsh–Funktion $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$ wird mit $φ_{ii}(λ)$ bezeichnet, und es gilt: | + | * Die [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische Autokorrelationsfunktion]] $\rm (PAKF)$ der Walsh–Funktion $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$ wird mit $φ_{ii}(λ)$ bezeichnet, und es gilt: |
:$${\it \varphi}_{ii}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(i)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$ | :$${\it \varphi}_{ii}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(i)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | + | ||
| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]]. | + | |
| − | *Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Walsh.E2.80.93Funktionen |Walsh–Funktionen]] im Theorieteil. | + | |
| − | * Wir möchten Sie gerne auch auf das | + | Hinweise: |
| − | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]]. | |
| − | *Die Abszisse ist auf die Chipdauer $T_c$ normiert. Das bedeutet, dass $λ = 1$ eigentlich eine Verschiebung um die Verzögerungszeit $τ = T_c$ beschreibt. | + | *Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Walsh.E2.80.93Funktionen |Walsh–Funktionen]] im Theorieteil. |
| + | * Wir möchten Sie gerne auch auf das interaktive Applet [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]] hinweisen. | ||
| + | *Die Abszisse ist auf die Chipdauer $T_c$ normiert. Das bedeutet, dass $λ = 1$ eigentlich eine Verschiebung um die Verzögerungszeit $τ = T_c$ beschreibt. | ||
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Wie lauten die Spreizfolgen für $J = 4$? | + | {Wie lauten die Spreizfolgen für $J = 4$? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
+ $ \langle w_\nu^{(1)}\rangle = +\hspace{-0.05cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 +\hspace{-0.15cm}1 -\hspace{-0.15cm}1$, | + $ \langle w_\nu^{(1)}\rangle = +\hspace{-0.05cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 +\hspace{-0.15cm}1 -\hspace{-0.15cm}1$, | ||
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+ $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle = +\hspace{-0.05cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 +\hspace{-0.15cm}1$. | + $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle = +\hspace{-0.05cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 +\hspace{-0.15cm}1$. | ||
| − | {Welche Aussagen gelten bezüglich der PKKF–Werte $φ_{ij}(λ = 0)$? | + | {Welche Aussagen gelten bezüglich der PKKF–Werte $φ_{ij}(λ = 0)$? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | + Für $J = 4$ ist $φ_{12}(λ = 0) = 0$. | + | + Für $J = 4$ ist $φ_{12}(λ = 0) = 0$. |
| − | + Für $J = 4$ ist $φ_{13}(λ = 0) = 0$. | + | + Für $J = 4$ ist $φ_{13}(λ = 0) = 0$. |
| − | + Für $J = 4$ ist $φ_{23}(λ = 0) = 0$. | + | + Für $J = 4$ ist $φ_{23}(λ = 0) = 0$. |
| − | - Für $J = 8$ kann durchaus $φ_{ij}(λ = 0) ≠ 0$ gelten $(i ≠ j)$. | + | - Für $J = 8$ kann durchaus $φ_{ij}(λ = 0) ≠ 0$ gelten $(i ≠ j)$. |
+ Bei synchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht. | + Bei synchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht. | ||
| − | {Welche Aussagen gelten für die PKKF–Werte mit $λ ≠ 0$? | + | {Welche Aussagen gelten für die PKKF–Werte mit $λ ≠ 0$? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | + Für alle Werte von $λ$ ist die PKKF $φ_{12}(λ) = 0$. | + | + Für alle Werte von $λ$ ist die PKKF $φ_{12}(λ) = 0$. |
| − | + Für alle Werte von $λ$ ist die PKKF $φ_{13}(λ) = 0$. | + | + Für alle Werte von $λ$ ist die PKKF $φ_{13}(λ) = 0$. |
| − | - Für alle Werte von $λ$ ist die PKKF $φ_{23}(λ) = 0$. | + | - Für alle Werte von $λ$ ist die PKKF $φ_{23}(λ) = 0$. |
- Bei asynchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht. | - Bei asynchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht. | ||
{Welche Aussagen gelten für die PAKF–Kurven? | {Welche Aussagen gelten für die PAKF–Kurven? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | + Alle $φ_{ii}(λ)$–Kurven sind periodisch. | + | + Alle $φ_{ii}(λ)$–Kurven sind periodisch. |
| − | + Es gilt $φ_{11}(λ = 0) = +\hspace{-0.05cm}1$ und $φ_{11}(λ = 1) = -\hspace{-0.05cm}1$. | + | + Es gilt $φ_{11}(λ = 0) = +\hspace{-0.05cm}1$ und $φ_{11}(λ = 1) = -\hspace{-0.05cm}1$. |
| − | - Es gilt $φ_{22}(λ) = φ_{11}(λ)$. | + | - Es gilt $φ_{22}(λ) = φ_{11}(λ)$. |
| − | + Es gilt $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$. | + | + Es gilt $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$. |
</quiz> | </quiz> | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''1 | + | '''(1)''' <u>Alle Vorschläge</u> sind richtig: |
| + | *Die Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ist die linke obere Teilmatrix von $ {\mathbf{H}_{8}}$. | ||
| + | *Die Spreizfolgen ergeben sich aus den Zeilen 2, 3 und 4 von $ {\mathbf{H}_{4}}$, und stimmen mit den angegebenen Folgen überein. | ||
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| − | ''' | + | '''(2)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 3</u>: |
| − | $$\ | + | *Entsprechend den Gleichungen im Angabenteil gilt: |
| − | $$\ | + | :$${\it \varphi}_{12}(\lambda = 0) = 1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \right ] = 0\hspace{0.05cm},$$ |
| − | + | :$${\it \varphi}_{13}(\lambda = 0) = 1/4\cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm},$$ | |
| − | $$\ | + | :$${\it \varphi}_{23}(\lambda = 0) =1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm}.$$ |
| − | + | *Auch für größere Werte von $J$ ist für $i ≠ j$ der PKKF–Wert stets $φ_{ij}(λ = 0)= 0$. | |
| − | + | *Daraus folgt: Bei synchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht. | |
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| − | [[Datei:P_ID1890__Mod_A_5_4c.png]] | + | '''(3)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: |
| + | *Für alle Werte von $λ$ ist die PKKF $φ_{12}(λ) = 0$, wie die folgenden Zeilen zeigen: | ||
| + | :$$\langle w_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ $$\langle w_\nu^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$$\langle w_{\nu+1}^{(2)}\rangle = {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$$\langle w_{\nu+2}^{(2)}\rangle = {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$$\langle w_{\nu+3}^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$$\langle w_{\nu+4}^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} = \langle w_\nu^{(2)}\rangle \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | [[Datei:P_ID1890__Mod_A_5_4c.png|right|frame|Verschiedene PKKF– und PAKF–Kurven]] | ||
| + | *Das gleiche gilt für die PKKF $φ_{13}(λ)$. | ||
| + | *Dagegen erhält man für die PKKF zwischen den Folgen $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$: | ||
| + | :$${\it \varphi}_{23}(\lambda ) = \left\{ \begin{array}{c}0 \\+1\\ -1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} \lambda = 0, \pm 2, \pm 4,\pm 6, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -3, +1, +5, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -5, -1, +3, ... \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$ | ||
| + | *Das bedeutet: Wird das Signal von Teilnehmer $3$ gegenüber Teilnehmer $2$ um ein Spreizchip verzögert oder umgekehrt, so lassen sich die Teilnehmer nicht mehr trennen und es kommt zu einer signifikanten Erhöhung der Fehlerwahrscheinlichkeit. | ||
| + | *In der Grafik sind die PKKF–Kurven gestrichelt eingezeichnet (violett und rot). | ||
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| − | Dagegen unterscheidet sich $φ_{22}(λ)$ von $φ_{11}(λ)$ durch eine andere Periodizität: $φ_{22}(λ) = φ_{33}(λ)$ ist doppelt so breit wie $φ_{11}(λ)$. | + | '''(4)''' Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>: |
| + | * Da die Walsh–Funktion Nr. $1$ periodisch ist mit $T_0 = 2T_c$, ist auch die PAKF periodisch mit $λ = 2$. | ||
| + | *Die zweite Aussage ist richtig, wie die folgende Rechnung zeigt (grüner Kurvenzug): | ||
| + | :$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 0) = 1/4 \cdot \big [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) \big ] = +1\hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 1) = 1/4 \cdot \big [ (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) \big ] = -1\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | *Da sich die beiden Walsh–Funktionen Nr. $2$ und $3$ nur durch eine Verschiebung um $T_c$ unterscheiden und sich eine Phase in der PAKF prinzipiell nicht auswirkt, ist tatsächlich entsprechend dem letzten Lösungsvorschlag $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$. Diese beiden PAKF–Funktionen sind blau eingezeichnet. | ||
| + | *Dagegen unterscheidet sich $φ_{22}(λ)$ von $φ_{11}(λ)$ durch eine andere Periodizität: $φ_{22}(λ) = φ_{33}(λ)$ ist doppelt so breit wie $φ_{11}(λ)$. | ||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
Aktuelle Version vom 13. Dezember 2021, 17:04 Uhr
Hadamard–Matrix ${\mathbf{H}_{8}}$
Häufig verwendet man zur Bandspreizung und Bandstauchung so genannte "Walsh–Funktionen", die mittels der Hadamard–Matrix konstruiert werden können. Ausgehend von der Matrix
- $${\mathbf{H}_{2}} = \left[ \begin{array}{ccc} +1 & +1 \\ +1 & -1 \end{array} \right] $$
lassen sich durch folgende Rekursion die weiteren Hadamard–Matrizen $ {\mathbf{H}_{4}}$, $ {\mathbf{H}_{8}}$, usw. herleiten:
- $$ {\mathbf{H}_{2J}} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{H}_J & \mathbf{H}_J \\ \mathbf{H}_J & -\mathbf{H}_J \end{array} \right] \hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt die Matrix $ {\mathbf{H}_{8}}$ für den Spreizfaktor $J = 8$. Daraus lassen sich die Spreizfolgen
- $$ \langle w_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
- $$ \langle w_\nu^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
- $$...$$
- $$\langle w_\nu^{(7)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}$$
für sieben CDMA–Teilnehmer ablesen. Die Spreizfolge $ \langle w_\nu^{(0)}\rangle$ entsprechend der ersten Zeile in der Hadamard–Matrix wird meistens nicht vergeben, da sie nicht spreizt.
Die Fragen zu dieser Aufgabe beziehen sich meist auf den Spreizfaktor $J = 4$. Damit können entsprechend mit den Spreizfolgen $ \langle w_\nu^{(1)}\rangle$, $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$ maximal drei CDMA–Teilnehmer versorgt werden, die sich aus der zweiten, dritten und vierten Zeile der Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ergeben.
Hinsichtlich der Korrelationsfunktionen soll in dieser Aufgabe folgende Nomenklatur gelten:
- Die periodische Kreuzkorrelationsfunktion $\rm (PKKF)$ zwischen den Folgen $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(j)}\rangle$ wird mit $φ_{ij}(λ)$ bezeichnet. Hierbei gilt:
- $${\it \varphi}_{ij}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(j)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
- Ist $φ_{ij} \equiv 0$ $($das heißt: $φ_{ij}(λ) = 0$ für alle Werte von $λ)$, so stören sich die CDMA–Teilnehmer nicht, auch wenn diese unterschiedliche Laufzeiten aufweisen.
- Gilt zumindest $φ_{ij}({\it λ} = 0) = 0$, so kommt es zumindest bei synchronem CDMA–Betrieb $($keine oder gleiche Laufzeiten aller Teilnehmer$)$ zu keinen Interferenzen.
- Die periodische Autokorrelationsfunktion $\rm (PAKF)$ der Walsh–Funktion $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$ wird mit $φ_{ii}(λ)$ bezeichnet, und es gilt:
- $${\it \varphi}_{ii}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(i)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Spreizfolgen für CDMA.
- Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt Walsh–Funktionen im Theorieteil.
- Wir möchten Sie gerne auch auf das interaktive Applet Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen hinweisen.
- Die Abszisse ist auf die Chipdauer $T_c$ normiert. Das bedeutet, dass $λ = 1$ eigentlich eine Verschiebung um die Verzögerungszeit $τ = T_c$ beschreibt.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Alle Vorschläge sind richtig:
- Die Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ist die linke obere Teilmatrix von $ {\mathbf{H}_{8}}$.
- Die Spreizfolgen ergeben sich aus den Zeilen 2, 3 und 4 von $ {\mathbf{H}_{4}}$, und stimmen mit den angegebenen Folgen überein.
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 3:
- Entsprechend den Gleichungen im Angabenteil gilt:
- $${\it \varphi}_{12}(\lambda = 0) = 1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \right ] = 0\hspace{0.05cm},$$
- $${\it \varphi}_{13}(\lambda = 0) = 1/4\cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm},$$
- $${\it \varphi}_{23}(\lambda = 0) =1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm}.$$
- Auch für größere Werte von $J$ ist für $i ≠ j$ der PKKF–Wert stets $φ_{ij}(λ = 0)= 0$.
- Daraus folgt: Bei synchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht.
(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- Für alle Werte von $λ$ ist die PKKF $φ_{12}(λ) = 0$, wie die folgenden Zeilen zeigen:
- $$\langle w_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ $$\langle w_\nu^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
- $$\langle w_{\nu+1}^{(2)}\rangle = {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
- $$\langle w_{\nu+2}^{(2)}\rangle = {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
- $$\langle w_{\nu+3}^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
- $$\langle w_{\nu+4}^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} = \langle w_\nu^{(2)}\rangle \hspace{0.05cm}.$$
Verschiedene PKKF– und PAKF–Kurven
- Das gleiche gilt für die PKKF $φ_{13}(λ)$.
- Dagegen erhält man für die PKKF zwischen den Folgen $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$:
- $${\it \varphi}_{23}(\lambda ) = \left\{ \begin{array}{c}0 \\+1\\ -1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} \lambda = 0, \pm 2, \pm 4,\pm 6, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -3, +1, +5, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -5, -1, +3, ... \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
- Das bedeutet: Wird das Signal von Teilnehmer $3$ gegenüber Teilnehmer $2$ um ein Spreizchip verzögert oder umgekehrt, so lassen sich die Teilnehmer nicht mehr trennen und es kommt zu einer signifikanten Erhöhung der Fehlerwahrscheinlichkeit.
- In der Grafik sind die PKKF–Kurven gestrichelt eingezeichnet (violett und rot).
(4) Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4:
- Da die Walsh–Funktion Nr. $1$ periodisch ist mit $T_0 = 2T_c$, ist auch die PAKF periodisch mit $λ = 2$.
- Die zweite Aussage ist richtig, wie die folgende Rechnung zeigt (grüner Kurvenzug):
- $${\it \varphi}_{11}(\lambda = 0) = 1/4 \cdot \big [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) \big ] = +1\hspace{0.05cm},$$
- $${\it \varphi}_{11}(\lambda = 1) = 1/4 \cdot \big [ (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) \big ] = -1\hspace{0.05cm}.$$
- Da sich die beiden Walsh–Funktionen Nr. $2$ und $3$ nur durch eine Verschiebung um $T_c$ unterscheiden und sich eine Phase in der PAKF prinzipiell nicht auswirkt, ist tatsächlich entsprechend dem letzten Lösungsvorschlag $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$. Diese beiden PAKF–Funktionen sind blau eingezeichnet.
- Dagegen unterscheidet sich $φ_{22}(λ)$ von $φ_{11}(λ)$ durch eine andere Periodizität: $φ_{22}(λ) = φ_{33}(λ)$ ist doppelt so breit wie $φ_{11}(λ)$.
