Aufgaben:Aufgabe 5.4: Vergleich von Rechteck- und Hanningfenster: Unterschied zwischen den Versionen

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:$$x(t)  =  A_1 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_1 \cdot t)  +  A_2 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_2 \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$x(t)  =  A_1 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_1 \cdot t)  +  A_2 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_2 \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
  
Unbekannt und damit zu schätzen sind dessen Parameter $A_1$, $f_1$, $A_2$ und $f_2$.
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Unbekannt und damit zu schätzen sind dessen Parameter  $A_1$,  $f_1$,  $A_2$  und  $f_2$.
  
Nach Gewichtung des Signals mit der Fensterfunktion $w(t)$ wird das Produkt $y(t) = x(t) \cdot w(t)$ einer [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]] (DFT) mit den Parametern $N = 512$ und $T_{\rm P}$ unterworfen. Die Zeitdauer $T_{\rm P}$ des zu analysierenden  Signalausschnitts kann vom Benutzer beliebig eingestellt werden.
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Nach Gewichtung des Signals mit der Fensterfunktion  $w(t)$  wird das Produkt  $y(t) = x(t) \cdot w(t)$  einer  [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]]  (DFT) mit den Parametern  $N = 512$  und  $T_{\rm P}$  unterworfen.  Die Zeitdauer  $T_{\rm P}$  des zu analysierenden  Signalausschnitts kann vom Benutzer beliebig eingestellt werden.
  
Für die Fensterung stehen zwei Funktionen zur Verfügung, die für $|t| > T_{\rm P}/2$ jeweils Null sind:
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Für die Fensterung stehen zwei Funktionen zur Verfügung, die für  $|t| > T_{\rm P}/2$  jeweils Null sind:
*Das '''Rechteckfenster''':
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*Das  '''Rechteckfenster''':
 
   
 
   
 
:$${w} (\nu)  = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\
 
:$${w} (\nu)  = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\
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{f}/{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm},$$
 
{f}/{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm},$$
  
*das '''Hanning–Fenster''':
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*das  '''Hanning–Fenster''':
 
   
 
   
 
:$${w} (\nu)  = \left\{ \begin{array}{c} 0.5 + 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot {\nu}/{N}) \\
 
:$${w} (\nu)  = \left\{ \begin{array}{c} 0.5 + 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot {\nu}/{N}) \\
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{\rm si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$
 
{\rm si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$
  
$W(f)$ ist hierbei die Fouriertransformierte der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion $w(t)$, während $w(ν)$ die zeitdiskrete Gewichtungsfunktion angibt.
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$W(f)$  ist hierbei die Fouriertransformierte der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion  $w(t)$, während  $w(ν)$  die zeitdiskrete Gewichtungsfunktion angibt.
  
In der Aufgabe wird auf verschiedene Spektralfunktionen $Y(f)$ Bezug genommen, zum Beispiel auf
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In der Aufgabe wird auf verschiedene Spektralfunktionen  $Y(f)$  Bezug genommen, zum Beispiel auf
 
   
 
   
 
:$$Y_{\rm A}(f) = 1\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm  1\,\,{\rm kHz})+
 
:$$Y_{\rm A}(f) = 1\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm  1\,\,{\rm kHz})+
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  \hspace{0.05cm}.$$
 
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In der obigen Grafik sind zwei weitere Spektralfunktionen $Y_{\rm B}(f)$ und $Y_{\rm C}(f)$ abgebildet, die sich ergeben, wenn ein $1 \ \text{kHz}$–Signal mittels DFT analysiert wird und der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$ ungünstig gewählt ist.
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In der obigen Grafik sind zwei weitere Spektralfunktionen  $Y_{\rm B}(f)$  und  $Y_{\rm C}(f)$  abgebildet, die sich ergeben, wenn ein  $1 \ \text{kHz}$–Signal  mittels DFT analysiert wird und der DFT–Parameter  $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$  ungünstig gewählt ist.
  
*Für eines der Bilder ist das Rechteckfenster zugrundegelegt, für das andere das Hanning–Fenster.  
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*Für eines der Bilder ist das Rechteckfenster zugrunde gelegt, für das andere das Hanning–Fenster.  
 
*Nicht angegeben wird, welche Grafik zu welchem Fenster gehört.
 
*Nicht angegeben wird, welche Grafik zu welchem Fenster gehört.
  
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''Hinweise:''  
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Signaldarstellung/Spektralanalyse|Spektralanalyse]].
*Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung $f_{\rm A}$ gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters $T_{\rm P}$ ist.  
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*Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung  $f_{\rm A}$  gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters  $T_{\rm P}$  ist.
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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*Unglücklichweise kollidieren die Indizes von  $f_{\rm A}$  und  $Y_{\rm A}(f)$.  Es ist offensichtlich, dass diese nicht in Zusammenhang stehen.  Nur zur Sicherheit weisen wir darauf hin.  
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<quiz display=simple>
 
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{Welche der folgenden Aussagen treffen mit Sicherheit zu, wenn die DFT das Ausgangsspektrum $Y_{\rm A}(f)$ anzeigt?
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{Welche der folgenden Aussagen treffen mit Sicherheit zu, wenn die DFT das Ausgangsspektrum&nbsp; $Y_{\rm A}(f)$&nbsp; anzeigt?
 
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+ Zur Gewichtung wurde das Rechteckfenster verwendet.
 
+ Zur Gewichtung wurde das Rechteckfenster verwendet.
 
- Zur Gewichtung wurde das Hanning–Fenster verwendet.
 
- Zur Gewichtung wurde das Hanning–Fenster verwendet.
- Es wurde der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 4\ \text{ms}$ verwendet.
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- Es wurde der DFT–Parameter&nbsp; $T_{\rm P} = 4\ \text{ms}$&nbsp; verwendet.
 
+ Das DFT–Spektrum $Y_{\rm A}(f)$ ist identisch mit dem tatsächlichen Spektrum $X(f)$.
 
+ Das DFT–Spektrum $Y_{\rm A}(f)$ ist identisch mit dem tatsächlichen Spektrum $X(f)$.
  
{Wie lautet $Y(f)$ bei Verwendung des Hanning–Fensters und  $T_{\rm P} = 8 \ \text{ms}$, wenn das Eingangsspektrum $X(f) = Y_{\rm A}(f)$ anliegt? <br>Geben Sie die Gewichte der Diraclinien bei $f_1= 1\ \text{kHz}$ und $f_2 = 1.125\ \text{kHz}$ an.
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{Wie lautet&nbsp; $Y(f)$&nbsp; bei Verwendung des Hanning–Fensters und&nbsp; $T_{\rm P} = 8 \ \text{ms}$, wenn das Eingangsspektrum&nbsp; $X(f) = Y_{\rm A}(f)$&nbsp; anliegt? <br>Geben Sie die Gewichte der Diraclinien bei&nbsp; $f_1= 1\ \text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $f_2 = 1.125\ \text{kHz}$&nbsp; an.
 
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$G(f_1 = 1.000 \ \text{kHz})\ = \ $ { 0.625 3% } &nbsp;$\text{V}$
 
$G(f_1 = 1.000 \ \text{kHz})\ = \ $ { 0.625 3% } &nbsp;$\text{V}$
 
$G(f_2 = 1.125 \ \text{kHz})\ = \ $ { 0.5 3% } &nbsp;$\text{V}$
 
$G(f_2 = 1.125 \ \text{kHz})\ = \ $ { 0.5 3% } &nbsp;$\text{V}$
  
{Wir betrachten das $1\ \text{kHz}$–Cosinussignal $x(t)$. Welches Spektrum - $Y_{\rm B}(f)$ oder $Y_{\rm C}(f)$ – ergibt sich mit dem Rechteck– bzw. dem Hanning–Fenster, wenn der DFT-Parameter  $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$ ungünstig gewählt ist?
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{Wir betrachten das&nbsp; $1\ \text{kHz}$–Cosinussignal&nbsp; $x(t)$.&nbsp; Welches Spektrum -&nbsp; $Y_{\rm B}(f)$&nbsp; oder&nbsp; $Y_{\rm C}(f)$&nbsp; – ergibt sich mit dem Rechteck– bzw. dem Hanning–Fenster, wenn der DFT-Parameter&nbsp; $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$&nbsp; ungünstig gewählt ist?
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- $Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich bei Rechteckfensterung.
 
- $Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich bei Rechteckfensterung.
 
+ $Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich mit dem Hanning-Fenster.
 
+ $Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich mit dem Hanning-Fenster.
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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'''1.''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
*Bei Verwendung des Hanning–Fensters müssten selbst dann drei Diracfunktionen zu erkennen sein, auch wenn $x(t)$ nur eine Frequenz beinhaltet &nbsp; ⇒ &nbsp; es wurde das Rechteckfenster verwendet.
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*Bei Verwendung des Hanning–Fensters müssten selbst dann drei Diracfunktionen zu erkennen sein, wenn&nbsp; $x(t)$&nbsp; nur eine Frequenz beinhaltet &nbsp; ⇒ &nbsp; es wurde das Rechteckfenster verwendet.
*Mit $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ ergibt sich für die Frequenzauflösung $f_{\rm A}= 1/T_{\rm P} = 0.25 \ \text{kHz}$ Damit liegt die Frequenz $f_2$ nicht im vorgegebenen Raster und $Y(f)$ würde sich aus sehr vielen Diraclinien zusammensetzen. Das heißt: die dritte Aussage ist falsch.
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*Mit&nbsp; $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$&nbsp; ergibt sich für die Frequenzauflösung&nbsp; $f_{\rm A}= 1/T_{\rm P} = 0.25 \ \text{kHz}$.&nbsp; Damit liegt die Frequenz&nbsp; $f_2$&nbsp; nicht im vorgegebenen Raster und&nbsp; $Y(f)$&nbsp; würde sich aus sehr vielen Diraclinien zusammensetzen.&nbsp; Das heißt: &nbsp; die dritte Aussage ist falsch.
*Wie aus der nachfolgenden Grafik hervorgeht, hat $x(t)$ die Periodendauer $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$. Wählt man den DFT–Parameter gleich $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ (oder ein ganzzahliges Vielfaches davon), so stimmt die periodische Fortsetzung ${\rm P}\{ x(t)\} $ im Intervall $|t| \leq T_{\rm P}/2$ mit $x(t)$ überein, so dass sich die Gewichtungsfunktion $w(t)$ nicht störend auswirkt: Das DFT–Spektrum $Y(f)$ stimmt somit mit dem tatsächlichen Spektrum überein.  
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[[Datei:P_ID1167__Sig_A_5_4a.png|right|frame|Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; nach Rechteck&ndash;Fensterung ]]
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*Wie aus der Grafik hervorgeht, hat&nbsp; $x(t)$&nbsp; die Periodendauer&nbsp; $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$. Wählt man den DFT–Parameter gleich&nbsp; $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$&nbsp; (oder ein ganzzahliges Vielfaches davon), so stimmt die periodische Fortsetzung&nbsp; ${\rm P}\{ x(t)\} $&nbsp; im Intervall&nbsp; $|t| \leq T_{\rm P}/2$&nbsp; mit&nbsp; $x(t)$&nbsp; überein, so dass sich die Gewichtungsfunktion&nbsp; $w(t)$&nbsp; nicht störend auswirkt: &nbsp;
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*Das DFT–Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; stimmt somit mit dem tatsächlichen Spektrum überein.  
  
[[Datei:P_ID1167__Sig_A_5_4a.png|Beispielsignal 1 zur Spektralanalyse]]
 
  
  
'''2.''' Wegen $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$ setzt sich das Hanning–Spektrum $W(f)$ aus drei Diracfunktionen bei positiven Frequenzen und drei dazu achsensymmetrischen Diracs bei negativen Frequenzen zusammen. Für die positiven Frequenzen lautet die Spektralfunktion:
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'''(2)'''&nbsp; Wegen $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$&nbsp; setzt sich das Hanning–Spektrum&nbsp; $W(f)$&nbsp;
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*aus drei Diracfunktionen bei positiven Frequenzen  
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*und drei dazu achsensymmetrischen Diracs bei negativen Frequenzen  
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zusammen.&nbsp; Für die positiven Frequenzen lautet die Spektralfunktion:
 
   
 
   
$$W(f) =0.5\cdot {\rm \delta}(f) + 0.25\cdot {\rm \delta}(f-f_{\rm A})+ 0.25\cdot {\rm \delta}(f+f_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$
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:$$W(f) =0.5\cdot {\rm \delta}(f) + 0.25\cdot {\rm \delta}(f-f_{\rm A})+ 0.25\cdot {\rm \delta}(f+f_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$
  
Das Ausgangsspektrum ergibt sich aus der Faltung zwischen $X(f)$ und $W(f)$. Bei positiven Frequenzen ergeben sich nun vier Diracs mit folgenden Gewichten:
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Das Ausgangsspektrum ergibt sich aus der Faltung zwischen&nbsp; $X(f)$&nbsp; und&nbsp; $W(f)$.&nbsp; Bei positiven Frequenzen ergeben sich nun vier Diracs mit folgenden Gewichten:
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[[Datei:P_ID1169__Sig_A_5_4b.png|right|frame|Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; nach Hanning&ndash;Fensterung]]
 
   
 
   
$$\begin{align*} G(f = 0.875\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.25 = 0.250\, {\rm
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:$$\begin{align*} G(f = 0.875\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.25 = 0.250\, {\rm
 
  V}, \\
 
  V}, \\
 
  G(f = f_1 = 1.000\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.5 + 0.5\, {\rm V}\cdot 0.25 \hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.625\, {\rm
 
  G(f = f_1 = 1.000\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.5 + 0.5\, {\rm V}\cdot 0.25 \hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.625\, {\rm
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  \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$
 
  \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$
  
Die folgende Grafik zeigt die Abschwächung der Ränder durch die Gewichtungsfunktion $w(t)$ des Hanning–Fensters.
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Die Grafik zeigt die Abschwächung der Ränder durch die Gewichtungsfunktion&nbsp; $w(t)$&nbsp; des Hanning–Fensters.
 
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[[Datei:P_ID1169__Sig_A_5_4b.png|Beispielsignal 2 zur Spektralanalyse]]
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'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
 
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*Das Rechteck–Fenster liefert dann ein sehr stark verfälschtes Ergebnis, wenn die Fensterbreite&nbsp; $T_{\rm P}$&nbsp; (wie hier) nicht an die Frequenz des Cosinussignals angepasst ist.  
'''3.''' Das Rechteck–Fenster liefert dann ein sehr stark verfälschtes Ergebnis, wenn die Fensterbreite $T_{\rm P}$ (wie hier) nicht an die Frequenz des Cosinussignals angepasst ist. In diesem Fall ist das Hanning–Fenster besser geeignet. Daraus folgt: Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
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*In diesem Fall ist das Hanning–Fenster besser geeignet.&nbsp; In diesem Fall ergibt sich das gemessene Spektrum&nbsp; $Y_{\rm B}(f)$.
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* Aus dem Spektrum&nbsp; $Y_{\rm C}(f)$&nbsp; ist die gesuchte $1\ \rm kHz$&ndash;Linie schlechter zu erkennen.&nbsp; Dieses Spektrum&nbsp; $Y_{\rm C}(f)$&nbsp; ergibt sich nach Rechteck&ndash;Fensterung.  
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
 
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]
 
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^5. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung^]]

Aktuelle Version vom 19. Mai 2021, 15:42 Uhr

Beispiele für die Spektralanalyse

Gegeben sei der prinzipielle Zeitverlauf eines periodischen Signals:

$$x(t) = A_1 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + A_2 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_2 \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

Unbekannt und damit zu schätzen sind dessen Parameter  $A_1$,  $f_1$,  $A_2$  und  $f_2$.

Nach Gewichtung des Signals mit der Fensterfunktion  $w(t)$  wird das Produkt  $y(t) = x(t) \cdot w(t)$  einer  Diskreten Fouriertransformation  (DFT) mit den Parametern  $N = 512$  und  $T_{\rm P}$  unterworfen.  Die Zeitdauer  $T_{\rm P}$  des zu analysierenden Signalausschnitts kann vom Benutzer beliebig eingestellt werden.

Für die Fensterung stehen zwei Funktionen zur Verfügung, die für  $|t| > T_{\rm P}/2$  jeweils Null sind:

  • Das  Rechteckfenster:
$${w} (\nu) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} -N/2 \le \nu < N/2 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$
$$W(f) ={1}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {f}/{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm},$$
  • das  Hanning–Fenster:
$${w} (\nu) = \left\{ \begin{array}{c} 0.5 + 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot {\nu}/{N}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} -N/2 \le \nu < N/2 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$
$$W(f) ={0.5}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f}{f_{\rm A}})+ {0.25}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f-f_{\rm A}}{f_{\rm A}})+ {0.5}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$

$W(f)$  ist hierbei die Fouriertransformierte der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion  $w(t)$, während  $w(ν)$  die zeitdiskrete Gewichtungsfunktion angibt.

In der Aufgabe wird auf verschiedene Spektralfunktionen  $Y(f)$  Bezug genommen, zum Beispiel auf

$$Y_{\rm A}(f) = 1\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm 1\,\,{\rm kHz})+ 0.5\,\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm 1.125\,\,{\rm kHz}) \hspace{0.05cm}.$$

In der obigen Grafik sind zwei weitere Spektralfunktionen  $Y_{\rm B}(f)$  und  $Y_{\rm C}(f)$  abgebildet, die sich ergeben, wenn ein  $1 \ \text{kHz}$–Signal  mittels DFT analysiert wird und der DFT–Parameter  $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$  ungünstig gewählt ist.

  • Für eines der Bilder ist das Rechteckfenster zugrunde gelegt, für das andere das Hanning–Fenster.
  • Nicht angegeben wird, welche Grafik zu welchem Fenster gehört.



Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Spektralanalyse.
  • Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung  $f_{\rm A}$  gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters  $T_{\rm P}$  ist.
  • Unglücklichweise kollidieren die Indizes von  $f_{\rm A}$  und  $Y_{\rm A}(f)$.  Es ist offensichtlich, dass diese nicht in Zusammenhang stehen.  Nur zur Sicherheit weisen wir darauf hin.


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen mit Sicherheit zu, wenn die DFT das Ausgangsspektrum  $Y_{\rm A}(f)$  anzeigt?

Zur Gewichtung wurde das Rechteckfenster verwendet.
Zur Gewichtung wurde das Hanning–Fenster verwendet.
Es wurde der DFT–Parameter  $T_{\rm P} = 4\ \text{ms}$  verwendet.
Das DFT–Spektrum $Y_{\rm A}(f)$ ist identisch mit dem tatsächlichen Spektrum $X(f)$.

2

Wie lautet  $Y(f)$  bei Verwendung des Hanning–Fensters und  $T_{\rm P} = 8 \ \text{ms}$, wenn das Eingangsspektrum  $X(f) = Y_{\rm A}(f)$  anliegt?
Geben Sie die Gewichte der Diraclinien bei  $f_1= 1\ \text{kHz}$  und  $f_2 = 1.125\ \text{kHz}$  an.

$G(f_1 = 1.000 \ \text{kHz})\ = \ $

 $\text{V}$
$G(f_2 = 1.125 \ \text{kHz})\ = \ $

 $\text{V}$

3

Wir betrachten das  $1\ \text{kHz}$–Cosinussignal  $x(t)$.  Welches Spektrum -  $Y_{\rm B}(f)$  oder  $Y_{\rm C}(f)$  – ergibt sich mit dem Rechteck– bzw. dem Hanning–Fenster, wenn der DFT-Parameter  $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$  ungünstig gewählt ist?

$Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich bei Rechteckfensterung.
$Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich mit dem Hanning-Fenster.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

  • Bei Verwendung des Hanning–Fensters müssten selbst dann drei Diracfunktionen zu erkennen sein, wenn  $x(t)$  nur eine Frequenz beinhaltet   ⇒   es wurde das Rechteckfenster verwendet.
  • Mit  $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$  ergibt sich für die Frequenzauflösung  $f_{\rm A}= 1/T_{\rm P} = 0.25 \ \text{kHz}$.  Damit liegt die Frequenz  $f_2$  nicht im vorgegebenen Raster und  $Y(f)$  würde sich aus sehr vielen Diraclinien zusammensetzen.  Das heißt:   die dritte Aussage ist falsch.
Signal  $y(t)$  nach Rechteck–Fensterung
  • Wie aus der Grafik hervorgeht, hat  $x(t)$  die Periodendauer  $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$. Wählt man den DFT–Parameter gleich  $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$  (oder ein ganzzahliges Vielfaches davon), so stimmt die periodische Fortsetzung  ${\rm P}\{ x(t)\} $  im Intervall  $|t| \leq T_{\rm P}/2$  mit  $x(t)$  überein, so dass sich die Gewichtungsfunktion  $w(t)$  nicht störend auswirkt:  
  • Das DFT–Spektrum  $Y(f)$  stimmt somit mit dem tatsächlichen Spektrum überein.


(2)  Wegen $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$  setzt sich das Hanning–Spektrum  $W(f)$ 

  • aus drei Diracfunktionen bei positiven Frequenzen
  • und drei dazu achsensymmetrischen Diracs bei negativen Frequenzen


zusammen.  Für die positiven Frequenzen lautet die Spektralfunktion:

$$W(f) =0.5\cdot {\rm \delta}(f) + 0.25\cdot {\rm \delta}(f-f_{\rm A})+ 0.25\cdot {\rm \delta}(f+f_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$

Das Ausgangsspektrum ergibt sich aus der Faltung zwischen  $X(f)$  und  $W(f)$.  Bei positiven Frequenzen ergeben sich nun vier Diracs mit folgenden Gewichten:

Signal  $y(t)$  nach Hanning–Fensterung
$$\begin{align*} G(f = 0.875\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.25 = 0.250\, {\rm V}, \\ G(f = f_1 = 1.000\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.5 + 0.5\, {\rm V}\cdot 0.25 \hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.625\, {\rm V}}, \\ G(f = f_2 = 1.125\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.25 + 0.5\, {\rm V}\cdot 0.5 \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.500\, {\rm V}}, \\ G(f = 1.250\,{\rm kHz}) & = 0.5\, {\rm V}\cdot 0.25 = 0.125\, {\rm V} \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Die Grafik zeigt die Abschwächung der Ränder durch die Gewichtungsfunktion  $w(t)$  des Hanning–Fensters.
(3)  Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:

  • Das Rechteck–Fenster liefert dann ein sehr stark verfälschtes Ergebnis, wenn die Fensterbreite  $T_{\rm P}$  (wie hier) nicht an die Frequenz des Cosinussignals angepasst ist.
  • In diesem Fall ist das Hanning–Fenster besser geeignet.  In diesem Fall ergibt sich das gemessene Spektrum  $Y_{\rm B}(f)$.
  • Aus dem Spektrum  $Y_{\rm C}(f)$  ist die gesuchte $1\ \rm kHz$–Linie schlechter zu erkennen.  Dieses Spektrum  $Y_{\rm C}(f)$  ergibt sich nach Rechteck–Fensterung.