Aufgabe 5.4: Sinusgenerator

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Die Grafik zeigt ein digitales Filter zweiter Ordnung, das zum Beispiel zur Erzeugung einer zeitdiskreten Sinusfunktion auf einem digitalen Signalprozessor (DSP) geeignet ist:

$$\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {\, \sin ( {\nu T \omega _0 } )\, }\right\rangle .$$

Vorausgesetzt wird, dass die Eingangsfolge 〈x_ν〉 eine (zeitdiskrete) Diracfunktion beschreibt. Damit sind gleichzeitig alle Ausgangswerte y_ν für Zeiten ν < 0 identisch 0.

Die insgesamt fünf Filterkoeffizienten ergeben sich aus der z-Transformation, die im Buch „Lineare zeitvariante Systeme” behandelt wird:

$$z \{ {\sin ( {\nu T \omega _0 } )} \} = \frac{{z \cdot \sin \left( {\omega _0 T} \right)}}{{z^2 - 2 \cdot z \cdot \cos \left( {\omega _0 T} \right) + 1}}.$$

Setzt man diese Gleichung durch ein rekursives Filter zweiter Ordnung (M = 2) um, so erhält man die folgenden Filterkoeffizienten:

$$a_0 = 0,\quad a_1 = \sin \left( {\omega _0 T} \right),\quad a_2 = 0,\\b_1 = 2 \cdot \cos \left( {\omega _0 T} \right),\quad b_2 = - 1.$$

Im Bild ist bereits markiert, dass auf die Filterkoeffizienten a₀ und a₂ verzichtet werden kann.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 5.2, wobei zur Vereinfachung der Gleichungen T anstelle der Laufzeit T₀ benutzt wird. Für die Teilaufgaben (1) bis (3) gelte:

$$a_1 = 0.5,\quad b_1 = \sqrt 3 .$$

Fragebogen

1

Es gelte a₁ = 0.5 und b₁ = 3^1/2. Berechnen Sie die Ausgangswerte y_ν zu den Zeitpunkten ν = 0, ν = 1 und ν = 2.

$y_0$ =

$y_1$ =

$y_2$ =

2

Wie lautet der Ausgangswert y_ν für ν ≥ 2 allgemein? Berechnen Sie die Werte y₃, ... , y₇ und geben Sie zur Kontrolle y₇ ein.

$y_7$ = -

3

Wie viele Stützstellen (T₀/T) stellen eine Periodendauer (T₀) dar?

$T_0/T$ =

4

Es gelte nun T = 1 μs. Wie müssen die Koeffizienten a₁ und b₁ gewählt werden, damit eine 10 kHz–Sinusschwingung erzeugt wird?

$a_1$ =

$b_1$ =

Musterlösung

Musterlösung

1.  Die „1” am Eingang wirkt sich am Ausgang erst zum Zeitpunkt ν = 1 aus (wegen a₀ = 0):

$$y_0 \hspace{0.15cm} \underline{= 0},\quad y_1 \hspace{0.15cm} \underline{ = 0.5}.$$

Bei ν = 2 wird auch der rekursive Teil des Filters wirksam:

$$y_2 = b_1 \cdot y_1 - y_0 = {\sqrt 3 }/{2} \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.866}.$$

2.   Für ν ≥ 2 ist das Filter rein rekursiv:

$$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} - y_{\nu - 2} .$$

Insbesondere erhält man

$$y_3 = \sqrt 3 \cdot y_2 - y_1 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - {1}/{2} = 1;$$

$$y_4 = \sqrt 3 \cdot y_3 - y_2 = \sqrt 3 \cdot 1 - {\sqrt 3 }/{2} = {\sqrt 3 }/{2};$$

$$y_5 = \sqrt 3 \cdot y_4 - y_3 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - 1 = {1}/{2};$$

$$y_6 = \sqrt 3 \cdot y_5 - y_4 = \sqrt 3 \cdot {1}/{2} - {\sqrt 3 }/{2} = 0;$$

$$y_7 = \sqrt 3 \cdot y_6 - y_5 = \sqrt 3 \cdot 0 - {1}/{2} \hspace{0.15cm} \underline{= - {1}/{2}}.$$

3.   Durch Fortsetzung des rekursiven Algorithmuses aus (b) erhält man für große ν-Werte:

$$y_\nu = y_{\nu - 12} .$$

Daraus folgt T₀/T = 12. Zum gleichen Ergebnis kommt man durch folgende Überlegungen:

$$a_1 = \sin \left( {\omega _0 \cdot T} \right) = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right)\mathop = \limits^! {1}/{2} = \sin \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right).$$

$${\rm \Rightarrow} \;\;{2T}/{T_0 } = {1}/{6}\quad \Rightarrow \;\;{T_0 }/{T} = 12.$$

Die Überprüfung des Koeffizienten b₁ bestätigt die Rechnung:

$$b_1 = 2 \cdot \cos \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) = 2 \cdot c{\sqrt 3 }/{2} = \sqrt 3 .$$

4.  Aus f₀ = 10 kHz folgt T₀ = 100 μs bzw. T₀/T = 100. Damit ergibt sich:

$$a_1 = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = \sin \left( {3.6^ \circ } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.062},$$

$$b_1 = 2 \cdot \cos \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = 2 \cdot \cos \left( {3.6^ \circ } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 1.996}.$$