Aufgabe 5.4: Ist das BSC-Modell erneuernd?
Zur Beschreibung von digitalen Kanalmodellen werden vorwiegend benutzt:
- die Fehlerabstandsverteilung (FAV)
- $$V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = 1 - \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa)\hspace{0.05cm},$$
- die Fehlerkorrelationsfunktion (FKF)
- $$\varphi_{e}(k) = {\rm E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}] \hspace{0.05cm}.$$
Für eine große Klasse von Kanalmodellen besteht ein einfacher Zusammenhang zwischen diesen Beschreibungsgrößen, nämlich
- $$\varphi_{e}(k) = \left\{ \begin{array}{c} \varphi_{e}(0) \\ \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa) \cdot \varphi_{e}(k - \kappa)\end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k > 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
Man nennt solche Kanalmodelle erneuernd. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass bei ihnen die einzelnen Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig sind, so dass zur Generierung der Fehlerfolge der oft schnellere Weg über die Generierung der Fehlerabstände gegangen werden kann, wie in der Aufgabe A5.5 beschrieben wird.
In dieser Aufgabe soll überprüft werden, ob das BSC–Modell gemäß der oberen Grafik erneuernd ist. Die Fehlerkorrelationsfunktion $\varphi_e(k)$ ist in der unteren Grafik dargestellt. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Fehlerabstände sind beim BSC–Modell wie folgt gegeben:
- $${\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Binary Symmetric Channel (BSC).
- Verwenden Sie für numerische Berechnungen den BSC–Parameter $p = 0.01$.
- Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ hat dann den gleichen Wert.
Fragebogen
Musterlösung
