Aufgaben:Aufgabe 5.3: PAKF von PN–Sequenzen: Unterschied zwischen den Versionen

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Mit einem rückgekoppelten Schieberegister vom Grad &nbsp;$G$&nbsp; lässt sich eine Spreizfolge &nbsp;$〈c_ν〉$&nbsp; mit der (maximalen) Periodenlänge &nbsp;$P = 2^G - 1$&nbsp; erzeugen,&nbsp; wenn die Rückführungskoeffizienten&nbsp; (Anzapfungen)&nbsp; richtig gewählt sind.
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In dieser Aufgabe wird der in der linken Grafik von &nbsp;[[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Pseudo.E2.80.93Noise.E2.80.93Folgen_maximaler_L.C3.A4nge|$\text{Beispiel 1}$]]&nbsp; im Theorieteil dargestelle PN–Generator mit der Oktalkennung &nbsp;$(31)$&nbsp; betrachtet,&nbsp; der wegen &nbsp;$G = 4$&nbsp; eine Folge mit der Periodenlänge &nbsp;$P = 15$&nbsp; liefert.
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In der Grafik zu dieser Aufgabe sind die unipolare Folge &nbsp;$〈u_ν〉$&nbsp; mit &nbsp;$u_ν ∈ \{0, 1\}$&nbsp; und daraus abgeleitete zyklische Verschiebungen &nbsp;$〈u_{ν+λ}〉$&nbsp; dargestellt,&nbsp; wobei der Verschiebungsparameter &nbsp;$λ$&nbsp; Werte zwischen &nbsp;$1$&nbsp; und &nbsp;$15$&nbsp; annimmt.&nbsp; Eine Verschiebung um &nbsp;$λ$&nbsp; bedeutet dabei absolut einen Versatz um &nbsp;$λ · T_c$.&nbsp; Hierbei bezeichnet &nbsp;$T_c$&nbsp; die Chipdauer.
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Für den Einsatz in einem CDMA–System verwendet man allerdings die bipolare (antipodische) Folge &nbsp;$〈c_ν〉$&nbsp; mit &nbsp;$c_ν ∈ \{+1, -1\}$,&nbsp; die ab der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; untersucht werden soll.&nbsp; Gesucht ist deren periodische Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (PAKF)$
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:$${\it \varphi}_{c}(\lambda) = {\rm E} \big [ c_\nu \cdot c_{\nu+\lambda} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
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Zur Herleitung soll zunächst die PAKF
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:$${\it \varphi}_{u}(\lambda) = {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ]$$
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mit den unipolaren Koeffizienten &nbsp;$u_ν ∈ \{0, 1\}$&nbsp; berechnet werden.&nbsp; Die Umrechnung der Koeffizienten ist durch &nbsp;$c_ν = 1 - 2u_ν$&nbsp; gegeben.
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Hinweis:
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]].
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{Multiple-Choice Frage
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{Wie groß ist der Grad des PN–Generators?
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$G \ = \ $ { 4 }
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{Wie groß ist der quadratische Erwartungswert der Koeffizienten &nbsp;$u_ν ∈ \{0,\ 1\}$?
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{Welche Aussagen gelten für den Erwartungswert &nbsp;${\rm E}\big[u_ν · u_{ν+λ}\big]$?
 
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- Falsch
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+ Es gilt &nbsp;${\rm E}\big[u_ν · u_{ν+1}\big] = 4/15$.
+ Richtig
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+  Es gilt &nbsp;${\rm E}\big[u_ν · u_{ν+2}\big] = 4/15$.
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- Es gilt &nbsp;${\rm E}\big[u_ν · u_{ν+15}\big] = 4/15$.
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+ Die PAKF–Werte &nbsp;$φ_u(λ = 1)$, ... , $φ_u(λ = 14)$&nbsp; sind alle gleich.
  
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{Berechnen Sie die PAKF–Werte bei bipolarer Darstellung &nbsp;$(λ = 1, \text{...} \ , 14)$:
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$φ_c(λ) \ = \ $ { -0.069--0.065 }
  
{Input-Box Frage
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{Geben Sie folgende PAKF–Werte für den Fall &nbsp;$G = 6$&nbsp; an.
 
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$\alpha$ = { 0.3 }
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+
$φ_c(λ=1)\hspace{0.33cm} = \ $ { -0.0165--0.0155 }
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$φ_c(λ=63)\ = \ $ { 1 3% }
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$φ_c(λ=64)\ = \ $ { -0.0165--0.0155 }
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.'''
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'''(1)'''&nbsp; Die Periodendauer einer M–Sequenz beträgt&nbsp; $P = 2^G -1 \hspace{0.05cm}.$&nbsp; Daraus ergibt sich mit&nbsp; $P = 15$&nbsp; der Grad&nbsp; $\underline{G = 4}$.
'''2.'''
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'''3.'''
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'''4.'''
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'''(2)'''&nbsp; Von den&nbsp; $P = 15$&nbsp; Spreizbit sind&nbsp; $8$&nbsp; Einsen und&nbsp; $7$&nbsp; Nullen.&nbsp; Damit gilt wegen&nbsp; $u_ν^{\hspace{0.04cm}2} = u_ν$:
'''5.'''
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:$${\rm E}\big [ u_\nu \big ] = {\rm E}\big [ u_\nu^2 \big ] = {8}/{15} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.533} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \text{allgemein:}\,\, (P+1)/(2P)\hspace{0.05cm}.$$
'''6.'''
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'''7.'''
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'''(3)'''&nbsp; In bipolarer Darstellung ist stets &nbsp;$c_ν^{\hspace{0.04cm}2} = 1$.&nbsp; Damit gilt auch für den quadratischen Erwartungswert:
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:$${\rm E}\big [ c_\nu^{\hspace{0.04cm}2} \big ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$
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'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
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*Die beigefügte Tabelle macht deutlich,&nbsp dass für die diskreten PAKF–Werte mit&nbsp; $λ = 1$, ... , $14$&nbsp; gilt:
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:$${\it \varphi}_{u}(\lambda) = {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ]= {4}/{15} \hspace{0.05cm}.$$
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*Multipliziert man nämlich〈$u_ν$〉 mit 〈$u_{ν+λ}$〉(wobei für den Index &nbsp;$λ$&nbsp; wieder die Werte&nbsp; $1$, ... , $14$&nbsp; einzusetzen sind),&nbsp; <br>so treten im Produkt jeweils vier Einsen auf.
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*Dagegen gilt für&nbsp; $λ = P = 15$:
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:$${\it \varphi}_{u}(\lambda = 15) = {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+P} \big ]= {8}/{15} \hspace{0.05cm}.$$
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'''(5)'''&nbsp; Die bipolaren Koeffizienten &nbsp;$c_ν$&nbsp; ergeben sich aus den unipolaren Koeffizienten &nbsp;$u_ν$&nbsp; gemäß der Gleichung
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:$$c_\nu = 1 - 2 \cdot u_\nu \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} u_\nu = 0\text{:} \ \ c_\nu = +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}u_\nu = 1\text{:} \ \ c_\nu = -1 \hspace{0.05cm}.$$
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*Damit folgt aus den Rechenregeln für Erwartungswerte:
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:$${\it \varphi}_{c}(\lambda)  =  {\rm E} \big [ c_\nu \cdot c_{\nu+\lambda} \big ]= {\rm E} \big [ (1 - 2 \cdot u_\nu ) \cdot (1 - 2 \cdot u_{\nu+\lambda} ) \big ] =  1 + 4 \cdot {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ] - 2 \cdot {\rm E}\big [ u_\nu \big ] - 2 \cdot {\rm E}\big [ u_{\nu+\lambda} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''
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:$$ {\rm E}\left [ u_{\nu} \right ]= {\rm E}\left [ u_{\nu+\lambda} \right ]={8}/{15} \hspace{0.05cm},$$
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:und der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''
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:$${\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ] ={4}/{15} \hspace{0.05cm} \,\,{\rm{f\ddot{u}r}}\,\,\lambda = 0, \pm P, \pm 2P, \text{...}$$
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:kommt man somit zum Ergebnis&nbsp; $($falls&nbsp; $λ$&nbsp; kein Vielfaches von&nbsp; $P)$:
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:$${\it \varphi}_{c}(\lambda) = 1 + 4 \cdot \frac{4}{15} - 2 \cdot \frac{8}{15}- 2 \cdot \frac{8}{15}  = - \frac{1}{15} = - \frac{1}{P}\hspace{0.15cm}\underline {\approx - 0.067} \hspace{0.05cm}.$$
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'''(6)'''&nbsp; Eine M–Sequenz mit Grad&nbsp; $G = 6$&nbsp; hat die Periodenlänge $P = 63$.
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*Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; erhält man somit:
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:$$ {\it \varphi}_{c}(\lambda = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm},$$
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:$$ {\it \varphi}_{c}(\lambda = 1)= - 1/63 \hspace{0.15cm}\underline {\approx - 0.016} \hspace{0.05cm},$$
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:$$ {\it \varphi}_{c}(\lambda = 63) = {\it \varphi}_{c}(\lambda = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm},$$
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:$$  {\it \varphi}_{c}(\lambda = 64) = {\it \varphi}_{c}(\lambda = 1)= - 1/63 \hspace{0.15cm}\underline {\approx - 0.016} \hspace{0.05cm}.$$
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[[Category:Aufgaben zu Modutaltionsverfahren|^5.3 Spreizfolgen für CDMA^]]
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[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.3 Spreizfolgen für CDMA^]]

Aktuelle Version vom 13. Dezember 2021, 14:20 Uhr

M–Sequenz $(P = 15)$  plus zyklische Vertauschungen

Mit einem rückgekoppelten Schieberegister vom Grad  $G$  lässt sich eine Spreizfolge  $〈c_ν〉$  mit der (maximalen) Periodenlänge  $P = 2^G - 1$  erzeugen,  wenn die Rückführungskoeffizienten  (Anzapfungen)  richtig gewählt sind.

In dieser Aufgabe wird der in der linken Grafik von  $\text{Beispiel 1}$  im Theorieteil dargestelle PN–Generator mit der Oktalkennung  $(31)$  betrachtet,  der wegen  $G = 4$  eine Folge mit der Periodenlänge  $P = 15$  liefert.

In der Grafik zu dieser Aufgabe sind die unipolare Folge  $〈u_ν〉$  mit  $u_ν ∈ \{0, 1\}$  und daraus abgeleitete zyklische Verschiebungen  $〈u_{ν+λ}〉$  dargestellt,  wobei der Verschiebungsparameter  $λ$  Werte zwischen  $1$  und  $15$  annimmt.  Eine Verschiebung um  $λ$  bedeutet dabei absolut einen Versatz um  $λ · T_c$.  Hierbei bezeichnet  $T_c$  die Chipdauer.

Für den Einsatz in einem CDMA–System verwendet man allerdings die bipolare (antipodische) Folge  $〈c_ν〉$  mit  $c_ν ∈ \{+1, -1\}$,  die ab der Teilaufgabe  (5)  untersucht werden soll.  Gesucht ist deren periodische Autokorrelationsfunktion  $\rm (PAKF)$

$${\it \varphi}_{c}(\lambda) = {\rm E} \big [ c_\nu \cdot c_{\nu+\lambda} \big ] \hspace{0.05cm}.$$

Zur Herleitung soll zunächst die PAKF

$${\it \varphi}_{u}(\lambda) = {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ]$$

mit den unipolaren Koeffizienten  $u_ν ∈ \{0, 1\}$  berechnet werden.  Die Umrechnung der Koeffizienten ist durch  $c_ν = 1 - 2u_ν$  gegeben.



Hinweis:


Fragebogen

1

Wie groß ist der Grad des PN–Generators?

$G \ = \ $

2

Wie groß ist der quadratische Erwartungswert der Koeffizienten  $u_ν ∈ \{0,\ 1\}$?

${\rm E}\big[u_ν^{\hspace{0.04cm}2}\big] \ = \ $

3

Wie groß ist der quadratische Erwartungswert der Koeffizienten  $c_ν ∈ \{+1, –1\}$?

${\rm E}\big[c_ν^{\hspace{0.04cm}2}\big] \ = \ $

4

Welche Aussagen gelten für den Erwartungswert  ${\rm E}\big[u_ν · u_{ν+λ}\big]$?

Es gilt  ${\rm E}\big[u_ν · u_{ν+1}\big] = 4/15$.
Es gilt  ${\rm E}\big[u_ν · u_{ν+2}\big] = 4/15$.
Es gilt  ${\rm E}\big[u_ν · u_{ν+15}\big] = 4/15$.
Die PAKF–Werte  $φ_u(λ = 1)$, ... , $φ_u(λ = 14)$  sind alle gleich.

5

Berechnen Sie die PAKF–Werte bei bipolarer Darstellung  $(λ = 1, \text{...} \ , 14)$:

$φ_c(λ) \ = \ $

6

Geben Sie folgende PAKF–Werte für den Fall  $G = 6$  an.

$φ_c(λ=0)\hspace{0.33cm} = \ $

$φ_c(λ=1)\hspace{0.33cm} = \ $

$φ_c(λ=63)\ = \ $

$φ_c(λ=64)\ = \ $


Musterlösung

(1)  Die Periodendauer einer M–Sequenz beträgt  $P = 2^G -1 \hspace{0.05cm}.$  Daraus ergibt sich mit  $P = 15$  der Grad  $\underline{G = 4}$.


(2)  Von den  $P = 15$  Spreizbit sind  $8$  Einsen und  $7$  Nullen.  Damit gilt wegen  $u_ν^{\hspace{0.04cm}2} = u_ν$:

$${\rm E}\big [ u_\nu \big ] = {\rm E}\big [ u_\nu^2 \big ] = {8}/{15} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.533} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \text{allgemein:}\,\, (P+1)/(2P)\hspace{0.05cm}.$$


(3)  In bipolarer Darstellung ist stets  $c_ν^{\hspace{0.04cm}2} = 1$.  Damit gilt auch für den quadratischen Erwartungswert:

$${\rm E}\big [ c_\nu^{\hspace{0.04cm}2} \big ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:

  • Die beigefügte Tabelle macht deutlich,&nbsp dass für die diskreten PAKF–Werte mit  $λ = 1$, ... , $14$  gilt:
$${\it \varphi}_{u}(\lambda) = {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ]= {4}/{15} \hspace{0.05cm}.$$
  • Multipliziert man nämlich〈$u_ν$〉 mit 〈$u_{ν+λ}$〉(wobei für den Index  $λ$  wieder die Werte  $1$, ... , $14$  einzusetzen sind), 
    so treten im Produkt jeweils vier Einsen auf.
  • Dagegen gilt für  $λ = P = 15$:
$${\it \varphi}_{u}(\lambda = 15) = {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+P} \big ]= {8}/{15} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Die bipolaren Koeffizienten  $c_ν$  ergeben sich aus den unipolaren Koeffizienten  $u_ν$  gemäß der Gleichung

$$c_\nu = 1 - 2 \cdot u_\nu \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} u_\nu = 0\text{:} \ \ c_\nu = +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}u_\nu = 1\text{:} \ \ c_\nu = -1 \hspace{0.05cm}.$$
  • Damit folgt aus den Rechenregeln für Erwartungswerte:
$${\it \varphi}_{c}(\lambda) = {\rm E} \big [ c_\nu \cdot c_{\nu+\lambda} \big ]= {\rm E} \big [ (1 - 2 \cdot u_\nu ) \cdot (1 - 2 \cdot u_{\nu+\lambda} ) \big ] = 1 + 4 \cdot {\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ] - 2 \cdot {\rm E}\big [ u_\nu \big ] - 2 \cdot {\rm E}\big [ u_{\nu+\lambda} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
  • Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (2)
$$ {\rm E}\left [ u_{\nu} \right ]= {\rm E}\left [ u_{\nu+\lambda} \right ]={8}/{15} \hspace{0.05cm},$$
und der Teilaufgabe  (4)
$${\rm E}\big [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \big ] ={4}/{15} \hspace{0.05cm} \,\,{\rm{f\ddot{u}r}}\,\,\lambda = 0, \pm P, \pm 2P, \text{...}$$
kommt man somit zum Ergebnis  $($falls  $λ$  kein Vielfaches von  $P)$:
$${\it \varphi}_{c}(\lambda) = 1 + 4 \cdot \frac{4}{15} - 2 \cdot \frac{8}{15}- 2 \cdot \frac{8}{15} = - \frac{1}{15} = - \frac{1}{P}\hspace{0.15cm}\underline {\approx - 0.067} \hspace{0.05cm}.$$


PAKF einer PN–Sequenz maximaler Länge

(6)  Eine M–Sequenz mit Grad  $G = 6$  hat die Periodenlänge $P = 63$.

  • Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe  (5)  erhält man somit:
$$ {\it \varphi}_{c}(\lambda = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm},$$
$$ {\it \varphi}_{c}(\lambda = 1)= - 1/63 \hspace{0.15cm}\underline {\approx - 0.016} \hspace{0.05cm},$$
$$ {\it \varphi}_{c}(\lambda = 63) = {\it \varphi}_{c}(\lambda = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm},$$
$$ {\it \varphi}_{c}(\lambda = 64) = {\it \varphi}_{c}(\lambda = 1)= - 1/63 \hspace{0.15cm}\underline {\approx - 0.016} \hspace{0.05cm}.$$