Aufgabe 5.3: Mittlerer Quadratischer Fehler
Wir betrachten drei impulsartige Signale, nämlich einen Gaußimpuls entsprechend
$$x_1(t) = A \cdot {\rm e}^{- \pi (t/T)^2} \hspace{0.05cm},$$
einen Rechteckimpuls $x_2(t)$ mit der Amplitude $A$ und der Dauer $T$,
$$x_2(t) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} |t| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |t| > T/2 \hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$
einen Spaltimpuls gemäß
$$x_3(t) = A \cdot {\rm si}(\pi \cdot t/ T) ,\hspace{0.15cm}{\rm si}(x) = \sin(x)/x\hspace{0.05cm}.$$
Die Signalparameter seien $A$ = 1 V und $T$ = 1 ms. Die konventionelle Fouriertransformation ⇒ siehe Kapitel 3.1 führt zu folgenden Spektralfunktionen:
- $X_1(f)$ ist ebenfalls gaußförmig,
- $X_2(f)$ verläuft entsprechend der si–Funktion,
- $X_3(f)$ ist für $|f|$ < 1/(2 $T$) konstant und außerhalb 0.
Für alle Spektralfunktionen gilt $X(f = 0) = A \cdot T$.
Ermittelt man das frequenzdiskrete Spektrum durch die Diskrete Fouriertransformation (DFT) mit den DFT-Parametern $N$ = 512 und $f_A \cdot T$ = 1/4, 1/8 bzw. 1/16, so wird dies aufgrund von Abbruch– und/oder Aliasingfehler zu Verfälschungen führen. Hierbei gibt $N$ die Anzahl der berücksichtigten Abtastwerte im Zeit– und Frequenzbereich an und $f_A$ den Stützstellenabstand im Frequenzbereich. Die weiteren DFT–Parameter liegen mit $N$ und $f_A$ eindeutig fest. Für diese gilt:
$$f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A},\hspace{0.3cm}T_{\rm P} = 1/f_{\rm A},\hspace{0.3cm}T_{\rm A} = T_{\rm P}/N \hspace{0.05cm}.$$
Die Genauigkeit der jeweiligen DFT–Approximation wird durch den mittleren quadratischen Fehler (MQF) erfasst:
$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1} \left|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right|^2 \hspace{0.05cm}.$$
Die sich ergebenden MQF–Werte sind in obiger Grafik für $N$ = 512 sowie für $f_A \cdot T$ = 1/4, $f_A \cdot T$ = 1/8 bzw. $f_A \cdot T$ = 1/16 angegeben. Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.3. Diese sind auch in dem folgenden Lernvideo zusammengefasst: Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT (Dauer 7:26)
Fragebogen
Musterlösung
$$f_{\rm max }\cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 32}\hspace{0.05cm}.$$
2. Die Periodifizierung der Zeitfunktion basiert auf dem Parameter $T_P = 1/f_A = 8T$. Der Abstand zweier Abtastwerte beträgt somit
$$T_{\rm A}/T = \frac{T_{\rm P}/T}{N} = \frac{8}{512}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.015625}\hspace{0.05cm}.$$
3. Mit dieser Maßnahme wird gleichzeitig $T_P$ von $8T$ auf $4T$ halbiert. Berücksichtigt werden somit nur noch Abtastwerte im Bereich $–2T \leq t < 2T$, was zu einer (geringfügigen) Erhöhung des Abbruchfehlers führt. Der mittlere quadratische Fehler (MQF) steigt dadurch beim Gaußimpuls $x_1(t)$ von $0.15 \cdot 10^{–15}$ auf $8 \cdot 10^{–15}$, obwohl der Aliasingfehler durch diese Maßnahme etwas kleiner wird.
4. Durch die Halbierung von $f_A$ wird auch $f_P$ halbiert. Dadurch erhöht sich der Aliasingfehler bei gleichzeitig kleinerem Abbruchfehler. Insgesamt steigt beim Gaußimpuls $x_1(t)$ der mittlere quadratische Fehler von $1.5 \cdot 10^{–16}$ auf $3.3 \cdot 10^{–16}$.
5. Wie aus der Grafik zu ersehen ist, trifft die letzte Aussage nicht zu im Gegensatz zu den ersten beiden. Aufgrund des langsamen, si–förmigen Abfalls der Spektralfunktion dominiert der Aliasingfehler. Der MQF–Wert ist bei $f_A \cdot T = 1/8$ mit $1.4 \cdot 10^{–5}$ deshalb deutlich größer als beim Gaußimpuls ( $1.5 \cdot 10^{–16}$ ).
6. Die Spektralfunktion $X_3(f)$ hat hier einen rechteckförmigen Vorlauf, so dass die beiden ersten Aussagen nicht zutreffen. Dagegen ist bei dieser si–förmigen Zeitfunktion ein Abbruchfehler unvermeidbar. Dieser führt zu den angegebenen großen MQF–Werten ⇒ Lösungsvorschlag 3.
