Aufgaben:Aufgabe 5.3: Digitales Filter 1. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten die nebenstehende Filteranordnung mit den Koeffizienten $a_0$, $a_1$ und $b_1$, die jeweils Werte zwischen $0$ und $1$ annehmen können.
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Wir betrachten die nebenstehende Filteranordnung mit den Koeffizienten  $a_0$,  $a_1$  und  $b_1$,  die jeweils Werte zwischen  $0$  und  $1$  annehmen können.
  
Das Eingangssignal $x(t)$ sei  ein einziger Diracimpuls mit dem Einheitsgewicht „1”   ⇒   $x(t) = \delta(t)$, was der folgenden zeitdiskreten Darstellung entspricht:
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*Das Eingangssignal  $x(t)$  sei  ein einziger Diracimpuls mit dem Einheitsgewicht „1”   ⇒    $x(t) = \delta(t)$,  was der folgenden zeitdiskreten Darstellung entspricht:
:$$\left\langle {x_\nu  } \right\rangle  = \left\langle {1,\;0,\;0,\;0,\;...} \right\rangle .$$
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:$$\left\langle {\hspace{0.05cm}x_\nu  } \hspace{0.05cm}\right\rangle  = \left\langle \hspace{0.05cm}1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} \hspace{0.05cm}\right\rangle .$$
  
Aufgrund dieser speziellen Eingangsfolge beschreibt die Folge $\left\langle {y_\nu  } \right\rangle$ am Filterausgang gleichzeitig die zeitdiskrete Impulsantwort des Filters. Der Abstand der Abtastwerte beträgt hierbei $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm \mu s$.
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*Aufgrund dieser speziellen Eingangsfolge beschreibt die Folge  $\left\langle {\hspace{0.05cm}y_\nu  \hspace{0.05cm}} \right\rangle$  am Filterausgang gleichzeitig die zeitdiskrete Impulsantwort  $\left\langle {\hspace{0.05cm}h_\nu  \hspace{0.05cm}} \right\rangle$  des Filters.  Der Abstand der Abtastwerte beträgt hierbei  $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm µ s$.
  
  
''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitale Filter]].
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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Hinweis:  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitale Filter]].
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*Das Applet  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|"Digitale Filter"]]  verdeutlicht den Themenkomplex dieses Kapitels.
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{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
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{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
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- Der Sonderfall $b_1 = 1$ führt zu einem nichtrekursiven Filter.
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- Der Sonderfall &nbsp;$b_1 = 1$&nbsp; führt zu einem nichtrekursiven Filter.
+ Mit $a_0 = 1$, $a_1 = 0$ und $b_1 = 0$ gilt $y(t) = x(t)$.
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+ Mit &nbsp;$a_0 = 1$,&nbsp; $a_1 = 0$ &nbsp;und&nbsp; $b_1 = 0$&nbsp; &nbsp;gilt&nbsp; $y(t) = x(t)$.
+ Mit $a_0 = 0$, $a_1 = 0.5$ und $b_1 = 0$ ist $y(t)$ gegenüber $x(t)$ unverzerrt.
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+ Mit &nbsp;$a_0 = 0$,&nbsp; $a_1 = 0.5$ &nbsp;und&nbsp; $b_1 = 0$&nbsp; ist &nbsp;$y(t)$&nbsp; gegenüber &nbsp;$x(t)$&nbsp; unverzerrt.
  
  
{Es gelte nun $a_0 = 1$, $a_1 = 0$ und $b_1 = 0.6$. Berechnen Sie die Ausgangsfolge $\left\langle {y_\nu  } \right\rangle$. Welcher Ausgangswert $y_3$ tritt zum Zeitpunkt $t = 3 \cdot T_{\rm A}$ auf?
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{Es gelte nun&nbsp; $a_0 = 1$,&nbsp; $a_1 = 0$&nbsp; und&nbsp; $b_1 = 0.6$.&nbsp; Berechnen Sie die Ausgangsfolge&nbsp; $\left\langle {y_\nu  } \right\rangle$.&nbsp; Welcher Ausgangswert&nbsp; $y_3$&nbsp; tritt zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 3 \cdot T_{\rm A}$&nbsp; auf?
 
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$y_3 \ = \ $  { 0.216 3% }
  
  
{Es gelte weiter $a_0 = 1$, $a_1 = 0$ und $b_1 = 0.6$. Auf welchen Bereich $0$, ... , $M \cdot T_{\rm A}$ ist die Impulsantwort beschränkt, wenn man Werte kleiner als 0.001 vernachlässigt?  
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{Es gelte&nbsp; $a_0 = 1$,&nbsp; $a_1 = 0$&nbsp; und&nbsp; $b_1 = 0.6$.&nbsp; Auf welchen Bereich&nbsp; $0$, ... , $M \cdot T_{\rm A}$&nbsp; ist die Impulsantwort beschränkt,&nbsp; wenn man Werte kleiner als&nbsp; $0.001$&nbsp; vernachlässigt?  
 
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$M \ = \ ${ 13 3% }
  
  
{Weiter gelte $a_0 = 1$ und $b_1 = 0.6$. Berechnen Sie unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus (2) den Ausgangswert $y_3$ für $a_1 = -0.5$.
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{Es gelte&nbsp; $a_0 = 1$&nbsp; und&nbsp; $b_1 = 0.6$.&nbsp; Berechnen Sie unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; den Ausgangswert&nbsp; $y_3$&nbsp; für&nbsp; $a_1 = -0.5$.
 
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$a_1 = -0.5\text{:}\ \ y_3 \ = $ { 0.036 3% }
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===Musterlösung===
 
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Das Filter ist nichtrekursiv, wenn die Rückführung entfällt: <i>b</i><sub>1</sub> = 0. Sind zusätzlich <i>a</i><sub>0</sub> = 1 und <i>a</i><sub>1</sub> = 0, so sind die Folgen &#9001;<i>x<sub>&nu;</sub></i>&#9002; und &#9001;<i>y<sub>&nu;</sub></i>&#9002; und damit natürlich auch die Signale <i>x</i>(<i>t</i>) und <i>y</i>(<i>t</i>) gleich. Mit <i>a</i><sub>0</sub> = 0 und <i>a</i><sub>1</sub> = 1 ist <i>y</i>(<i>t</i>) = <i>x</i>(<i>t</i> &ndash; <i>T</i><sub>A</sub>) um <i>T</i><sub>A</sub> verzögert, mit <i>a</i><sub>1</sub> = 0.5 zusätzlich gedämpft. Verzögerung und Dämpfung haben jedoch keine Verzerrung zur Folge. Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
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*Das Filter ist nichtrekursiv,&nbsp; wenn die Rückführung entfällt: &nbsp; $b_1 = 0$.
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*Sind zusätzlich&nbsp; $a_0 = 1$&nbsp; und&nbsp; $a_1 = 0$,&nbsp; so sind die Folgen&nbsp; $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$&nbsp; und&nbsp; $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$&nbsp; und damit natürlich auch die Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; gleich.  
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*Mit&nbsp; $a_0 = 0$&nbsp; und&nbsp; $a_1 = 1$&nbsp; ist&nbsp;  $y(t) = x(t-T_{\rm A})$&nbsp; um&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; verzögert,&nbsp; mit&nbsp; $a_1 = 0.5$&nbsp; zusätzlich gedämpft.  
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*Verzögerung und Dämpfung haben jedoch keine Verzerrung zur Folge.  
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:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Zum Zeitpunkt <i>&nu;</i> = 0 ist <i>y<sub>&nu;</sub></i> = <i>x<sub>&nu;</sub></i> = 1. Für alle weiteren Zeitpunkte <i>&nu;</i> gilt <i>x<sub>&nu;</sub></i> = 0 und somit auch:
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'''(2)'''&nbsp; Zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu = 0$&nbsp; ist&nbsp; $y_{\nu} = x_{\nu} = 1$.&nbsp;
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*Für alle weiteren Zeitpunkte&nbsp; $\nu$&nbsp; gilt&nbsp; $x_{\nu} = 0$&nbsp; und somit auch:
 
:$$y_\nu  = b_1  \cdot y_{\nu  - 1}  = {b_1 }^\nu  .$$
 
:$$y_\nu  = b_1  \cdot y_{\nu  - 1}  = {b_1 }^\nu  .$$
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*Insbesondere ist&nbsp; $y_3 = b_1^3 = 0.6^3\hspace{0.15cm}\underline{= 0.216}$.
  
:Insbesondere ist <i>y</i><sub>3</sub> = <i>b</i><sub>1</sub><sup>3</sup> = 0.6<sup>3</sup><u>= 0.216</u>.
 
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Entsprechend der Aufgabenstellung muss gelten:
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'''(3)'''&nbsp; Entsprechend der Aufgabenstellung muss gelten: &nbsp; 
 
:$$y_{M + 1}  = {b_1} ^{M + 1}  < 0.001.$$
 
:$$y_{M + 1}  = {b_1} ^{M + 1}  < 0.001.$$
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*Dies führt zum Ergebnis:
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:$$M + 1 \ge \frac{{\lg \ \left( {0.001} \right)}}{{\lg \ \left( {0.6} \right)}} = \frac{ - 3}{ - 0.222} \approx 13.51\quad  \Rightarrow \quad  \hspace{0.15cm} \underline{M = 13}.$$
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*Die Überprüfung der Werte&nbsp; $y_{13} \approx 0.0013$&nbsp; und&nbsp; $y_{14} \approx 0.0008$&nbsp; bestätigt dieses Ergebnis.
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:Dies führt zum Ergebnis:
 
:$$M + 1 \ge \frac{{\lg \left( {0.001} \right)}}{{\lg \left( {0.6} \right)}} = \frac{ - 3}{ - 0.222} \approx 13.51.\quad  \Rightarrow \quad  \hspace{0.15cm} \underline{M = 13}.$$
 
  
:Die Überprüfung der Werte <i>y</i><sub>13</sub> &asymp;  0.0013 und <i>y</i><sub>14</sub> &asymp;  0.0008 bestätigt dieses Ergebnis.
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'''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Linearität des vorliegenden Filters erhält man das gleiche Ergebnis, 
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*wenn man das Filter gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; nicht verändert&nbsp; $(a_1 = 0)$
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*und dafür die Eingangsfolge &nbsp; $\left\langle {x_\nu  } \right\rangle  = \left\langle {1,\; - 0.5,\;0,\;0,\;\text{...} } \right\rangle$&nbsp; berücksichtigt.  
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Aufgrund der Linearität des vorliegenden Filters erhält man das gleiche Ergebnis, wenn man das Filter gegenüber Punkt b) nicht verändert (<i>a</i><sub>1</sub> = 0) und dafür die Eingangsfolge
 
:$$\left\langle {x_\nu  } \right\rangle  = \left\langle {1,\; - 0.5,\;0,\;0,\;...} \right\rangle$$
 
  
:berücksichtigt. Man erhält dann allgemein für <i>&nu;</i> &gt; 0:
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Man erhält dann allgemein für&nbsp; $\nu \gt 0$:
 
:$$y_\nu  = {b_1} ^\nu  + a_1  \cdot {b_1} ^{\nu  - 1}  = \left( {b_1  + a_1 } \right) \cdot {b_1} ^{\nu  - 1} .$$
 
:$$y_\nu  = {b_1} ^\nu  + a_1  \cdot {b_1} ^{\nu  - 1}  = \left( {b_1  + a_1 } \right) \cdot {b_1} ^{\nu  - 1} .$$
  
:Mit <i>b</i><sub>1</sub> = 0.6 und <i>a</i><sub>1</sub> = &ndash;0.5 ergibt sich daraus
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*Mit &nbsp;$b_1 = 0.6$&nbsp; und &nbsp;$a_1 = -0.5$&nbsp; ergibt sich daraus &nbsp;$y_\nu  = 0.1\cdot {0.6} ^{\nu  - 1}$,&nbsp; und somit die Folge &nbsp;  $\left\langle {y_\nu  } \right\rangle  = \left\langle {1,\;0.1,\;0.06,\;0.036,\;\text{...} } \right\rangle .$
:$$y_\nu  = 0.1\cdot {0.6} ^{\nu  - 1} ,$$
 
:und somit die Folge:
 
:$$\left\langle {y_\nu  } \right\rangle  = \left\langle {1,\;0.1,\;0.06,\;0.036,\;...} \right\rangle .$$
 
  
:Der gesuchte Wert ist <i>y</i><sub>4</sub> = <u>0.036</u>.
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*Der gesuchte Wert ist demnach&nbsp; $y_3\hspace{0.15cm}\underline{= 0.036}$.
 
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Aktuelle Version vom 10. Februar 2022, 17:59 Uhr

Digitales Filter erster Ordnung

Wir betrachten die nebenstehende Filteranordnung mit den Koeffizienten  $a_0$,  $a_1$  und  $b_1$,  die jeweils Werte zwischen  $0$  und  $1$  annehmen können.

  • Das Eingangssignal  $x(t)$  sei ein einziger Diracimpuls mit dem Einheitsgewicht „1”   ⇒   $x(t) = \delta(t)$,  was der folgenden zeitdiskreten Darstellung entspricht:
$$\left\langle {\hspace{0.05cm}x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} \hspace{0.05cm}\right\rangle .$$
  • Aufgrund dieser speziellen Eingangsfolge beschreibt die Folge  $\left\langle {\hspace{0.05cm}y_\nu \hspace{0.05cm}} \right\rangle$  am Filterausgang gleichzeitig die zeitdiskrete Impulsantwort  $\left\langle {\hspace{0.05cm}h_\nu \hspace{0.05cm}} \right\rangle$  des Filters.  Der Abstand der Abtastwerte beträgt hierbei  $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm µ s$.



Hinweis:


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Der Sonderfall  $b_1 = 1$  führt zu einem nichtrekursiven Filter.
Mit  $a_0 = 1$,  $a_1 = 0$  und  $b_1 = 0$   gilt  $y(t) = x(t)$.
Mit  $a_0 = 0$,  $a_1 = 0.5$  und  $b_1 = 0$  ist  $y(t)$  gegenüber  $x(t)$  unverzerrt.

2

Es gelte nun  $a_0 = 1$,  $a_1 = 0$  und  $b_1 = 0.6$.  Berechnen Sie die Ausgangsfolge  $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$.  Welcher Ausgangswert  $y_3$  tritt zum Zeitpunkt  $t = 3 \cdot T_{\rm A}$  auf?

$y_3 \ = \ $

3

Es gelte  $a_0 = 1$,  $a_1 = 0$  und  $b_1 = 0.6$.  Auf welchen Bereich  $0$, ... , $M \cdot T_{\rm A}$  ist die Impulsantwort beschränkt,  wenn man Werte kleiner als  $0.001$  vernachlässigt?

$M \ = \ $

4

Es gelte  $a_0 = 1$  und  $b_1 = 0.6$.  Berechnen Sie unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus  (2)  den Ausgangswert  $y_3$  für  $a_1 = -0.5$.

$y_3 \ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Das Filter ist nichtrekursiv,  wenn die Rückführung entfällt:   $b_1 = 0$.
  • Sind zusätzlich  $a_0 = 1$  und  $a_1 = 0$,  so sind die Folgen  $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$  und  $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$  und damit natürlich auch die Signale  $x(t)$  und  $y(t)$  gleich.
  • Mit  $a_0 = 0$  und  $a_1 = 1$  ist  $y(t) = x(t-T_{\rm A})$  um  $T_{\rm A}$  verzögert,  mit  $a_1 = 0.5$  zusätzlich gedämpft.
  • Verzögerung und Dämpfung haben jedoch keine Verzerrung zur Folge.


(2)  Zum Zeitpunkt  $\nu = 0$  ist  $y_{\nu} = x_{\nu} = 1$. 

  • Für alle weiteren Zeitpunkte  $\nu$  gilt  $x_{\nu} = 0$  und somit auch:
$$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} = {b_1 }^\nu .$$
  • Insbesondere ist  $y_3 = b_1^3 = 0.6^3\hspace{0.15cm}\underline{= 0.216}$.


(3)  Entsprechend der Aufgabenstellung muss gelten:  

$$y_{M + 1} = {b_1} ^{M + 1} < 0.001.$$
  • Dies führt zum Ergebnis:
$$M + 1 \ge \frac{{\lg \ \left( {0.001} \right)}}{{\lg \ \left( {0.6} \right)}} = \frac{ - 3}{ - 0.222} \approx 13.51\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm} \underline{M = 13}.$$
  • Die Überprüfung der Werte  $y_{13} \approx 0.0013$  und  $y_{14} \approx 0.0008$  bestätigt dieses Ergebnis.


(4)  Aufgrund der Linearität des vorliegenden Filters erhält man das gleiche Ergebnis,

  • wenn man das Filter gegenüber der Teilaufgabe  (2)  nicht verändert  $(a_1 = 0)$
  • und dafür die Eingangsfolge   $\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\; - 0.5,\;0,\;0,\;\text{...} } \right\rangle$  berücksichtigt.


Man erhält dann allgemein für  $\nu \gt 0$:

$$y_\nu = {b_1} ^\nu + a_1 \cdot {b_1} ^{\nu - 1} = \left( {b_1 + a_1 } \right) \cdot {b_1} ^{\nu - 1} .$$
  • Mit  $b_1 = 0.6$  und  $a_1 = -0.5$  ergibt sich daraus  $y_\nu = 0.1\cdot {0.6} ^{\nu - 1}$,  und somit die Folge   $\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\;0.1,\;0.06,\;0.036,\;\text{...} } \right\rangle .$
  • Der gesuchte Wert ist demnach  $y_3\hspace{0.15cm}\underline{= 0.036}$.