Aufgaben:Aufgabe 5.3: Digitales Filter 1. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen

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'''(2)'''  Zum Zeitpunkt $\nu = 0$ ist $y_{\nu} = x_{\nu} = 1$. Für alle weiteren Zeitpunkte $\nu$ gilt $x_{\nu} = 0$ und somit auch:
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'''(2)'''  Zum Zeitpunkt $\nu = 0$ ist $y_{\nu} = x_{\nu} = 1$. Für alle weiteren Zeitpunkte $\nu$  gilt $x_{\nu} = 0$ und somit auch:
 
:$$y_\nu  = b_1  \cdot y_{\nu  - 1}  = {b_1 }^\nu  .$$
 
:$$y_\nu  = b_1  \cdot y_{\nu  - 1}  = {b_1 }^\nu  .$$
 
Insbesondere ist $y_3 = b_1^3 = 0.6^3\hspace{0.15cm}\underline{= 0.216}$.
 
Insbesondere ist $y_3 = b_1^3 = 0.6^3\hspace{0.15cm}\underline{= 0.216}$.
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'''(3)'''&nbsp; Entsprechend der Aufgabenstellung muss gelten: &nbsp;  $y_{M + 1}  = {b_1} ^{M + 1}  < 0.001.$ Dies führt zum Ergebnis:
 
'''(3)'''&nbsp; Entsprechend der Aufgabenstellung muss gelten: &nbsp;  $y_{M + 1}  = {b_1} ^{M + 1}  < 0.001.$ Dies führt zum Ergebnis:
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Die Überprüfung der Werte $y_{13} \approx 0.0013$ und $y_{14} \approx 0.0008$ bestätigt dieses Ergebnis.
 
Die Überprüfung der Werte $y_{13} \approx 0.0013$ und $y_{14} \approx 0.0008$ bestätigt dieses Ergebnis.
  
'''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Linearität des vorliegenden Filters erhält man das gleiche Ergebnis, wenn man das Filter gegenüber der Teilaufgabe (2) nicht verändert $(a_1 = 0)$ und dafür die Eingangsfolge &nbsp; $\left\langle {x_\nu  } \right\rangle  = \left\langle {1,\; - 0.5,\;0,\;0,\;...} \right\rangle$ berücksichtigt. Man erhält dann allgemein für $\nu \gt 0$:
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'''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Linearität des vorliegenden Filters erhält man das gleiche Ergebnis, wenn man  
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*das Filter gegenüber der Teilaufgabe '''(2)''' nicht verändert $(a_1 = 0)$  
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*und dafür die Eingangsfolge &nbsp; $\left\langle {x_\nu  } \right\rangle  = \left\langle {1,\; - 0.5,\;0,\;0,\;\text{...} } \right\rangle$ berücksichtigt.  
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Man erhält dann allgemein für $\nu \gt 0$:
 
:$$y_\nu  = {b_1} ^\nu  + a_1  \cdot {b_1} ^{\nu  - 1}  = \left( {b_1  + a_1 } \right) \cdot {b_1} ^{\nu  - 1} .$$
 
:$$y_\nu  = {b_1} ^\nu  + a_1  \cdot {b_1} ^{\nu  - 1}  = \left( {b_1  + a_1 } \right) \cdot {b_1} ^{\nu  - 1} .$$
  
Mit $b_1 = 0.6$ und $a_1 = -0.5$ ergibt sich daraus $y_\nu  = 0.1\cdot {0.6} ^{\nu  - 1} ,$
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Mit &nbsp;$b_1 = 0.6$&nbsp; und &nbsp;$a_1 = -0.5$&nbsp; ergibt sich daraus &nbsp;$y_\nu  = 0.1\cdot {0.6} ^{\nu  - 1} ,$&nbsp;
und somit die Folge &nbsp;  $\left\langle {y_\nu  } \right\rangle  = \left\langle {1,\;0.1,\;0.06,\;0.036,\;...} \right\rangle .$
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und somit die Folge &nbsp;  $\left\langle {y_\nu  } \right\rangle  = \left\langle {1,\;0.1,\;0.06,\;0.036,\;\text{...} } \right\rangle .$
  
 
Der gesuchte Wert ist $y_4\hspace{0.15cm}\underline{= 0.036}$.
 
Der gesuchte Wert ist $y_4\hspace{0.15cm}\underline{= 0.036}$.

Version vom 24. August 2018, 06:48 Uhr

Digitales Filter erster Ordnung

Wir betrachten die nebenstehende Filteranordnung mit den Koeffizienten $a_0$, $a_1$ und $b_1$, die jeweils Werte zwischen $0$ und $1$ annehmen können.

  • Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein einziger Diracimpuls mit dem Einheitsgewicht „1”   ⇒   $x(t) = \delta(t)$, was der folgenden zeitdiskreten Darstellung entspricht:
$$\left\langle {\hspace{0.05cm}x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} \hspace{0.05cm}\right\rangle .$$
  • Aufgrund dieser speziellen Eingangsfolge beschreibt die Folge $\left\langle {\hspace{0.05cm}y_\nu \hspace{0.05cm}} \right\rangle$ am Filterausgang gleichzeitig die zeitdiskrete Impulsantwort des Filters. Der Abstand der Abtastwerte beträgt hierbei $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm µ s$.


Hinweis:


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Der Sonderfall  $b_1 = 1$  führt zu einem nichtrekursiven Filter.
Mit  $a_0 = 1$, $a_1 = 0$  und  $b_1 = 0$  gilt  $y(t) = x(t)$.
Mit  $a_0 = 0$, $a_1 = 0.5$  und  $b_1 = 0$ ist  $y(t)$  gegenüber  $x(t)$  unverzerrt.

2

Es gelte nun $a_0 = 1$, $a_1 = 0$ und $b_1 = 0.6$. Berechnen Sie die Ausgangsfolge $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$.
Welcher Ausgangswert $y_3$ tritt zum Zeitpunkt $t = 3 \cdot T_{\rm A}$ auf?

$y_3 \ = \ $

3

Es gelte weiter $a_0 = 1$, $a_1 = 0$ und $b_1 = 0.6$. Auf welchen Bereich $0$, ... , $M \cdot T_{\rm A}$ ist die Impulsantwort beschränkt,
wenn man Werte kleiner als $0.001$ vernachlässigt?

$M \ = \ $

4

Weiter gelte $a_0 = 1$ und $b_1 = 0.6$. Berechnen Sie unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus (2) den Ausgangswert $y_3$ für $a_1 = -0.5$.

$y_3 \ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Das Filter ist nichtrekursiv, wenn die Rückführung entfällt:   $b_1 = 0$.
  • Sind zusätzlich $a_0 = 1$ und $a_1 = 0$, so sind die Folgen $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$ und $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$und damit natürlich auch die Signale $x(t)$ und $y(t)$ gleich.
  • Mit $a_0 = 0$ und $a_1 = 1$ ist $y(t) = x(t-T_{\rm A})$ um $T_{\rm A}$ verzögert, mit $a_1 = 0.5$ zusätzlich gedämpft.
  • Verzögerung und Dämpfung haben jedoch keine Verzerrung zur Folge.


(2)  Zum Zeitpunkt $\nu = 0$ ist $y_{\nu} = x_{\nu} = 1$. Für alle weiteren Zeitpunkte $\nu$  gilt $x_{\nu} = 0$ und somit auch:

$$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} = {b_1 }^\nu .$$

Insbesondere ist $y_3 = b_1^3 = 0.6^3\hspace{0.15cm}\underline{= 0.216}$.


(3)  Entsprechend der Aufgabenstellung muss gelten:   $y_{M + 1} = {b_1} ^{M + 1} < 0.001.$ Dies führt zum Ergebnis:

$$M + 1 \ge \frac{{\lg \ \left( {0.001} \right)}}{{\lg \ \left( {0.6} \right)}} = \frac{ - 3}{ - 0.222} \approx 13.51\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm} \underline{M = 13}.$$

Die Überprüfung der Werte $y_{13} \approx 0.0013$ und $y_{14} \approx 0.0008$ bestätigt dieses Ergebnis.


(4)  Aufgrund der Linearität des vorliegenden Filters erhält man das gleiche Ergebnis, wenn man

  • das Filter gegenüber der Teilaufgabe (2) nicht verändert $(a_1 = 0)$
  • und dafür die Eingangsfolge   $\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\; - 0.5,\;0,\;0,\;\text{...} } \right\rangle$ berücksichtigt.


Man erhält dann allgemein für $\nu \gt 0$:

$$y_\nu = {b_1} ^\nu + a_1 \cdot {b_1} ^{\nu - 1} = \left( {b_1 + a_1 } \right) \cdot {b_1} ^{\nu - 1} .$$

Mit  $b_1 = 0.6$  und  $a_1 = -0.5$  ergibt sich daraus  $y_\nu = 0.1\cdot {0.6} ^{\nu - 1} ,$  und somit die Folge   $\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\;0.1,\;0.06,\;0.036,\;\text{...} } \right\rangle .$

Der gesuchte Wert ist $y_4\hspace{0.15cm}\underline{= 0.036}$.